6.3 利用导数解决实际问题(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦“利用导数解决实际问题”核心知识点，系统梳理从几何最值、用料费用到利润最大的问题类型，通过“例题解析—通性通法总结—跟踪训练”的学习支架，构建导数应用的完整脉络。 资料以实际问题为载体，如正方形铁板做容器、输油管道增压站等情境，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过建模、求导、分析最值的思维过程培养数学思维，借助函数关系式表达与求解提升数学语言能力。课中助力教师高效授课，课后通过跟踪训练与练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

6.3　利用导数解决实际问题 课标要求 能够利用导数解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 题型一｜几何中的最值问题 【例1】　有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？ 尝试解答 通性通法 1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）； （2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0； （3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值； （4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论. 2.几何中最值问题的求解思路 面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验. 【跟踪训练】 　如图，在半径为4 m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB＝x m，圆柱的体积为V m3. （1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域； （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？ 题型二｜用料、费用最少问题 【例2】　某地需要修建一条大型输油管道，其通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为（x2＋x）万元.设余下工程的总费用为y万元. （1）试将y表示成关于x的函数； （2）需要修建多少个增压站才能使总费用y最小？ 尝试解答 通性通法 　　用料、费用最少问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. 【跟踪训练】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋）x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩在桥面距离计算中都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元. （1）试写出y关于x的函数关系式； （2）当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 题型三｜利润最大问题 【例3】　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2.其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a的值； （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 尝试解答 通性通法 1.经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. 2.关于利润问题常用的两个等量关系 （1）利润＝收入－成本； （2）利润＝每件产品的利润×销售件数. 【跟踪训练】 　某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是p＝（x∈N＋）. （1）写出该厂的日盈利额T（元）用日产量x（件）表示的函数关系式； （2）为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 1.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（　　） A.10　　　　　　　B.15 C.25 D.50 2.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支出）（　　） A.30 元 B.60 元 C.28 000 元 D.23 000 元 3.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k的值及f（x）的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值. 提示：完成课后作业　第六章　6.3 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3　利用导数解决实际问题 【典例研析】 【例1】　解：设截下的小正方形边长为x，容器容积为V（x），则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x， V（x）＝（a－2x）2x，0＜x＜. 即V（x）＝4x3－4ax2＋a2x，0＜x＜. 实际问题归结为求V（x）在区间上的最大值点.为此，先求V（x）的极值点. 在开区间内， V'（x）＝12x2－8ax＋a2. 令V'（x）＝0，得12x2－8ax＋a2＝0. 解得x1＝a，x2＝a（舍去）. 当0＜x＜x1时，V'（x）＞0； 当x1＜x＜时，V'（x）＜0. 因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以x＝a是V（x）的最大值点. 即当截下的小正方形边长为a时，容积最大. 跟踪训练 解：（1）在Rt△OAB中，因为AB＝x m，所以OA＝ m. 设圆柱的底面半径为r，则＝2πr，即16－x2＝4π2r2， 所以V＝πr2x＝，定义域为{x｜0＜x＜4}. （2）由（1）得V＝πr2x＝，0＜x＜4， V'（x）＝， 令V'（x）＝0，则＝0，解得x＝， 当0＜x＜时，V'（x）＞0，当＜x＜4时，V'（x）＜0， 所以V（x）在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减. 当x＝时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是V（）＝＝ m3. 【例2】　解：（1）依题意可知余下工程有段管道，有个增压站，故余下工程的总费用为y＝（x2＋x）·＋400·＝120x＋－280， 所以将y表示成关于x的函数为y＝120x＋－280（0＜x＜120）. （2）由（1）知y＝120x＋－280（0＜x＜120），有y'＝120－，令y'＝0，解得x＝20， y，y'随x的变化情况如表： x （0，20） 20 （20，120） y' － 0 ＋ y 单调递减 极小值 单调递增 由表易知，函数y在x＝20时取得最小值，此时－1＝5，故需要修建5个增压站才能使总费用y最小. 跟踪训练 解：（1）设需要新建n个桥墩，则（n＋1）x＝m，即n＝－1，所以y＝f（x）＝256n＋（n＋1）（2＋）x＝256＋（2＋）x＝＋m＋2m－256（0＜x≤m）. （2）对（1）中函数f（x）求导得，f'（x）＝－＋m＝（－512）＝（－512）（0＜x≤640）. 令f'（x）＝0，解得＝512，即x＝64. 当0＜x＜64时，f'（x）＜0，f（x）在区间（0，64）上为减函数； 当64＜x≤640时，f'（x）＞0，f（x）在区间（64，640]上为增函数. 所以f（x）在x＝64时取得极小值，也是最小值，此时n＝－1＝－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y最小. 【例3】　解：（1）因为x＝5时，y＝11， 所以＋10＝11，解得a＝2. （2）由（1）可知，该商品每日的销售量 y＝＋10（x－6）2， 设商场每日销售该商品所获得的利润为f（x），则 f（x）＝（x－3）＝2＋10（x－3）·（x－6）2，3＜x＜6. 从而f'（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）·（x－6）]＝30（x－4）·（x－6）. 令f'（x）＝0，解得x＝4或x＝6（舍去）. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （3，4） 4 （4，6） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点.所以当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 跟踪训练 解：（1）由题意可知，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x（1－p）. 因为次品率p＝，当每天生产x件时， 有x·件次品，有x（1－）件正品. 所以T＝200x（1－）－100x· ＝25·（x∈N＋）. （2）T'＝－25·， 由T'＝0得x＝16或x＝－32（舍去）. 当0＜x＜16时，T'＞0；当x＞16时，T'＜0；所以当x＝16时，T取极大值且为最大值.即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利. 随堂检测 1.C　如图，设PN＝x，PQ＝2y，则x2＋y2＝25，S＝2xy，S2＝4x2y2＝4x2（25－x2）＝100x2－4x4，设t＝x2，则S2＝100t－4t2，（S2）'＝100－8t.知当t＝时，S2的最大值＝252，即S的最大值为25. 2.D　设毛利润为L（p），由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p＝30或p＝－130（舍去）.此时，L（30）＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L'（p）＞0，右侧L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元. 3.解：（1）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝，再由C（0）＝8，得k＝40， 因此C（x）＝. 而建造费用为C1（x）＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x ＝＋6x（0≤x≤10）. （2）f'（x）＝6－， 令f'（x）＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－（舍去）. 当0＜x＜5时，f'（x）＜0，当5＜x＜10时，f'（x）＞0， 故x＝5是f（x）的极小值点，同时为最小值点，对应的最小值为f（5）＝6×5＋＝70. 所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $