6.2.2 第1课时 函数的导数与极值(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第一课时　函数的导数与极值 1.若函数y＝f（x）可导，则“f'（x）＝0有实根”是“f（x）有极值”的（　　） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数f（x）＝x2－ln x的极值点为（　　） A.0，1，－1　　　　　　　　 B. C.－ D.，－ 3.已知函数f（x）＝ln x＋ax2－（a＋1）x＋1在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1] B.（－∞，1） C.（1，＋∞） D.（0，＋∞） 4.若函数f（x）＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C.（0，4e2） D.（0，＋∞） 5.〔多选〕已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则下列说法正确的是（　　） A.a＋b＝0 B.a＋b＝－7 C.f（x）一定有两个极值点 D.f（x）的单调递增区间是（－∞，－］∪[1，＋∞） 6.〔多选〕函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f（x）＝xx（x＞0），我们可以作变形：f（x）＝xx＝＝exln x＝et（t＝xln x），所以f（x）可看作是由函数f（t）＝et和g（x）＝xln x复合而成的，即f（x）＝xx（x＞0）为初等函数.根据以上材料，对于初等函数h（x）＝（x＞0）的说法正确的是（　　） A.无极小值 B.有极小值1 C.无极大值 D.有极大值 7.设a∈R，若函数y＝ex＋ax（x∈R）有大于零的极值点，则a的取值范围是　　　　. 8.若x＝－1是函数f（x）＝（x2＋ax＋1）e－x的极值点，则f（x）的极大值为　　　　. 9.已知函数y＝2x3－6x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝　　　　. 10.设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R，求f（x）的单调区间与极值. 11.f（x）＝x3－x2＋b（2－b）x在x＝b处取极小值，则b的取值集合是（　　） A.（－∞，1） B.（1，＋∞） C.{1} D.∅ 12.已知函数f（x）＝6ln x－ax2－8x＋b（a，b为常数），且x＝3为f（x）的一个极值点.则a的值为　　　　　；函数f（x）的单调递减区间为　　　　　. 13.已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4. （1）求a，b的值； （2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值. 14.〔多选〕已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋1（a≠0）有且仅有三个不同的零点，分别为x1，x2，x3，则（　　） A.a的取值范围是（－∞，） B.a的取值范围是（，＋∞） C.x1x2x3＝－ D.x1＋x2＋x3＝6 15.已知函数f（x）＝xln x－ax2－x＋a（a∈R）. （1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 6.2.2导数与函数的极值、最值 第一课时函数的导数与极值 1.A若f(x)可导，由子(x)=0有实根，则f(x)不一定有极值，若f(x)有极值，则f(x) =0一定有实根. 2.B由已知，得f(x)的定义域为(0，+o),f(x)=3x-=,令f(x)=0,得x= 号(x=-号舍去).当x>号时，)>0：当0<r<9时，(x)<0,所以当=9时，f(x) 取得极小值，从而f(x)的极小值点为x=写，无极大值点，故选B. 3.Cf(x)的定义域是(0，十∞)，f(x)=lnx十专ax2-(a十1)x十1，f(x)=是十ar一 (a十1)=a-1x-1),令f(x)=0,解得x=音或x=1.若∫(x)在x=1处取得极小值，则0<音 ” <1,解得a>1. 4.B令g(x)=x2e,则g'(x)=2xer十x2er=xex(2十x).令g'(x)=0,得x=0或x=一2， g(x)在(-2,0)上单调递减，在(-∞，一2)，(0，+∞)上单调递增，g(x)极大值=g (-2)=寺，g(x)极小值=g(0)=0.又f(x)=x2ex-a恰有三个零点，.0<a<待. 5.BC.f(x)=3x2+2ax+b,且f(x)在x=1处取得极值10， f(1)=3+2a+b=0, f(1)=1+a+b+=10,解得 a=4,∫a=-3, {b=-11或{b=3当a=4,b=-11时，f(x)=3x2+8x-11=(3x+11)·(x-1),则当 x∈(-∞，-号)U(1,+∞)时，(x)>0;当x∈(-号，1)时，(x)<0,f(x)在 (-∞，-号)，(1，+∞)上单调递增，在(-号，1)上单调递减，x=1是f(x)的极小值 点，满足题意；当a=一3，b=3时，(x)=3x2-6x+3=3(x一1)2≥0，∴f(x)在R上单调递 增，不合题意.综上所述，a=4,b=一11.对于A、B,a十b=4一11=-7，A错误，B正确；对于 C,x=一号和x=1分别为f(x)的极大值点和极小值点，C正确；对于D,当a=4,b=-11时， f(x)=x3+4x2-11x+16,.f(-4)=-64+64+44+16=60,f(1)=1+4-11+16=10,.f (-4)>f(1)，即∫(x)不满足在（一∞，-号]U[1,+∞）上单调递增，f(x)的单调递增 区间应为(-∞，-号]和[1，十∞)，D错误.故选B、C 6.AD根据材料知：h(x)=x=enx=elnx(x>0)，所以(x)=elnx·（壹nx)'=ex· (-lnx+意)=意enx(1-lmx),令h'(x)=0得x=e,当0<x<e时，h(x)>0,此时函 1/4 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 数h(x)单调递增；当x>e时，h'(x)<0,此时函数h(x)单调递减.所以h(x)有极大值且为 h(e)=e,无极小值.故选A、D. 7.(-∞，-l)解析：y=er十ax,∴y'=er十a.令y'=er+a=0,则er=-a,x=ln（-a). 又.'x>0,∴.-a>1,即a<-1. 8.解析：由f(x)=(x2+ax+1)·ex,得f(x)=（2x十a)ex-(x2+ax+1)ex因为x =一1是函数f(x)=(x2+ax+1)ex的极值点，所以f(-1)=0,即(-2+a)e-(1一a+ 1)e=0,解得a=2,所以f(x)=(x2+2x+1)·e-x,f(x)=(2x+2)e-x-(x2+2x+1) ex=(-x2+1)ex,令(x)=0,则(-x2+1)ex=0,得x=±1，x,(x)和f(x)变化 情况如表所示： x (-∞，-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) (x) 0 + 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以当x=1时，函数f(x)取得极大值f(1)=4e1=. 9.一4或4解析：设f(x)=2x3-6x+c,对f(x)求导可得，P(x)=6x2-6,令(x)=0,可 得x=±1，易知f(x)在（一∞，一-1），(1，十∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减.若f (1)=2-6十c=0,可得c=4;若f(-1)=-2十6+c=0,可得c=-4. 10.解：由f(x)=e-2x+2a,x∈R知f(x)=er-2,x∈R.令f(x)=0,得x=ln2. 当x变化时，P(x),f(x)的变化情沉如下表： x (-∞，ln2) In2 (1n2,+∞) f (x) 0 + f (x) 单调递减 极小值2(1一ln2+a) 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(-∞，ln2),单调递增区间是(n2,+∞)；f(x)在x=ln2处取 得极小值，极小值为f(1n2)=2(1一ln2+a),无极大值. 11.B函数f(x)=青x3-x2+b(2-b)x的定义域为R,(x)=x2-2x+b(2-b)=(x-b) [x-(2-b)],由f(x)=0可得x=b或x=2一b,由题意可知b≠2一b,即b≠1，当b<2-一b, 即b<1时，列表如下： x (-o,b) b (b,2-b 2-b (2-b,十∞) P(x) 十 0 0 十 2/4 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时，函数f(x)在x=b处取得极大值，不合乎题意； 当b>2一b,即b>1时，列表如下： (-∞，2-b) 2-b (2-b,b) b (b,十∞) f(x) + 0 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时，函数f(x)在x=b处取得极小值，合乎题意.综上所述，实数b的取值范围是(1，十∞). 故选B. 12.-1(1,3)解析：因为f(x)=是-2ax-8,所以f(3)=2-6a-8=0,解得a=-1.函 数f(x)的定义域为(0，十∞).由a=一1知f(x)=6lnx十x2-8.x十b.所以f(x)=+2x一8= 224+3).由f(x)>0可得x>3或0<x<1,由f(x)<0可得1<x<3所以函数f(x)的单调 递增区间为(0,1)，(3，十∞)，单调递减区间为(1,3). 13.解：1)f(x)=er(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f(0)=4,故b=4,a十b=8. 从而a=4,b=4. (2)由(1)知，f(x)=4e(x+1)-x2-4x, (x)=4e*(x+2)-2x-4=4(x+2)（e-): 令P(x)=0得，x=-ln2或x=-2. 从而当x∈(-∞，-2)U(-ln2,+∞)时，f(x)>0;当x∈(-2，-ln2)时，f(x) <0. 故f(x)在（一∞，-2），(-ln2,+∞)上单调递增，在（一2，一ln2)上单调递减. 当x=一2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(一2)=4(1一e-2). 14.BCDf(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)(a≠0)，令(x)=0,解得x=0或x=4,当a<0 时，当x∈(4，+∞)时，(x)<0,f(x)在(4，+∞)上单调递减，当x∈(-∞，0)时，f (x)<0,f(x)在(-∞，0)上单调递减，当x∈(0,4)时，f(x)>0,f(x)在(0,4)上 单调递增，所以极小值f(0)=1>0,极大值f(4)=64a-96a+1=1一32a>0,此时函数f(x) 只有一个零点，不符合题意；当a>0时，当x∈(4，+∞)时，f(x)>0,f(x)在(4，+∞) 上单调递增，当x∈（一∞，0）时，f(x)>0,f(x)在（一∞，0）上单调递增，当x∈(0,4) 3/4 ·独家授权侵权必究。 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 时，P(x)<0,f(x)在(0,4)上单调递减，所以极大值f(0)=1>0,要使f(x)有三个不同 的零点，则极小值f(4)=64a-96a十1=1-32a<0,解得a>克，即a的取值范围是（克，十 ∞)，故A错误，B正确；因为函数f(x)=ax3一6ax2+1(a≠0)有且仅有三个不同的零点，分 别为x1,2,x3,则f(x)=a(x一灯)(x一x2)(x一x3）=ax3-a(十x2十x3)·x2十a(x13十 xx十x23）x-ax1x2x3=ax3-6a2+1,即有-ax1x23=1,1十x32十x3=6,x13十x12十x23=0,则 xx23=一言，故C、D正确.故选B、C、D. 15.解：(1)当a=0时，f(x)=xlnx-x,所以f(e)=0,f(x)=lnx+1-1=nx, 所以f(e)=l,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率k=1, 所以曲线y=f(x)在点(e,f(e)）处的切线方程为y=x-e,即x一y-e=0. (2)函数f(x)的定义域为(0，十∞)，P(x)=nx-2ax, 因为f(x)有两个极值点，2(x<x2), 意味着P(x)=lnx一2ax=0有两个不同的变号正根. 设g(x)=lnx-2ax,x∈(0，+∞)，则g'(x)=-2s. 若a≤0，g'(x)>0,g(x)在(0，十∞)上单调递增，g(x)=0不会有两个正根. 当a>0,令g(x)=0,得x=宝， 所以当x∈(0，会)时，g(x)>0,g(x)在(0，分)上单调递增； 当x∈（宝，+∞）时，g'(x)<0,g(x)在（会，+∞）上单调递减. 又当x一+∞时，g(x)→-∞，当x一→0时g(x)→-∞， 要使g(x)=0有两个正根，需g(言)=ln会-1>0，即1n会>1，解得0<a<.所以当 0<a<时，f(x)有两个极值点，x龙2(x<2)· 4/4 ·独家授权侵权必究·