6.1.1 函数的平均变化率(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1　导数 6.1.1　函数的平均变化率 1.A　因为＝kOA，＝kAB，＝kBC，由图象知kOA＜kAB＜kBC，所以＜＜.故选A. 2.B　因为某生产厂家的年利润y与年投入广告费x满足的函数关系式为y＝－3x2＋15x＋12，所以当x由1增长到3时，y的平均变化率为＝＝3.故选B. 3.B　设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1（t）在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2（t）在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙. 4.B　如图，分别令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝25，t＝30，t＝35所对应的点为A，B，C，D，E，F，G，0＞kAB＞kCD，0＞kEF＞kCD，0＞kFG＞kCD，所以[15，20]这段时间内空气中微生物密度变化的平均速度最快.故选B. 5.A　由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的降低量越来越大，且高度h的变化率小于0，所以f（t）在区间[t0－Δt，t0]，[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上的平均变化率由大变小，即k1＞k2.故选A. 6.ABC　根据平均变化率的计算公式，可得＝，所以在x＝1附近取Δx＝0.3，则平均变化率的公式为＝，则要计算平均变化率的大小，只需先计算Δy＝f（1.3）－f（1）的大小，下面逐项判定： A中，函数y＝x，Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.3，＝1，正确；B中，函数y＝x2，Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.69，＝2.3，正确；C中，函数y＝x3，Δy＝f（1.3）－f（1）＝1.197，＝3.99，正确；D中，函数y＝中，Δy＝f（1.3）－f（1）≈－0.23，≈－0.77，错误，故选A、B、C. 7.[x3，x4]　解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f（x）在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f（x）的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 8.5　解析：因为函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所以＝ ＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2（舍去）. 9.2π＋π·Δr　解析：＝＝2π＋π·Δr. 10.解：（1）∵f（x0＋Δx）－f（x0） ＝2（x0＋Δx）2＋1－2－1 ＝2Δx（2x0＋Δx）， ∴函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝4x0＋2Δx. （2）由（1）可知f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为4x0＋2Δx， 当x0＝2，Δx＝0.01时， 4x0＋2Δx＝4×2＋2×0.01＝8.02， 即函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02. 11.D　巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以v＝≈－0.185 m/s.巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以a＝≈－10.288 m/s2.故选D. 12.（0，＋∞）　解析：函数f（x）在[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝ ＝ ＝－3－Δx，由－3－Δx≤－1得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是（0，＋∞）. 13.解：因为ΔV＝m3－×13＝（m3－1）， 所以＝＝， 即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍去）. 14.①②③　解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误. 15.解：（1）在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为 T（0）＝＋15＝39， T（10）＝＋15＝23， 故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. （2）平均变化率为＝－＝－1.6. 它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.1　函数的平均变化率 1.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（　　） A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜ 2.已知某生产厂家的年利润y与年投入广告费x满足的函数关系式为y＝－3x2＋15x＋12，则当x由1增长到3时，y的平均变化率为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 3.甲、乙两人走过的路程s1（t），s2（t）与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（　　） A.v甲＞v乙 B.v甲＜v乙 C.v甲＝v乙 D.大小关系不确定 4.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）与开窗通风换气时间（t）的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（　　） A.[5，10] B.[15，20] C.[25，30] D.[30，35] 5.如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h＝f（t），定义域为D，设t0∈D，t0±Δt∈D，k1，k2分别表示f（t）在区间[t0－Δt，t0]，[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上的平均变化率，则（　　） A.k1＞k2 B.k1＜k2 C.k1＝k2 D.无法确定k1，k2的大小关系 6.〔多选〕在x＝1附近，取Δx＝0.3，关于下列说法正确的有（　　） A.函数y＝x的平均变化率为1 B.函数y＝x2的平均变化率为2.3 C.函数y＝x3的平均变化率为3.99 D.函数y＝的平均变化率为0.3 7.如图所示，函数y＝f（x）在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　　　　. 8.函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝　　　　. 9.已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈（0，＋∞），则当半径r∈[1，1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为　　　　. 10.已知函数f（x）＝2x2＋1. （1）求函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； （2）求函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率. 11.“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施着陆，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min内将速度从约20 000 km/h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则（　　） A.v≈0.185 m/s，a≈10.288 m/s2 B.v≈－0.185 m/s，a≈10.288 m/s2 C.v≈0.185 m/s，a≈－10.288 m/s2 D.v≈－0.185 m/s，a≈－10.288 m/s2 12.若函数f（x）＝－x2＋x在[2，2＋Δx]（Δx＞0）上的平均变化率不大于－1，则Δx的取值范围是　　　　. 13.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率（体积的变化量与半径的变化量之比）为，求m的值. 14.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示. 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是　　　　. 15.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T（t）＝＋15，其中T（t）为体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）. （1）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ （2）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $