5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第一课时　等比数列的前n项和公式 1.已知数列{}是以1为首项，4为公比的等比数列，则＝（　　） A. B. C.433－1 D.432＋1 2.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝（　　） A.2n－1 B.2－21－n C.2－2n－1 D.21－n－1 3.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝（　　） A.16（1－4－n） B.16（1－2－n） C.（1－4－n） D.（1－2－n） 4.已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋2x＋3，且f（1）＝1，则f（1 000）＝（　　） A.2999＋2 995 B.2999＋2 996 C.21 000＋2 995 D.21 000＋2 996 5.已知数列{an}是公比为q的等比数列，前n项和为Sn，且S6＝2S2≠0，则下列说法正确的是（　　） A.q2＝ B.{an}为递增数列 C.{an}为递减数列 D.＝ 6.〔多选〕设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7a8＞1，＜0.则下列结论正确的是（　　） A.0＜q＜1 B.a7a9＜1 C.Tn的最大值为T7 D.Sn的最大值为S7 7.设数列{an}的前n项和为Sn，写出{an}的一个通项公式an＝　　　　　，满足下面两个条件：①{an}是单调递减数列；②{Sn}是单调递增数列. 8.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝S2，则＝　　　　. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝4×3n－1，则S2 026＝　　　　. 10.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18. （1）求数列{an}的通项公式； （2）是否存在正整数n，使得Sn≥2 025？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由. 11.〔多选〕设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2 026a2 025＞1，（a2 026－1）（a2 025－1）＜0，则下列选项正确的是（　　） A.0＜q＜1 B.S2 025＞S2 026－1 C.T2 026是数列{Tn}中的最大项 D.T4 049＜1 12.把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图（2））；如此继续下去，则 （1）图（3）中共挖掉了　　　　个正方形； （2）第n个图形挖掉正方形的面积和是　　　　.　 13.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝an＋1＋t. （1）求t； （2）求数列{（cos nπ）·an}的前n项和. 14.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（　　） A. 里 B.1 050里 C. 里 D.950里 15.已知函数f（x）＝，数列{an}满足a1＝，an＋1＝f（an），n∈N＋. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Tn＝＋＋…＋，求Tn； （3）对于（2）中的Tn，若存在n∈N＋，使得（n＋1－Tn）≥成立，求实数k的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2　等比数列的前n项和 第一课时　等比数列的前n项和公式 1.B　由题意可知{}是以1为首项，4为公比的等比数列，显然代表数列{}的前66项和，所以＝＝.故选B. 2.B　法一　设等比数列{an}的公比为q，则由 解得 所以Sn＝＝2n－1， an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B. 法二　设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n，故选B. 3.C　由a5＝a2q3，得q3＝，所以q＝，而数列{anan＋1}也为等比数列，其首项为a1·a2＝8，公比为q2＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝（1－4－n）. 4.D　由f（x＋1）＝f（x）＋2x＋3，则f（x＋1）－f（x）＝2x＋3，则f（2）－f（1）＝2＋3，f（3）－f（2）＝22＋3，…，f（1 000）－f（999）＝2999＋3，将以上各式相加得f（1 000）－f（1）＝2＋22＋…＋2999＋3×999＝＋3×（1 000－1）＝21 000＋2 995，所以f（1 000）＝21 000＋2 995＋f（1）＝21 000＋2 996.故选D. 5.A　∵S6＝2S2≠0，∴q≠±1，则＝，由1－q6＝（1－q2）（1＋q2＋q4），q≠±1且a1≠0，得q4＋q2＋1＝2，即q4＋q2－1＝0，解得q2＝，故A正确；q＝±，∴{an}的单调性不确定，故B、C错误；又＝＝1＋q2＝，故D错误.故选A. 6.ABC　∵a1＞1，a7a8＞1，＜0，∴a7＞1，0＜a8＜1，∴0＜q＜1，故A正确；a7a9＝＜1，故B正确；T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；∵a1＞1，0＜q＜1，∴Sn无最大值，故D不正确.故选A、B、C. 7.（答案不唯一）　解析：根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列，an＝就是符合条件的一个通项. 8.　解析：设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），由S4＝S2，得a4＋a3＝S4－S2＝S2＝（a2＋a1），因此q2＝，q＝，所以＝q3＝. 9.　解析：根据题意，可得a1＋a2＝4×30＝4，a3＋a4＝4×32，…，a2 025＋a2 026＝4×32 024，所以S2 026＝4×30＋4×32＋…＋4×32 024＝4×（30＋32＋…＋32 024）＝4×＝. 10.解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0. 由题意得 即解得 故数列{an}的通项公式为an＝3×（－2）n－1. （2）由（1）有Sn＝＝1－（－2）n. 若存在正整数n，使得Sn≥2 025，则1－（－2）n≥2 025， 即（－2）n≤－2 024. 当n为偶数时，（－2）n＞0，上式不成立； 当n为奇数时，（－2）n＝－2n≤－2 024，即2n≥2 024，则n≥11. 综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为{n｜n＝2k＋1，k∈N，k≥5}. 11.AB　由（a2 026－1）（a2 025－1）＜0，a2 025－1＞0，a2 026－1＜0或a2 025－1＜0，a2 026－1＞0，而a1＞1，a2 026a2 025＞1，a2 025，a2 026同号，则a2 025＞1，a2 026＜1，即数列前2 025项大于1，从第2 026项开始小于1.对于A，q＝＜1，又q＞0，则0＜q＜1，A正确；对于B，由a2 026＜1，得S2 026－S2 025＝a2 026＜1，则S2 025＞S2 026－1，B正确；对于C，显然{an}是递减正项数列，且a2 025＞1，a2 026＜1，因此T2 025是数列{Tn}中的最大项，C错误；对于D，T4 049＝a1a2·…·a4 049＝·q1＋2＋…＋4 048＝·q4 049×2 024＝＞1，D错误.故选A、B. 12.（1）73　（2）1－　解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝，∴a3＝73.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×＋8×＋82×＋…＋8n－1×＝＝1－. 13.解：（1）令n＝1，则由Sn＝an＋1＋t可得S1＝a2＋t，a2＝1－t， 当n≥2时，由Sn＝an＋1＋t可得Sn－1＝an＋t， 两式相减，可得an＝an＋1－an，即an＋1＝2an， 依题意，{an}为等比数列，故a2＝2＝1－t，t＝－1. （2）由（1）可知{an}为首项等于1，公比等于2的等比数列，故an＝2n－1， 故{（cos nπ）·an}为首项等于－1，公比等于－2的等比数列， 故an＝（－1）（－2）n－1. 故Tn＝＝（－2）n－. 14.C　由题意知，马每天行走的路程构成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有＝700（里）， 则a1＝（里），则＝（里）. 故选C. 15.解：（1）因为函数f（x）＝， 所以an＋1＝f（an）＝⇒＝＋·⇒－1＝（ －1）， 所以数列是以－1＝为首项，为公比的等比数列， 则有－1＝·（ ）n－1⇒＝＋1⇒an＝. （2）由（1）可知＝＋1， 所以Tn＝＋＋…＋＝2（ ＋＋…＋）＋n＝2×＋n＝1－＋n. （3）由（2）可知Tn＝1－＋n， 所以（n＋1－Tn）≥⇒≥. 因为n∈N＋， 所以≥⇒k≤. 设bn＝， 由bn＋1－bn＝－＝， 由二次函数性质可知，当n∈N＋时，函数g（n）＝－4（ n－）2＋是减函数， g（1）＝3＞0，g（2）＝－3＜0， 于是有n＞1，n∈N＋时，g（n）＝－4（ n－）2＋＜0， 所以b2＞b1，b2＞b3＞b4＞…＞bn，因此＝b2＝， 存在n∈N＋，使得（n＋1－Tn）≥成立，则有k≤，因此实数k的最大值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $