5.3.1 第2课时 等比数列的性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　等比数列的性质 1.已知1，a，4a－4成等比数列，则a＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.1 2.在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则（　　） A.a1＝1 B.a3＝1 C.a4＝1 D.a5＝1 3.已知等比数列{an}，an＞0，a1，a5为函数f（x）＝x2－5x＋2的两个零点，则log2a2＋log2a3＋log2a4＝（　　） A. B.log25 C. D.3 4.在等比数列{an}中，a1·a2·a3＝27，a2＋a6＝15，则a4＝（　　） A.±6 B.－6 C.36 D.6 5.现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用一年期自动转存业务，则第十年末的本利和为（　　） A.8×1.0258万元 B.8×1.0259万元 C.8×1.02510万元 D.8×1.02511万元 6.〔多选〕设{an}（n∈N＋）是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（　　） A.0＜q＜1 B.a7＝1 C.K9＞K5 D.K6与K7均为Kn的最大值 7.在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝　　　　. 8.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　　　　平方厘米. 9.已知－7，a1，a2，－1成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，则b1b2b3（a2－a1）＝　　　　. 10.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列，，…，，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式. 11.已知等比数列{an}满足a1＞0，公比q＞1，且log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 024＜0，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 025＞0，则当a1a2…an最小时，n＝（　　） A.1 012 B.1 013 C.2 022 D.2 023 12.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18＝　　　　　　，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝　　　　　　. 13.数列{xn}的首项x1＝，且xn＜－1，xn＋1＝. （1）证明：数列为等比数列； （2）设an＝（17－2n）ln，求数列{an}的最大项. 14.〔多选〕若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质.对于正整数n，φ（n）是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数φ（n）以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如φ（1）＝1，φ（4）＝2，φ（6）＝2，则下列结论正确的是（　　） A.φ（15）＝φ（3）φ（5） B.n为素数时，φ（n）＝n－1 C.数列{φ（2n）}是等比数列 D.φ（100）＝30 15.判断是否存在一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：（1）a1＋a6＝11，且a3a4＝；（2）an＋1＞an；（3）至少存在一个m（m∈N＋，且m＞4），使am－1，，am＋1＋成等差数列.若存在，请写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等比数列的性质 1.A　因为1，a，4a－4成等比数列，则a2＝4a－4，即（a－2）2＝0，解得a＝2.故选A. 2.B　由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即（a1·a5）·（a2·a4）·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝，所以＝1，得a3＝1. 3.C　由题意a1，a5是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个根，由根与系数的关系有a1a5＝2，而对于等比数列{an}，an＞0，从而log2a2＋log2a3＋log2a4＝log2（a2a3a4）＝log2＝log2＝log2（a1a5）＝.故选C. 4.D　因为{an}为等比数列，故a1·a2·a3＝＝27，故a2＝3，而a2＋a6＝15，故a6＝12，所以＝a2a6＝36，故a4＝6（a2，a4，a6同号，负值舍去），故选D. 5.C　由题意得，每年末的本利和依次构成以1＋2.50%＝1.025为公比，8×1.025为首项的等比数列，所以第十年末的本利和为8×1.025×1.02510－1＝8×1.02510万元.故选C. 6.ABD　根据题意，分析选项.对于B，若K6＝K7，则a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列单调递减，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D. 7.1 024　解析：设等比数列{an}的公比为q， a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝·q6＝1， ① a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝·q54＝8，② ②÷①得q48＝8，q16＝2，所以a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝·q166＝·q6·q160＝（·q6）·（q16）10＝210＝1 024. 8.2 048　解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}（1≤n≤10，n∈N＋），则第10个正方形的面积S＝＝（）2＝211＝2 048. 9.－54　解析：由－7，a1，a2，－1成等差数列，得公差d＝a2－a1＝＝2.由－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，得b1b3＝＝－9×（－1）＝9，而＝－9b2＞0，解得b2＝－3，所以b1b2b3·（a2－a1）＝2＝－54. 10.解：依题意＝a1a17，即（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d），所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d.设数列{}的公比为q，则q＝＝＝3， 所以＝a13n－1， ① 又因为＝a1＋（bn－1）d＝a1， ② 由①②得a1·3n－1＝·a1. 因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1. 11.A　由题意知log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 024＜0，故log2（a1a2·…·a2 024）＜0，则0＜a1a2·…·a2 024＜1，即0＜＜1，结合等比数列{an}满足a1＞0，公比q＞1，可知0＜a1 012a1 013＜1.由log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 025＞0，得log2（a1a2·…·a2 025）＞0，即得a1a2·…·a2 025＞1，故＞1，即a1 013＞1，由此可得0＜a1＜a2＜…＜a1 012＜1＜a1 013＜…，故当a1a2…an最小时，n＝1 012，故选A. 12.e5　50　解析：因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又因为a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln（a1a2…a20）＝ln[（a1a20）·（a2a19）·…·（a10a11）]＝ln（a10a11）10＝ln（e5）10＝ln e50＝50. 13.解：（1）证明：因为xn＋1＝，所以＝＝， 又xn＜－1，所以＞0，则＞0， 所以ln＝ln＝2ln，又x1＝，所以＝＝e，则ln＝1， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得ln＝2n－1， 所以an＝（17－2n）ln＝（17－2n）×2n－1， 令an＋1－an＝（15－2n）×2n－（17－2n）×2n－1＝（13－2n）×2n－1＞0， 则13－2n＞0，解得n＜6.5， 又n∈N＋，所以当1≤n≤6且n∈N＋时，an＋1＞an，当n≥7且n∈N＋时，an＋1＜an， 所以a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7＞a8＞a9＞…， 所以{an}的最大项为a7＝（17－2×7）×27－1＝192. 14.ABC　对于A，小于或等于15且与15互质的数有1，2，4，7，8，11，13，14，所以φ（15）＝8，又由φ（3）＝2，φ（5）＝4，所以φ（15）＝φ（3）φ（5），故A正确；对于B，素数p的因数只有1和p，所以1到p－1的所有的数均与p互质，所以n为素数时，φ（n）＝n－1，所以B正确；对于C，因为2是质数，所以在不超过2n的整数中，所有的偶数的个数为2n－1，根据欧拉函数的定义可得φ（2n）＝2n－2n－1＝2n－1，则φ（2n）＝2φ（2n－1），又由φ（2）＝1，所以数列{φ（2n）}是等比数列，所以C正确；对于D，因为100是偶数，小于100的正奇数有50个，其中是5的倍数的奇数有10个，它们与100不互质，所以φ（100）＝40，所以D不正确.故选A、B、C. 15.解：不存在.理由如下： 假设存在符合条件的等比数列{an}， 则a3a4＝a1a6＝，与a1＋a6＝11联立， 解得或（舍去，因为an＋1＞an）. 设{an}的公比为q，由a6＝a1q5，得＝q5，解得q＝2， 所以an＝·2n－1（n∈N＋）. 又因为am－1，，am＋1＋成等差数列， 所以2＝am－1＋， 即2＝（·2m－2）＋（·2m＋）， 化简整理，得22m－7·2m－8＝0，即（2m－8）·（2m＋1）＝0. 因为2m＋1＞0，所以2m－8＝0，即2m＝8，所以m＝3. 这与条件（3）中的m＞4矛盾. 所以不存在符合条件的等比数列{an}. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $