5.3.1 等比数列（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

5.3.1 等比数列 知识点归纳 知识点一、等比数列的定义 1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列定义的理解： (1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； (2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； (3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝eq \f(an,an－1)(n≥2)或q＝eq \f(an＋1,an).特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列． 3．等比数列的通项公式：一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比． 4.等比数列与等差数列的区别与联系 等差数列 等比数列 不同点 (1) 强调每一项与前一项的差； (2) a1和d可以为零； (3)等差中项唯一。 (1) 强调每一项与前一项的比； (2) a1和q均不为零； (3)等比中项有两个值。 相同点 (1)都强调每一项与前一项的关系； (2)结果都必须是常数 (3)数列都可以由a1，d或a1，q确定。 联系 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； (2) {an}为等差数列，则{ }为等比数列。 知识点二、等比数列的性质 1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±eq \r(ab). 2．等比中项的理解 (1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列． 3．等比数列的判定 (1)定义法：eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且q≠0)或eq \f(an,an－1)＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法：an