5.3.1 课时2 等比数列的性质课件-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

5.3.1 课时2 等比数列的性质 1.等比数列的概念: 2.等比数列的通项公式: 请说说等比数列的概念及通项公式. 问题1： 在等比数列的通项公式中， an与的关系与以前学过的什么函数有关? (1)当公比q时， 是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此，公比为1的等比数列是常数列）； (2)公比q时，是与的乘积，此时，的增减性即与也与有关. 问题2： 如何将其转化成的形式. 问题3： 从函数的角度分析它的单调性. 且) 因为，记，则 1.已知数列{an}的通项公式为判断这个数列是否是等比数列，如果是求出公比，如果不是说明理由. 解：因为， 所以数列{an}是等比数列，且公比为2. 数列{an}是等比数列的充要条件是（为非零常数） 与等差中项类似，如果在与中间插入一个数成等比数列，那么叫做的等比中项. 即. 对于等比中项要注意以下几点： （1）两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项； （2）若同号，则的等比中项的充要条件； 探究1： 已知数列{an}中，，在时恒成立，求证： {an}是等比数列. 证明：根据题意有 ， 因此，从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，所以{an}是等比数列. 提示：如何判断等比数列 思考： 根据前面的探究说说还可以如何判断等比数列. 在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，反之，如果一个数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列.并且由等比中项的概念知，等比数列的奇数项和偶数项的符号分别一致. 应用等比中项法也可判断、证明一个数列是等比数列： 为等比数列. 1.若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 解法1：由，得②， ②的两边分别除以①的两边，得 解得或. 把代入①，得此时 把代入①，得 此时 因此，的第5项是 解法2：因为的等比中项，所以 所以＝±24. 因此，的第5项是 1.若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 探究2： 设数列{an}的通项公式为，求出，并比较它们的大小. 由易知，数列{an}是等比数列， 因=，=， 所以. 思考：上述材料中它们的下标有什么关系？由此类比等差数列的下标性质，猜想并等比数列中会存在什么关系？并论证你的猜想. 设等比数列{an}中，首项为a1，公比为q.则,，所以=，同理=， 所以当= 时，. 思考：上述材料中它们的下标有什么关系？由此类比等差数列的下标性质，猜想并等比数列中会存在什么关系？并论证你的猜想. 等比数列的性质 一般地，如果 {an} 是等差数列，而且正整数s， t，p，q满足 s + t = p + q，则 . 性质推广：如果 2s = p + q ( s，p，q ∈N +)，则 = apaq，即 as 是 ap 与 aq 的等比中项. 例. 在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 解：（方法一）依题意，由等比数列的通项公式，得解得 当时，插入的3个数分别为 当时，插入的3个数分别为 因此插入的3个数分别为或. （方法二）因为等比数列共有5项，即，，，，， 又因为所以 即，又因为要与同号，所以 类似地，有而且与同号，因此 当 =2时， =； 当 = 2时， = ； 因此插入的3个数分别为或. 1.已知{为等比数列，若，且，则=（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 2.对任意等比数列，下列说法一定正确的是 （　　） A.成等比数列 B.成等比数列 C.成等比数列 D.成等比数列 D D 3.在正项等比数列中，，且的等差中项为4，则的公比是 （　　） A.1 B.2 C. D. D 4. 已知在等比数列{an}中，a4 a8 = 25，a12= 320. 求 a9. 解：∵a4a8 = = 25，即 a6 = ±5， 又因为要与同号，所以 ∵ = a6a12 = 5×320=1600， ∴a9 =±40. 5.已知等比数列{an} 的各项均为正数，且a5a6+a4a7=6 ，求log3a1+ log3a2 +…+ log3a10. 解:∵等比数列{an}的各项均为正数, 且a5a6+a4a7=6， ∴ a5a6=a4a7=3， 则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 = log3(a1‧a2‧ a3 ‧…‧a10) =log3 (a5a6)5 =log335=5 . 等差数列 等比数列 定义 通项公式 中项 性质 等差数列与等比数列的类比 若 , 则 若, 则 am+an=ap+aq $