5.3.1 第1课时 等比数列的定义(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第一课时　等比数列的定义 1.若等比数列的前三项分别为5，－15，45，则第5项是（　　） A.405 B.－405 C.135 D.－135 2.公比为q的等比数列{an}满足an＞0，a4＝2a3＋3a2，则q＝（　　） A.－1 B.1 C.3 D.－1或3 3.已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 026＝（　　） A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 4.设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则an＝（　　） A.3n－1 B.3n C.3n＋1 D.2·3n 5.〔多选〕已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是（　　） A.{｜an｜} B.{an－an＋1} C. D.{kan} 6.〔多选〕已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则下列说法正确的是（　　） A.a1＞0 B.q＞0 C.＝3或＝－1 D.＝9 7.在等比数列{an}中，若a5－a2＝14，a4－a1＝7，则q＝　　　　. 8.已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则数列{an}中能构成等比数列的三项可以为　　　　.（只需写出一组） 9.已知{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝　　 　，d＝　　　　. 10.已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2，2a2＋a3＝30. （1）求an； （2）若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5. 11.在正项数列{an}中，ln an＋1＝ln an＋1，且a1a2＝e3，则数列{an}的通项公式为（　　） A.an＝en B.an＝en－1 C.an＝en＋1 D.an＝en－2 12.已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，则a＝　　　　，an＝　　　　. 13.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. （1）设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 14.〔多选〕已知数列{an}，{bn}都是正项等比数列，则（　　） A.数列{an＋bn}是等比数列 B.数列{an·bn}是等比数列 C.数列是等比数列 D.数列是等比数列 15.设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列. （1）证明：，，，依次构成等比数列； （2）是否存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列？并说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 第一课时　等比数列的定义 1.A　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405. 2.C　由an＞0，知a1＞0，q＞0，又a4＝2a3＋3a2，则a1q3＝2a1q2＋3a1q，所以q2＝2q＋3，解得q＝－1（舍去）或q＝3.故选C. 3.D　由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 026＝log332 025＝2 025. 4.B　根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an.当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3.所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3·3n－1＝3n.故选B. 5.AC　设等比数列{an}的公比为q， ∵ ＝｜q｜，∴{｜an｜}是等比数列. 当{an}为常数列时，an－an＋1＝0， ∴{an－an＋1}不是等比数列. ∵＝＝，∴是等比数列. 当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列. 故只有A、C一定是等比数列. 6.ABD　设等比数列{an}的公比为q，因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＞0，且q＞0，故A、B正确；由题意得2×a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q.两边除以a1得q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1（舍去），所以＝q＝3，＝q2＝9，故C错误，D正确.故选A、B、D. 7.2　解析：设等比数列{an}的公比为q，由a5－a2＝14，a4－a1＝7，得a1q（q3－1）＝14，a1（q3－1）＝7，所以q＝2. 8.2，8，32（答案不唯一）　解析：因为数列{an}的通项公式为an＝3n－1，所以数列{an}中的项依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…，显然＝，所以2，8，32能构成等比数列. 9.　－1　解析：由题意可得＝， 即（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋6d）， 故有3a1＋2d＝0， ① 由2a1＋a2＝1，得3a1＋d＝1， ② 联立①②解得d＝－1，a1＝. 10.解：（1）设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30， 所以4q＋2q2＝30，所以q2＋2q－15＝0， 所以q＝3或－5.因为an＞0，所以q＝3. 所以an＝a1qn－1＝2×3n－1（n∈N＋）. （2）因为b1＝a2，所以b1＝6.又bn＋1＝bn＋an，所以bn＋1＝bn＋2·3n－1. 所以b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，b4＝b2＋2×32＝14＋18＝32，b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86. 11.A　因为ln an＋1＝ln an＋1，所以ln an＋1－ln an＝ln＝1，即＝e，则数列{an}是等比数列，公比q＝e.又因为a1a2＝q＝e＝e3，所以a1＝e或a1＝－e（舍去），则数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝en.故选A. 12.2　5n－3　解析：∵a1＜b1，b2＜a3，∴∴b（a－2）＜a＜b，∴a＜3，又∵a＞1，且a∈N＋，∴a＝2.∵对于任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，∴令n＝1，得2＋（m－1）b＋3＝b，∴b（2－m）＝5，又∵2－m＜2，且2－m∈N＋，∴∴an＝a＋（n－1）b＝5n－3. 13.解：（1）证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3. 又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－（4an＋2）＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），即bn＋1＝2bn. 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列. （2）由（1）知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2， 所以an＋1－2an＝3×2n－1.于是－＝， 因此数列是首项为，公差为的等差数列， ＝＋（n－1）×＝n－. 所以an＝（3n－1）·2n－2. 14.BC　因为数列{an}，{bn}都是正项等比数列，所以设数列{an}，{bn}的公比分别为q1，q2，且q1＞0，q2＞0，且对任意的正整数n有an＞0，bn＞0成立.对于A，不妨设an＝2n， bn＝3n，满足{an}，{bn}都是正项等比数列，此时an＋bn＝2n＋3n，因为＝＝，＝＝，所以≠，此时{an＋bn}不是等比数列，故A不正确；对于B，因为＝·＝q1·q2，所以数列{an·bn}是等比数列，故B正确；对于C，因为÷＝×＝×＝，所以数列是等比数列，故C正确；对于D，设an＝2n，bn＝3n，满足{an}，{bn}都是正项等比数列，此时＝23＝8，＝49＝218，＝827＝281，所以＝＝215，＝＝263，所以≠，此时数列{}不是等比数列，故D不正确.故选B、C. 15.解：（1）证明：因为＝＝2d（n＝1，2，3）是同一个常数，所以，，，依次构成等比数列. （2）令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d（a＞d，a＞－2d，d≠0）. 假设存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列， 则＝，即a4＝（a－d）（a＋d）3， 同理得（a＋d）6＝a2（a＋2d）4. 令t＝，则1＝（1－t）（1＋t）3，且（1＋t）6＝（1＋2t）4（－＜t＜1，t≠0），化简得t3＋2t2－2＝0　（*），且t2＝t＋1. 将t2＝t＋1代入（*）式，得t（t＋1）＋2（t＋1）－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－. 显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $