5.3.1 第3课时 等比数列的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.3.1 第3课时 等比数列的综合问题 [课时跟踪检测] 1.（2025·北京高考）已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=-2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10= （　　） A.-20 B.-18 C.16 D.18 解析：选C　设等差数列{an}的公差为d（d≠0）， 因为a3，a4，a6成等比数列，且a1=-2， 所以=a3a6，即（-2+3d）2=（-2+2d）（-2+5d），解得d=2或d=0（舍去）， 所以a10=a1+9d=-2+9×2=16. 2.已知{an}是等差数列，且公差d≠0，若a=，b=，c=，则a，b，c （　　） A.是等比数列，非等差数列 B.是等差数列，非等比数列 C.既非等比数列，又非等差数列 D.既是等差数列，又是等比数列 解析：选A　由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列；若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列. 3.生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为 （　　） A.105 kJ B.104 kJ C.103 kJ D.102 kJ 解析：选C　设H1需提供的能量为a，由题意知，H2的能量为10%a，H3的能量为（10%）2a，即（10%）2a =10，解得a=103，所以要能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为103 kJ，故选C. 4.[多选]已知等比数列{an}的公比q=-，等差数列{bn}的首项b1=9，若a7>b7且a8>b8，则以下结论正确的是 （　　） A.a8>0 B.b8<0 C.a7>a8 D.b7>b8 解析：选BD　因为等比数列{an}的公比q=-，则a7=a1，a8=-a1，而a1的正负不确定，因此不能确定a7和a8的正负及大小关系，A、C错误；显然a7和a8异号，又a7>b7且a8>b8，则b7，b8中至少有一个是负数，而b1=9>0，于是等差数列{bn}的公差d<0，即数列{bn}递减，因此b7>b8，且b8<0，B、D正确.故选BD. 5.从盛有1 L纯酒精的容器中倒出 L，然后用水填满；再倒出 L，又用水填满，…；连续进行n次，容器中的纯酒精少于0.001 L，则n的最小值为 （　　） A.5 B.6 C.7 D.8 解析：选C　由题意得连续进行了n次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列{an}，则数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an=·=，由题意可得<0.001=，因为=>=<，所以n≥7. 6.[多选]已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1>0，公比q>0，T6<1<T7，则 （　　） A.<a4 B.q>1 C.当n=3时，Tn最小 D.当n=3时，Tn最大 解析：选BC　由题意知an>0，由T6<1<T7，得a1a2·…·a6<1<a1a2·…·a6a7，所以<1<，得a3a4<1，a4>1，所以>a4，且a3<1，a4>1，所以q>1，故A错误，B正确.因为a3<1，a4>1，a1>0，q>1，所以数列{an}为递增数列，且当n≤3时，an≤a3<1，当n≥4时，an≥a4>1，所以当n=3时，Tn最小，故C正确，D错误. 7.[多选]公比为q的等比数列{an}，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，满足a1>1，a2 022·a2 023>1，<0，则下列结论正确的是 （　　） A.Tn的最大值为T2 022 B.a2 022·a2 024<1 C.Sn的最大值为S2 024 D.0<q<1 解析：选ABD　因为公比为q的等比数列{an}满足a1>1，a2 022·a2 023>1，<0，所以a2 022>1，0<a2 023<1，0<q<1，故当n=2 022时，Tn取得最大值，A、D正确；a2 022·a2 024=<1，B正确；因为数列{an}各项为正数，所以Sn没有最大值，C错误. 8.（5分）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=　　　　.  解析：设等差数列的公差为d，则a3=a1+2d，a5=a1+4d，∴（a1+2d+3）2=（a1+1）（a1+4d+5），解得d=-1，∴q===1. 答案：1 9.（5分）若数列a1，，…，，…，是首项为1，公比为-的等比数列，则a5=　　　　.  解析：由题意，得=（-）n-1（n≥2），所以=-=（-）2，=（-）3，=（-）4，将上面的四个式子两边分别相乘，得=（-）1+2+3+4=32.又a1=1，所以a5=32. 答案：32 10.（5分）已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4=4，a1+a2+a3=14，则满足an··>的最大正整数n的值为　　　　.   解析：设数列{an}的公比为q（q>0），∵a2·a4=4=，且a3>0，∴a3=2.又a1+a2+a3=++2=14，∴=-3（舍去）或=2，即q=，a1=8.又an=a1=8×=， ∴an··=>，即<9，∵n∈N+，∴n的最大值为4. 答案：4 11.（5分）我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少　　　　 　　年后每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70）  解析：由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%，满足等比数列模型，令a1=50，q=1.2，所以an=50×1.2n-1，令an=50×1.2n-1>250，所以1.2n-1>5，所以n-1>log1.25=≈=8.75，所以n>9.75，又因为n为正整数，所以n=10.故至少9年后每年投入的资金可达250万元以上. 答案：9 12.（5分）已知数列{an}，{bn}满足bn=log2an（n∈N+），其中{bn}是等差数列.若a10a2 013=2，则b1+b2+…+b2 022=　　　　　　.  解析：∵{bn}为等差数列，设公差为d，则bn+1=log2an+1，bn=log2an，bn+1-bn=log2=d，则=2d，故{an}为等比数列，∴b1+b2 022=log2a1+log2a2 022=log2（a1a2 022）=log2（a10a2 013）=1，∴b1+b2+…+b2 022==1 011. 答案：1 011 13.（10分）2024年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. （1）求哪一年两林场木材的存量相等?（5分） （2）问两林场木材的总量到2029年能否翻一番?（5分） 解：（1）设经过n年两林场木材的存量相等，即 16a（1+25%）n=25a（1-20%）n，解得n=1， 故到2025年两林场木材的存量相等. （2）令n=5，则16a+25a<2（16a+25a），故到2029年不能翻一番. 14.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S5=20. （1）求数列{an}的通项公式；（5分） （2）若等比数列{bn}的公比为q=，且满足a4+b4=9，求满足an<bn的所有正整数n的值.（10分） 解：（1）由题意设等差数列{an}的公差为d，由a1=2，S5=20， 得5a1+10d=20，解得d=1，故an=2+n-1=n+1. （2）因为等比数列{bn}的公比为q=，且满足a4+b4=9， 而a4=5，则b4=4，故b1===32，则bn=32×=26-n. 又an<bn，则n+1<26-n， 当n=1，2，3时，n+1<26-n显然成立，由于n+1随着n的增大而增大，26-n随着n的增大而减小，当n≥4时，n+1≥5，26-n≤4，故当n≥4时，n+1<26-n无解，故满足an<bn的所有正整数n的值为1，2，3. 15.（15分）已知等比数列{an}的首项a1=16，公比q=，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. （1）求数列{bn}的通项公式；（6分） （2）记数列{bn}的前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值?如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由.（9分） 解：（1）由已知得数列{bn}的首项b1=16，b5=a2=16×=1， 设数列{bn}的公比为q1（q1>0）， 即===， ∴q1=，即bn=b1=16×=25-n. （2）Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n=24+3+2+…+（5-n）===， 即当n=4或5时，Tn有最大值， 最大值为=210=1 024. 学科网（北京）股份有限公司 $