5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　等差数列前n项和的性质及应用 1.在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 2.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则λ的值是（　　） A.－2 B.－1 C.0 D.1 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（　　） A.100 B.101 C.200 D.201 4.已知等差数列{an}的前n项的为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－＝0，S2m－1＝38，则m＝（　　） A.38 B.20 C.10 D.9 5.设数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“S5＝5a3”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.〔多选〕若数列{an}为等差数列，公差为d，其前n项和为Sn，S9＞S10，S10＝S11，S11＜S12，则（　　） A.a10＜0 B.d＜0 C.S15＞S7 D.使Sn＞0的最小正整数n的值为22 7.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝　　　　. 8.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a8＝6，S5＝－5，则a6＝　　　　，Sn的最小值为　　　　. 9.若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n是　　　　. 10.已知数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝n（n＋1），n∈N＋. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝－17，求数列{｜bn｜}的前n项和Tn. 11.在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为（　　） A.160 B.180 C.200 D.220 12.〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn＝33n－n2，则下列说法正确的是（　　） A.an＝34－2n B.仅有S16为Sn的最小值 C.｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272 D.｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝450 13.在等差数列{an}中，3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和. （1）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值； （2）若a1＝－46，记bn＝，求bn的最小值. 14.已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，若a1＝1，a2＝2，且数列{an}的前10项和S10＝75，则d1＝　　　　，a8＝　　　　. 15.已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S2＝12，T3＝16. （1）求{an}的通项公式； （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 第二课时等差数列前n项和的性质及应用 1B碧-半，篇=学，a=10,故选B 2.B等差数列前n项和Sm的形式为Sm=am2十bn,∴.入=一1. 3.A由4，B,C三点共线得a4十a0=1,S20=29(a1十a2m)=10. 4.C根据等差数列的性质可得am-1十am+1=2am:am-1十am+1一孟=0，.am=0或am=2.若am= 0,显然S2m-1=(2m-1)am=38不成立，∴.am=2.∴.S2m-1=（2m-1)am=38,解得m=10. 5.A因为{a是等差数列，所以S,=s3=5a,充分性得证；反之，，=5a,只需a十a十 .…十a5=5ag,得不到{an}是等差数列，不满足必要性.所以“{an}是等差数列”是“S5=5a3”的充 分不必要条件.故选A. 6.ACD对于A,由S>S10,得a10=S10一Sg<0,A正确；对于B,由S10=S1,得a11=S1一S0= DRaa30,B香SuSm0.S =4(a1十a12)>0,5>S,C正确：对于D,由411=0，得S1=24a=21a1=0,由S= ag>0,得a十a,>0=a十a,解得a>a,由d0,得数列{a是递增数列，则n>21,因 此使Sm>0的最小正整数n的值为22，D正确.故选A、C、D. 7.5解析：，S3,S6-S3,S,-S6成等差数列，而S3=9,S6-S3=a4十a5十a6=7,∴.Sg一S6=5. 2a1+8d=6,,∫a=-5, 8.5-9解析：依题意得：{5a+10d=-5,解得{d=2,所以as=-5+10=5,S。=-5n+ n1×2=2-6,当n=3时，S,的最小值为一9. 2 9.405解析：由a203十a204>0知a41+a406>0,即S406>0,又由41<0且a203·a204<0,知a203<0, a2o4>0,所以公差d>0,则数列{an}的前203项都是负数，那么2a2o3=a1十a4os<0,所以S4os<0, 所以使前n项和Sm<0的最大自然数n=405. 10.解：(1)已知a十号+号++器=n(n+1),n∈N+, 当n=1时，a41=2; 当n≥2时，a+号+号++器=n(n-1), 则=n(n十1)-n(n-1)=2n→an=2n2(n≥2). 显然n=1时，a41=2,满足上式， 综上，am=2n2,n∈N+. 1/3 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 -2n+17,n≤8， (2)由(1)知b=2n-17,故1bm1={2m-17n≥9,1b1=15, 当n≤8，Tn=a15+7-2=-n2+16m: 2 当m≥9,1w=1s+81+212=2-16n+128. 2 1-n2+16n,n≤8， 综上，Tm={-16n+128,n29 [a+a+d+a1+2d=-24, 11.B 法-设数列(a}的公差为d,由题意得{a+17d+a1+18d+a+19d=78, a=-10, 解得d=2, 故S2o=20a1+2019×d=180. 2 法二由a1十a2十a3=3a2=-24,得a2=-8,由a18十a1十a20=3a19=78,得a19=26,于是S0= 10(a1+a20)=10(a2+419)=10×(-8+26)=180. 12.ACA选项，Sn=33n一n2中，当n=1时，a1=33一12=32，当n≥2时，am=Sm-Sm-1=33n- n2-33（n-1)+(n-1)2=-2n+34,显然a1=32满足am=34-2n,故a,=34-2n,A正确；B 选项，因为当1≤n≤16时，an>0,17=0,当n≥18时，am<0,故S6,S7为Sm的最大值，B错 误；C选项，46-34-32=2，故1a1+1a|++1a6=a十a2十.十a16=16x13242= 2 272,C正确；D选项，a417=0,a30=34-60=-26,|a417|+|a18|+..+|a30|=-(a17十a18 +…十a0）=-10-26=182,由C知，1a1+121+.+1a61=272,故1a1+1 2 +..+|a30|=272+182=454,D错误.故选A、C. 13.解：(1)法一设{am}的公差为d, 由3a=5a,得3(a+4d)=5(a+7d，d=-弟a ∴S,=a1+×(-第a)=-克an2+第an=-克a(n-12)2+券a. .a1>0,.当n=12时，Sm取得最大值. 法二由3as=5as得9a=15as,∴S,=S15.由Sn对应的二次函数图象的对称性可知，当n=斗5= 2 12时，Sm取得最大值. (2)由(1)及a=-46,得d=-录×(-46)=4， ∴.a=-46+(n-1)×4=4n-50, S,=-46n+ng1X4=2m2-48n. 2 ∴bw==2n52+50=2n+0-52≥2V2n×0-52=-32, 2/3 独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当且仅当2n=,即n=5时，等号成立. 故bm的最小值为一32. 14.311解析：由题意知，S0=5×1+学d+5×2+癸d=75,故d+=6.:对任意n∈N+ ，都有a,<an+1,.a2k-1<a2<ak+1(k∈N+),即1+(k-1)d4<2+(k-1)d<1十kd,取k =2时，可得1+d<2+<1+2d,结合d十d=6可解得号<d<,<<号，又d,为整 数，.d4=3=d..as=a+3=2+3×3=11. a1-6,n=2k-1, 15.解：(1)设等差数列{a的公差为d而bm={2ann=2k, k∈N+, 则b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a43-6=a十2d-6, |S2=2a1+d=12, 于是T3=4a+4d-12=16, |a=5, 解得{d=2,am=a+(n-1)d=2n+3, 所以数列{a,}的通项公式是an=2n十3. （2m-3,n=2k-1, （2)证明：由(1)知，S=52=+4,ba={4n+6,n=2k,k∈N+. 2 当n为偶数时，bm-1+bm=2(n-1)-3+4n+6=6n+1, T.=1411·号-r+3n. 2 当n>5时，Tm-Sn=(号n2+n)-(n2+4n)=n(n-1)>0,因此Tm>Sm 当n为奇数时，Tm=Tm+1-bm+1=是(n+1)2+子(n+1)-[4(n+1)+6]=n2+n-5, 当n>5时，Tm-Sn=（n2+号n-5)-(n2+4n)=是(n+2)(n-5)>0,因此Tm>Sm 综上，当n>5时，Tm>Sm 3/3 ·独家授权侵权必究·