5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第一课时　等差数列的前n项和公式 1.已知等差数列{an}中，a1＝4，a5＝12，则S6＝（　　） A.56 B.53 C.55 D.54 2.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1＝（　　） A.18 B.20 C.22 D.24 3.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第6个叠放的图形中，小正方体木块的总数是（　　） A.61 B.66 C.90 D.91 4.在等差数列{an}中，公差d≠0，若S21＝7（a5＋a10＋ak），则k的值为（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（　　） A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 6.〔多选〕设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝6，则（　　） A.Sn＝n2－3n B.Sn＝ C.an＝3n－6 D.an＝2n－27.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝　　　　. 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a5＝24，S6＝48，则S17＝　　　　. 9.定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为，若各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为，则a2 025＝　　　　. 10.等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. （1）求数列的通项公式； （2）若Sn＝242，求n. 11.〔多选〕已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－12，公差d＝2，则下列说法正确的是（　　） A.{an}是递增数列 B.1是数列{an}中的项 C.数列{Sn}中的最小项为S8 D.数列是等差数列 12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，an＋1＝则S40＝　　　　. 13.已知数列{an}满足a1＝4，a2＝6，an＋1＝2an－an－1＋2（n≥2）. （1）证明：数列{an－an－1}（n≥2）是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 14.一同学在电脑中打出如图所示图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此图案以此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是（　　） A.12 B.13 C.14 D.15 15.已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2　等差数列的前n项和 第一课时　等差数列的前n项和公式 1.D　由a1＝4，a5＝12得4d＝a5－a1＝12－4＝8，故d＝2，则S6＝6a1＋d＝6×4＋15×2＝54.故选D. 2.B　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋（1－11）d＝0＋（－10）×（－2）＝20. 3.B　分别观察各图中小正方体木块的个数为1，1＋5，1＋5＋9，…，归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，且各层的小正方体木块个数构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以Sn＝n＋＝2n2－n，所以S6＝2×36－6＝66.故第6个叠放的图形中，小正方体木块的总数为66.故选B. 4.D　因为S21＝21a1＋＝21a1＋210d，7（a5＋a10＋ak）＝7[a1＋4d＋a1＋9d＋a1＋（k－1）d]＝21a1＋（7k＋84）·d，且S21＝7（a5＋a10＋ak），则21a1＋210d＝21a1＋（7k＋84）d.因为d≠0，解得k＝18.故选D. 5.C　设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，则由题意可得 解得 所以小满日影长为a11＝13.5＋10×（－1）＝3.5（尺）. 6.BC　设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝0，a4＝6，所以解得所以an＝a1＋（n－1）d＝－3＋3（n－1）＝3n－6，Sn＝na1＋d＝－3n＋＝，故选B、C. 7.　解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d.a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6， ① S5＝5a1＋×5×（5－1）d＝10， ② 由①②联立解得a1＝1，d＝. 8.510　解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S6＝＝3（a3＋a4）＝48，即a3＋a4＝16.又因为a4＋a5＝24，可得a5－a3＝2d＝8，即d＝4，则a4＋a5＋9d＝（a4＋5d）＋（a5＋4d）＝2a9＝60，即a9＝30，所以S17＝17a9＝510. 9.8 099　解析：设数列{an}的前n项和为Sn，由已知可得数列{an}的前n项的“均倒数”为＝＝，可得Sn＝（2n＋1）n＝2n2＋n，所以，a2 025＝S2 025－S2 024＝－（2×2 0242＋2 024）＝8 099. 10.解：（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d. 则解得 ∴an＝a1＋（n－1）d＝12＋（n－1）×2＝10＋2n. （2）由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得方程242＝12n＋×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22（舍去）.故n＝11. 11.AD　对于A，因为a1＝－12，公差d＝2，则an＝－12＋2（n－1）＝2n－14，所以{an}是递增数列，故A正确；对于B，令an＝2n－14＝1，解得n＝，故1不是数列{an}中的项，故B错误；对于C，令an＝2n－14＝0，解得n＝7，即a6＜0，a7＝0，a8＞0，所以数列{Sn}中的最小项为S6或S7，故C错误；对于D，因为Sn＝－12n＋×2＝n2－13n，则＝n－13，所以数列是等差数列，故D正确.故选A、D. 12.1 280　解析：当n为奇数时，an＋1＝an＋1，an＋2＝an＋1＋2＝an＋3；当n为偶数时，an＋1＝an＋2，an＋2＝an＋1＋1＝an＋3.因此an＋2＝an＋3，{an}的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列；{an}的偶数项是以a2＝4为首项，3为公差的等差数列，所以S40＝（a1＋a3＋…＋a39）＋（a2＋a4＋…＋a40）＝20a1＋×3＋20a2＋×3＝20×（3＋4）＋20×19×3＝1 280. 13.解：（1）证明：因为an＋1＝2an－an－1＋2，n≥2， 所以（an＋1－an）－（an－an－1）＝2. 又由a1＝4，a2＝6，可得a2－a1＝2， 所以数列{an－an－1}（n≥2）是首项为2，公差为2的等差数列. （2）由（1）知，数列{an＋1－an}是首项为2，公差为2的等差数列，即an＋1－an＝2n， 所以an－an－1＝2n－2（n≥2）， 所以当n≥2时， an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋（a4－a3）＋…＋（an－an－1） ＝4＋[2＋4＋6＋…＋（2n－2）] ＝4＋＝n2－n＋4. 又a1＝4满足上式，所以an＝n2－n＋4， 即数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋4. 14.C　S＝（1＋2＋3＋…＋n）＋n＝＋n≤120，所以n（n＋3）≤240，所以n＝14. 15.解：①③⇒②. 已知{an}是等差数列，a2＝3a1. 设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n， 所以－＝（n＋1）－n＝（常数），所以数列{}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{}是等差数列. 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2d＋n. 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{}的公差为d，d＞0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋（n－1）d＝nd，所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－（n－1）2d2＝2d2n－d2（n≥2），是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $