5.2.1 第2课时 等差数列的性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　等差数列的性质 1.已知数列{an}为等差数列，a3，a11是方程x2－6x＋8＝0的两个实数根，则a7＝（　　） A.3 B.±3 C.4 D.±4 2.已知等差数列{an}：1，0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0，20，40，60，…，则数列{an＋bn}是（　　） A.公差为－1的等差数列 B.公差为20的等差数列 C.公差为－20的等差数列 D.公差为19的等差数列 3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（　　） A.1升 B.升 C.升 D.升 4.已知数列{an}为递增的等差数列，若a3＋a12＝13，a5a10＝36，则{an}的公差为（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 5.〔多选〕设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是（　　） A.a＝－b B.a＝3b C.a＝－3b D.a＝b 6.〔多选〕已知各项均为正数的等差数列{an}是递增数列，且a5＝2，则（　　） A.公差d的取值范围是（ －∞，） B.2a7＝a9＋2 C.a8＋a4＞a6＋a5 D.a1＋a9＝4 7.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则（a3＋－a5＝　　　　. 8.如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4＝　　　　；a1＋a2＋…＋a7＝　　　　. 9.已知数列{an}满足①∀k∈N＋，ak＋1＞ak；②∀k∈N＋，｜ak＋1－ak｜≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式　　　　　（答案不唯一）. 10.有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少. 11.〔多选〕已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，以下说法正确的有（　　） A.an＝8n－6 B.当k＝7时，数列{bn}的公差为2 C.当k＝3时，b29是数列{an}中的项 D.若b9是数列{an}的项，则正整数k的取值为1，3，7 12.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝　　　　，若ak＝13，则k＝　　　　. 13.已知等差数列{an}的公差大于零，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数c的值；若不存在，请说明理由. 14.已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为（　　） A.105 B.120 C.90 D.75 15.已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2； （2）求{bn}的通项公式； （3）{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等差数列的性质 1.A　由题意可得a3＋a11＝2a7＝6，解得a7＝3.故选A. 2.D　（a2＋b2）－（a1＋b1）＝（a2－a1）＋（b2－b1）＝－1＋20＝19. 3.B　设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有 即化简得 解得则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升. 4.D　 因为a5＋a10＝a3＋a12＝13，a5a10＝36，所以a5，a10为方程x2－13x＋36＝0的两根.又因为{an}为递增的等差数列，所以a5＝4，a10＝9，故公差为＝1.故选D. 5.AB　由等差中项的定义知：x＝，x2＝，∴＝，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b. 6.BCD　由题意得d＞0，a1＞0，a5＝2，所以a1＝2－4d＞0，解得d＜，所以d∈（ 0，），故A错误；由2a7－a9＝（a5＋a9）－a9＝a5＝2，故B正确；由a8＋a4－（a6＋a5）＝a8－a6－（a5－a4）＝2d－d＝d＞0，故a8＋a4＞a6＋a5，故C正确；由等差数列性质得a1＋a9＝2a5＝4，故D正确.故选B、C、D. 7.60　解析：∵在等差数列{an}中，a2＋a8＝8，∴a2＋a8＝2a5＝8，解得a5＝4，－a5＝－a5＝64－4＝60. 8.4　28　解析：由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4，a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. 9.an＝n（n∈N＋）　解析：∀k∈N＋，ak＋1＞ak，说明数列是递增数列，由∀k∈N＋，｜ak＋1－ak｜＜2，不妨设该数列为等差数列，公差为1，首项为1，所以an＝n. 10.解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列.设该数列为{an}. an＝780＋（n－1）（－20）＝800－20n， 解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18. 当购买台数小于等于18台时，每台售价为（800－20n）元，当台数大于18台时，每台售价为440元. 到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600（元）. 作差（800－20n）n－600n＝20n（10－n）， 当n＜10时，600n＜（800－20n）n， 当n＝10时，600n＝（800－20n）n， 当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n， 当n＞18时，440n＜600n. 即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少. 11.ABD　由题意得：插入k（k∈N＋）个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…，所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且下角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋（n－1）（k＋1），因为b9是数列{an}的项，所以令1＋（n－1）·（k＋1）＝9，n∈N＋，k∈N＋，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1，3，7，故选A、B、D. 12.　18　解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7，∴a7＋a9＝，设公差为d，则d＝.∴ak－a9＝（k－9）d，即13－7＝（k－9）×，解得k＝18. 13.解：（1）因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22. 又a3·a4＝117，所以得 解得或又公差d＞0，所以a3＜a4， 所以所以解得 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3. （2）若bn＝为等差数列，则必有2b2＝b1＋b3， 又b1＝，b2＝，b3＝，其中c≠0， 所以×2＝＋，所以2c2＋c＝0，所以c＝－或c＝0（舍去）.将c＝－代入bn＝，得bn＝2n，此时{bn}为等差数列，即存在非零实数c＝－，使数列{bn}为等差数列. 14.A　由等差数列的性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝5，又因为a1·a2·a3＝80，所以a1·a3＝16，所以（a2－d）·（a2＋d）＝16，即（5－d）·（5＋d）＝16，所以d2＝9，又因为d＞0，所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3（a2＋10d）＝3×（5＋10×3）＝105. 15.解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列. （1）因为a1＝3，d＝－5， 所以an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， 所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. （2）设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am， 则m＝3＋4（n－1）＝4n－1， 所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n， 即{bn}的通项公式为bn＝13－20n（n∈N＋）. （3）b503＝13－20×503＝－10 047， 设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m， 解得m＝2 011， 即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $