5.2.1等差数列的性质导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

该高中数学导学案聚焦等差数列的性质，涵盖等差中项概念、判断方法及项的性质。通过复习等差数列定义与通项公式导入，以问题链衔接旧知与新知，搭建从概念理解到性质应用的学习支架，引导学生逐步深入。 特色在于问题驱动与分层设计，结合梯子宽度、皮带轮直径等实例引导学生用数学眼光观察，通过证明探究培养推理思维，不同层次练习帮助学生用数学语言表达，提升自主学习与问题解决能力，适合教学使用。

山东省 高二数学 课时学案 编制人： 审核人： 班级 小组 姓名 使用时间 2025年 月 日 编号： 选修3-04 课题： 等差数列的性质 【课标要求】 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 【学习目标】 1.通过阅读课本20页，能说出等差中项的概念，并会求等差中项； 2.通过研做课本例6，学会利用等差中项判断等差数列，归纳出判断等差数列的常用方法； 3.通过课本尝试与发现，熟记等差数列项的性质，并能在解题中灵活应用. 【基础自学】 复习回顾： 1. 什么是等差数列？判断等差数列的方法？ 2. 等差数列的通项公式是什么？其推导方法是什么？ 自学任务一：等差中项 问题1：（1）如果成等差数列，则______________； （2）如果等差中项，则满足的关系是_____________；反之成立吗？ （3）等差中项的表达式与数轴上两点之间的中点坐标公式有什么联系？ 问题2：（1）若数列是等差数列，则是否成立？ （2）如果数列满足，该数列是等差数列吗？结合例6给出证明. 思考：如何证明一个数列是等差数列？ 【自学评测一】 1.求下列各题中两个数的等差中项. （1）30与18 （2）-13与9 （3）与 2.实数m与9的等差中项是-2，则m=_________ 自学任务二：等差数列项的性质 问题：在数列中，已知， 1.计算 ， ，并比较大小 ； 2.猜测与的大小关系是 并检验; 3.猜测若正整数满足，则 ，并证明. 思考：如果 ，则________________ 【自学评测二】 在等差数列中 （1）若，则__________，__________; （2）若，是方程的两根，则，的等差中项为______; 【合作探究】 探究任务：等差数列项的性质 例1.若等差数列满足求的值. 变式:已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d，数列，， ，……是等差数列吗？如果是，求出首项与公差；如果不是，说明理由. 练习1.若等差数列的公差且则. 例2.已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm，第5级的宽为47cm，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余3级的宽度. 练习2.已知安装在一个公共轴上的5个皮带轮的直径成等差数列，其中最大的与最小的皮带轮的直径分别为216mm与120mm，求中间三个皮带轮的直径. 【课堂随测】 A组 1．若数列是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的序号有_________ ① ② ③ 2.已知数列满足，且，则_________，_________. 3.已知数列是等差数列，若，，且，求k的值． 4.三个数成等差数列，和为6，积为-24，求这三个数. B组 5.在等差数列中，，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是_________. 6.在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2()＝(　　) A.10 B.20 C.40 D.2＋log25 7.（多选）已知数列是首项为公差为d的无穷等差数列，下列命题正确的是（ ） A.将数列去掉前m项后，剩下的各项仍然组成等差数列，且公差为d B.数列中所有奇数项组成的新数列仍为等差数列，且公差为d C.数列中所有项数为7的倍数的项组成的新数列仍为等差数列，且公差为7d D.数列，，…是等差数列，且公差为3d 8.如果一个三角形的3个内角的度数成等差数列，这个三角形3个内角的大小能确定吗？你能得到什么结论？ 9．首项为24的等差数列，从第10项起开始为负数，求公差的取值范围 10.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围． C组 11.已知两个等差数列的公差不相等，但第5项相等，这两个等差数列中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$