5.2.1 第1课时 等差数列的定义(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第一课时　等差数列的定义 1.下列数列是等差数列的是（　　） A.，，， B.1，，， C.1，－1，1，－1 D.0，0，0，0 2.设{an}是等差数列，且a1＝，a2＋a3＝5，则{an}的通项公式为（　　） A.an＝ B.an＝n C.an＝ D.an＝ 3.若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝（　　） A.50　　　B.51 C.52　　　D.53 4.已知数列{an}满足a1＝－，－＝2，则数列{an}中的最小项为（　　） A.a2 B.a3 C.a4 D.a5 5.已知数列{an}满足an＋1＋an＝6n＋1（n∈N＋），则a1＋a6＝（　　） A.18 B.19 C.20 D.21 6.〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n，则（　　） A.a1＋a3＝a5＋a7 B.{an}中的最小项为－16 C.从第三项起，{an}的每一项都大于它的前一项 D.数列{an＋2－an}为等差数列 7.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝　　　　，a6＝　　　　. 8.写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列an＝　　　　. 9.数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列.若an＝bn，则n的值为　　　　. 10.数列{an}满足a1＝1，＝＋1（n∈N＋）. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 11.〔多选〕已知数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为Sn，则（　　） A.数列是等差数列 B.存在n∈N＋，使得an＋1＜an成立 C.当n＝8时，Sn最大 D.数列{an－an＋1}的最大值为 12.如果有穷数列a1，a2，…，am（m∈N＋）满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝　　　　. 13.已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. （1）设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 14.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷（ɡuǐ）长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分；且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为（　　） A.953分 B.1 052分 C.1 151分 D.1 250分 15.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N＋）. （1）当a2＝－1时，求λ及a3的值； （2）是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 第一课时　等差数列的定义 1.D　 ∵－≠－，故排除A；∵－1≠－，故排除B；∵－1－1≠1－（－1），故排除C；常数列是等差数列，故D正确.故选D. 2.B　设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝，a2＋a3＝5，所以a1＋d＋a1＋2d＝5，解得d＝，则an＝a1＋（n－1）d＝＋（n－1）＝n.故选B. 3.D　设公差为d，依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.所以an＝a1＋（n－1）d＝＋（n－1）×＝n－，令an＝35，解得n＝53. 4.B　由－＝2可知为等差数列，且公差为2，首项为－5，因此＝2（n－1）－5＝2n－7⇒an＝.由于a2＝－，a3＝－1且∀n≥4，an＞0，故{an}中的最小项为a3，故选B. 5.B　由an＋1＋an＝6n＋1，可得an＋2＋an＋1＝6n＋7，两式相减可得an＋2－an＝6，即数列{an}的偶数项是以6为公差的等差数列，则a6＝a2＋（ －1）×6＝a2＋12，且a1＋a2＝7，所以a1＋a6＝a1＋a2＋12＝7＋12＝19.故选B. 6.ABD　an＝n2－8n＝（n－4）2－16.对于A，a1＝a7＝－7，a3＝a5＝－15，则a1＋a3＝a5＋a7，故A正确；对于B，当n＝4时，{an}中的最小项为a4＝－16，故B正确；对于C，由上计算得a3＝a5＝－15，显然从第三项起，{an}的每一项不一定大于它的前一项，故C错误；对于D，由an＋2－an＝（n＋2）2－8（n＋2）－n2＋8n＝4n－12，显然（an＋3－an＋1）－（an＋2－an）＝[4（n＋1）－12]－（4n－12）＝4，所以{an＋2－an}是公差为4的等差数列，故D正确.故选A、B、D. 7.3　13　解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋（n－1）×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13. 8.2n－6（答案不唯一）　解析：要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3＜a3，即a1＋a2＜0，则不妨设a1＝－4，a2＝－2，则an＝－4＋（n－1）×2＝2n－6. 9.5　解析：an＝2＋（n－1）×3＝3n－1，bn＝－2＋（n－1）×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5. 10.解：（1）证明：由＝＋1，可得－＝2，∴数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知＝1＋（n－1）×2＝2n－1，∴an＝. 11.ABD　 ∵an＝，∴＝＝－n＋，∴－＝［－（n＋1）＋］－（ －n＋）＝－，则为等差数列，故A正确；∵a7＝8，a8＝－，∴a8＜a7，故B正确；∵当1≤n≤7时，an＞0，当n≥8时，an＜0，∴当n＝7时，Sn最大，故C错误；∵an－an＋1＝－＝＝，（22－3n）（3n－19）＝－9n2＋123n－418＝－9（ n－）2＋，n∈N＋，∴当n＝7时，（22－3n）（3n－19）＝2，当n≤6或n≥8时，（22－3n）（3n－19）＜0，∴{an－an＋1}的最大值为，故D正确.故选A、B、D. 12.19　解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝1＋9×2＝19.又因为数列{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19. 13.解：（1）证明：因为an＋1＝2an＋2n，所以＝＝＋1，所以－＝1，n∈N＋. 又因为bn＝，所以bn＋1－bn＝1.所以数列{bn}是等差数列，其首项b1＝1，公差为1. （2）由（1）知bn＝1＋（n－1）×1＝n， 所以an＝2n－1bn＝n·2n－1. 14.B　一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分，且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.从“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影长变短，所以“立春”时日影长度为：1 350＋×3＝1 052（分）. 15.解：（1）∵a1＝2，a2＝－1，a2＝（λ－3）·a1＋2，∴λ＝. ∴a3＝－a2＋22，∴a3＝. （2）不存在实数λ使数列成等差数列. 理由如下：∵a1＝2，an＋1＝（λ－3）·an＋2n， ∴a2＝（λ－3）a1＋2＝2λ－4. a3＝（λ－3）a2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1. 即λ2－7λ＋13＝0. ∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解. ∴不存在实数λ使数列{an}成等差数列. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $