5.1.1 数列的概念(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 1.D　对于A，a1＝（－1）1×2×1＝－2，不符合题意，故A错误；对于B，a1＝（－1）1×21＝－2，不符合题意，故B错误；对于C，a3＝（－1）2×23＝8，不符合题意，故C错误；对于D，a1＝（－1）2×2＝2，a2＝（－1）3×4＝－4，a3＝（－1）4×6＝6，a4＝（－1）5×8＝－8，符合题意，故D正确.故选D. 2.B　因为数列{an}中，an＝，所以a4＝＝，故选B. 3.B　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5. 4.A　依题意，a4＋a5＝23＋（2×5－1）＝17.故选A. 5.D　因为1＝37×0，37＝37×1，314＝37×2，321＝37×3，所以符合题意的一个通项公式为an＝37（n－1）.由37（n－1）＝398，解得n＝15，所以398是这个数列的第15项.故选D. 6.BD　A项，因为an＋1－an＝－＝－＜0，所以是递减数列；B项，因为an＋1－an＝－（n2＋n）＝2n＋2＞0，所以是递增数列；C项，因为an＋1－an＝[1－2（n＋1）]－（1－2n）＝－2＜0，所以是递减数列；D项，因为an＋1－an＝（2n＋1＋1）－（2n＋1）＝2n＞0，所以是递增数列.故选B、D. 7.an＝ 解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得 an＝ 8.2　15　解析：由已知＝3，若a1＝1，将有a1＝3，矛盾；若a1＝k≥3，则ak＝＝3≤a1，与{an}单调性矛盾；故a1＝2.由a1＝2，有a2＝＝3，a3＝＝6，所以a6＝＝9.又a3＜a4＜a5＜a6，则6＜a4＜a5＜9，所以a4＝7，a5＝8，故a4＋a5＝15. 9.2n2－2n＋1　解析：f（1）＝1＝2×1×0＋1， f（2）＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f（3）＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f（4）＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f（n）＝2n（n－1）＋1. 10.解：（1）a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①. （2）a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图②. 11.C　因为数列{an}是递减数列，所以只需k－2＜0且a1＞a2，即k＜2且k＜，故实数k的取值范围为. 12.（ －∞，）　解析：∵数列{an}是递增数列，∴an＋1＞an，∴（n＋1）2－2λ（n＋1）＞n2－2λn，即2λ＜2n＋1恒成立.∵n≥1且n∈Z，则2n＋1≥3，∴2λ＜3，即λ＜. 13.解：（1）∵an＝1＋（n∈N＋，a∈R且a≠0），a＝－7， ∴an＝1＋.结合函数f（x）＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4；a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N＋）. ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. （2）an＝1＋＝1＋. 由对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立及函数f（x）＝1＋的单调性可得5＜＜6，∴－10＜a＜－8. 即实数a的取值范围为（－10，－8）. 14.B　由此数项的前10项的规律可知，当n为偶数时，an＝，当n为奇数时，an＝.对于A、B，a16＝＝128，所以A错误，B正确；对于C，a18＝＝162≠200，所以C错误；对于D，若200是此数列的偶数项，则＝200，得n＝20，所以200是此数列的第20项，所以D错误.故选B. 15.解：（1）证明：因为f（x）＝＝＝－2＋，所以an＝－2＋.因为n∈N＋，所以an＞－2. （2）数列{an}为递减数列. 因为an＝－2＋，所以an＋1－an＝－＝－＝＜0， 即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.1　数列的概念 1.数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（　　） A.an＝（－1）n2n B.an＝（－1）n2n C.an＝（－1）n－12n D.an＝（－1）n＋12n 2.数列{an}中，若an＝，则a4＝（　　） A. B. C.2 D.8 3.已知数列{an}的通项公式an＝log（n＋1）（n＋2），则它的前30项之积是（　　） A. B.5 C.6 D. 4.在数列{an}中，若an＝则a4＋a5的值为（　　） A.17 B.23 C.25 D.41 5.若一数列为1，37，314，321，…，则398（　　） A.不在此数列中 B.是这个数列的第13项 C.是这个数列的第14项 D.是这个数列的第15项 6.〔多选〕满足下列条件的数列{an}（n∈N＋）是递增数列的为（　　） A.an＝ B.an＝n2＋n C.an＝1－2n D.an＝2n＋1 7.数列－1，1，－2，2，－3，3，…的一个通项公式为　　　　. 8.已知递增数列{an}的各项均是正整数，且满足＝3n，则a1＝　　　　，a4＋a5＝　　　　. 9.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图①②③④为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多，刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（n）＝　　　　. 10.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来： （1）an＝（－1）n＋2； （2）an＝. 11.设函数f（x）＝an＝f（n）（n∈N＋），若数列{an}是递减数列，则实数k的取值范围为（　　） A.（－∞，2） B. C. D. 12.数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn（n＝1，2，…）.若{an}为递增数列，则λ的取值范围为　　　　. 13.已知在数列{an}中，an＝1＋（n∈N＋，a∈R且a≠0）. （1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围. 14.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目.该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（　　） A.该数列的第16项为144 B.该数列的第16项为128 C.200是该数列的第18项 D.200不是该数列中的项 15.已知函数f（x）＝（x≥1），构造数列an＝f（n）（n∈N＋）. （1）求证：an＞－2； （2）数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $