第6章 导数及其应用 章末整合提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学讲义通过专题框架系统梳理了导数应用的知识体系，将导数的几何意义、单调性、极值最值、不等式证明、恒成立问题、方程根研究及实际应用等内容分层呈现，结合例题解析突出重难点分布和内在联系。 讲义亮点在于“问题导向”的练习设计，如例2结合2024新高考Ⅰ卷真题考查单调性，例7通过矩形游乐园面积问题培养数学建模素养。例题从基础计算到综合应用，帮助不同层次学生掌握逻辑推理方法，教师可据此实施精准化复习教学。

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 章末整合提升 【例1】解：(1).P(x)=(x3+x-16)'=3x2+1, ∴f(x)在点(2，一6)处的切线的斜率为P(2)=13. ∴.切线的方程为y=13(x-2)一6， 即y=13x-32. (2)法一设切点为(xo,yo), 则直线1的斜率为f(x0)=3x+1, ∴.直线1的方程为 y=(3x3+1)(x-xo)+X8十x0-16 又.直线1过点(0,0)，.0=（3x+1)·(-x0)十+x0-16. 整理得，8=一8， .x0=-2. .y0=（-2)3+(-2)-16=-26. (-2)=3×(-2)2+1=13. .直线1的方程为y=13x,切点坐标为（一2，一26）. 法二设直线1的方程为y=x,切点为(xo,yo), 则器-g 0 又，k=f(xo)=3x+1, :ǚxr16=3X3+1. xo 解得xo=一2， ∴.y0=(-2)3+(-2)-16=-26. k=3×(-2)2+1=13. ∴.直线1的方程为y=13x,切点坐标为（一2，一26). 【例2】(1)C(2)ACD 解析：(1)法一由题意，得(x)=ae-是，(x)=ae-是≥0在区间(1,2)上恒成立， 即a≥品在区间(1,2)上恒成立.设函数g(x)=品，x∈(1,2)，则g'(x)=-語<0，·. 函数g（x)在区间(1,2)单调递减.∴.x∈(1,2)，g(x)<g(1)=日=e-1.∴.a≥e-1,∴a 的最小值为e一l.故选C 1/5 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 法二，函数f(x)=aer-lnx,f(x)=aer-京..函数f(x)=aer-lnx在区间(1,2)单调 递增，∴f(x)≥0在(1,2)恒成立，即ae-是≥0在(1,2)恒成立，易知a>0,则0<≤xe 在(1,2)恒成立.设g(x)=xe,则g(x)=(x+1)e.当x∈(1,2)时，g'(x)>0,g (x)单调递增，.在(1,2)上，g(x)>g(1)=e,.}≤e,即a≥=el,故选C. (2)对A,因为函数f(x)的定义域为R,而f(x)=2(x一1)·(x一4)+(x一1)2=3(x 1)·(x-3),易知当x∈(1,3)时，f(x)<0,当x∈(-∞，1)或x∈(3，+∞)时，f (x)>0,故函数f(x)在（一∞，1）上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，+∞)上单 调递增，故x=3是函数f(x)的极小值点，A正确；对B,当0<x<1时，x一x2=x(1一x)>0, 所以x>x2,又函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x)>f(x2),B错误；对C,当 1<x<2时，1<2x一1<3，而由上可知，函数f(x)在(1,3)上单调递减，所以f(1)>f(2x一 1)>f(3),即-4<f(2x一1)<0，C正确；对D,由2-x-x=2-2x,又-1<x<0,故2- 2x>0,所以f(2-x)-f(x)=(1-x)2（-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2·(2- 2x)>0,D正确.故选A、C、D. 【例3】(1)B(2)BCD解析：(1)由题意知，f(1)=aln1+b=b=-2.求导得(x) =是-是(x>0)，因为f(x)的定义域为(0，+∞)，所以易得(1)=a一b=0,所以a=一 2,所以f(2)=是-冬=-.故选B. (2)因为函数f(x)=alnx十是十总(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，十∞)，P(x)= 2c，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程a2-bx一2c=0有两个不等 b2+8ac>0, 1△>0， b2+8ac>0, 的正实根1,2，则 x1+为>0，即 吾>0， ab>0, 所以ac<0, 故选B、C、D. X1x2>0, -受>0， bc<0. 【例4】解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f(x)=ae-1. 当a≤0时，易知P(x)<0,则f(x)在（一∞，十∞）上是减函数 当a>0时，令f(x)=0,得x=ln. 当x∈(-o,n3)时，f(x)<0;当x∈(n,+∞)时，P(x)>0. 所以f(x)在（一∞，ln)上单调递减，在(ln},十∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f(x)在（一∞，+∞）上是减函数；当a>0时，f(x)在（一∞，ln吉） 上单调递减，在(ln,十∞)上单调递增. 2/5 ·独家授权侵权必究。 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.Gom☐ 您身边的互联网+教辅专家 (2)证明：法一 由(1)知，当a>0时，f(x)在(-∞，ln吉)上单调递减，在(ln,+∞) 上单调递增， 所以f(x)mim=f(n)=a(en是+a)-ln暗=1+a2+lna. 令g(x)=1+x2+lnx-(2nx+号)，x>0, 即g(x)=2-lnx-克，x>0, 则g(x)=2—是=22. 令gw=0,得x=9. 当x∈(0，号)时，g(x)<0:当x∈号，十∞)时，g(x)>0. 所以g(x)在0，)上单调递减，在<号，+©)上单调递增， 所以gx)m=g<号)=9)2-n号-生=-n号>0， 所以1十x2+nx>2nx+号对x>0恒成立， 所以当a>0时，1+a2+lna>2na十马恒成立. 即当a>0时，f(x)>2lna+. 法二当a>0时，由(1)得，f(x)mim=f(-lna)=1十a2+lna, 故欲证f(x)>2lna+号成立， 只需证1+a2+lna>2na+号， 即证a2-是>na. 构造函数u(a)=lna-（a-1)(a>0), 则w(a)=}-l=,所以当a>1时，'(a)<0:当0<a<1时，u'(a)>0. 所以函数u(a)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 所以w(a)≤w(1)=0,即lna≤a-1, 故只需证a2->a-1,即证a2-a+>0, 因为a2-a十=(a-支)2+>0恒成立， 所以当a>0时，f(x)>2na+ 【例5】解：(1)当a=8时，f(x)=8-器(ax∈(0，受))， (x)=8-+=8+一： 3 3/5 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 令m=6,则te(1,+∞）， 令h(t)=-32+2t+8=-(3t+4)·(t-2), 当t∈(1,2)时，h(t)>0;当t∈(2，+∞)时，h(t)<0. 故当x∈(0，)时，f(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈（军，）时，(x)<0,f(x)单调递减. f(x)在区间(0，)上单调递增，在区间(，变)上单调递减. (2)令g(x)=f(x)-sin2x=ax-8器-sn2x, 则g(x）=a-如+3四s整-2cos2x=a-g3ms-4e0s2x十2=a-(2e3十40os2x- C035x Cosx cos 2), 令u=cos2x,则u∈(0,1)，令k(u)=243+4u-2, 则K()=2特+4=3 u3 当u∈(0,1)时，'()<0， ∴.k()在(0,1)上单调递减， .k(1)=3,∴.当u∈(0,1)时，k()>3, ∴.k()的值域为(3，十∞). ①当a≤3时，g(x)<0,∴g(x)在(0，变)上单调递减， 又g(0)=0, .当x∈(0，)时，g(x)<0,即f(x)<sim2x. ②当a>3时，3xo∈(0，晋)使得g'(xo)=0, g(x)在(0，x)上单调递增，在(xo,罗)上单调递减， ∴.g(xo)>g(0)=0, f(x)<sim2x不成立. 综上所述，a的取值范围为（一∞，3]. 【例6】解：(1)当m=0时，f(x)=备，f(x)=必=签， e2.s 当x∈（一∞，1），f(x)>0,f(x)在（一∞，1)上单调递增； 当x∈(1，+∞)，(x)<0,f(x)在(1，+∞)上单调递减. 所以f(x)的单调递增区间为（一∞，1），单调递减区间为(1，十∞). (2)f(x)=十m=0,x∈[0,3]有两个零点， 4/5 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以一m=意，x∈[0,3]有两个根. 设h(x)=多，h(x)=竖， x∈[0,1]，h'(x)>0,h(x)单调递增，x∈[1,3]，h'(x)<0,h(x)单调递减， 又因为h(1)=,h(0)=0,h(3)=是， 由题知，h(x)的图象与直线y=一m有两个交点， 所以是≤一m<,即-}<m≤-急， 【例7】解：如图，以M点为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4,2)· 设抛物线方程为y2=2px. ,点D在抛物线上， ∴.22=8，解得p=吉 ∴.抛物线方程为y2=x(0≤x≤4,0≤y≤2）· 设P(y2,y)(0≤y≤2)是曲线MD上任-点， 则IP9|=2+y,|PN|=4-y2. ∴.矩形游乐园面积为 S=|P9|·|PN|=(2+y)(4-y2)=8-y3-2y2+4y. 求导得，S=-3y2-4y+4,令S=0, 得3y2+4y-4=0, 解得y=号或y=一2（舍）· 当ye(0,)时，S">0,函数单调递增： 当y∈（号，2）时，S"<0,函数单调递减. ∴当y=号时，S有极大值且为最大值. 此时1P91=2+y=2+号=号， 1PW1=4-2=4-(3)2=. “游乐园的最大面积为Sx=号×号= 2(km2). 5/5 ·独家授权侵权必究· 一、数学运算 数学运算、逻辑推理这两大核心素养在本章中体现较多，主要涉及以下内容：（1）导数的计算；（2）利用导数研究函数的单调性、极值、最值；（3）函数不等式的证明；（4）恒成立（能成立）的转化. 培优一｜导数的几何意义 1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f'（x0）（x－x0），明确“过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y＝f（x）的切线方程”的异同点. 2.围绕着切点有三个等量关系：切点（x0，y0），则k＝f'（x0），y0＝f（x0），（x0，y0）满足切线方程，在求解参数问题中经常用到. 【例1】　已知函数f（x）＝x3＋x－16. （1）求曲线y＝f（x）在点（2，－6）处的切线方程； （2）直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标. 尝试解答 培优二｜利用导数研究函数的单调性 　借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等初等函数（或复合函数）的单调性，是近几年高考的一个重点.其特点是导数f'（x）的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，集分类讨论、数形结合于一体. 【例2】　（1）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2　　　　　　　　 B.e C.e－1 D.e－2 （2）〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷10题）设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　） A.x＝3是f（x）的极小值点 B.当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C.当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0 D.当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x） 尝试解答 培优三｜利用导数研究函数的极值和最值 1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质.另函数有极值未必有最值，反之亦然. 2.判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： （1）求定函数f（x）的定义域； （2）求方程f'（x）＝0的根； （3）检验f'（x）＝0的根的两侧f'（x）的符号： 若左正右负，则f（x）在此根处取得极大值； 若左负右正，则f（x）在此根处取得极小值. 导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意. 3.求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： （1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将（1）求得的极值与f（a），f（b）相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值. 【例3】　（1）当x＝1时，函数f（x）＝aln x＋取得最大值－2，则f'（2）＝（　　） A.－1 B.－ C. D.1 （2）〔多选〕若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 尝试解答 培优四｜利用导数证明不等式 　利用导数解决不等式问题（如：证明不等式、比较大小等），其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式（或比较大小）常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.其实质是这样的： 要证不等式f（x）＞g（x），则构造函数φ（x）＝f（x）－g（x），只需证φ（x）＞0即可，由此转化成求φ（x）最小值问题，借助于导数解决. 【例4】　已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x. （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当a＞0时，f（x）＞2ln a＋. 尝试解答 培优五｜利用导数解决恒成立问题 解决恒成立问题的方法： （1）若关于x的不等式f（x）≤m在区间D上恒成立，则转化为f（x）max≤m； （2）若关于x的不等式f（x）≥m在区间D上恒成立，则转化为f（x）min≥m. 【例5】　已知函数f（x）＝ax－，x∈（0，）. （1）当a＝8时，讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）＜sin 2x，求a的取值范围. 尝试解答 培优六｜利用导数研究方程的根或函数的零点 　讨论方程根的个数、研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立等问题的实质就是函数的单调性与函数极（最）值的应用.破解问题的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极（最）值列出，然后再借助单调性和极（最）值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解. 【例6】　函数f（x）＝＋m，其中m∈R. （1）当m＝0时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在区间[0，3]上有两个零点，求m的取值范围. 尝试解答 二、数学建模 利用导数解决函数在实际问题中的应用问题，培养学生的数学建模核心素养. 培优七｜导数的实际应用 解决优化问题的步骤： （1）首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域； （2）其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具； （3）最后验证数学问题的解是否满足实际意义. 【例7】　如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，试求游乐园的最大面积. 尝试解答 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $