6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦简单复合函数的求导法则这一核心知识点，前承基本初等函数导数，通过实例引入复合函数定义，明确中间变量，再系统讲解求导法则，构建从概念到法则再到应用的学习支架。 该资料以问题链驱动学习，结合具体函数实例培养数学眼光，通过分步求导和通性通法总结发展数学思维，例题与跟踪训练结合导数几何意义等应用强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后通过练习题和问题探究帮助学生巩固提升。

第二课时　简单复合函数的求导法则 课标要求 能求简单的复合函数的导数（数学运算）. 　　 　　观察函数y＝（3x－1）2和y＝sin 2x，不难发现，y＝（3x－1）2由y＝u2及u＝3x－1复合而成，y＝sin 2x由y＝sin u及u＝2x复合而成.像这样由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数. 【问题】　怎样求复合函数的导数呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　复合函数 1.复合函数的定义 已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝　　　　为函数f（u）与g（x）的复合函数，其中　　称为中间变量. 2.复合函数的求导法则 如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f（g（x）），则 （1）h'（x）＝[f（g（x））]'＝　　　　　　＝　　　　　　； （2）y'x＝　　　　　　. 【想一想】 1.已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）.这三个函数都是复合函数吗？ 2.试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？ 3.求复合函数的导数与顺序有关吗？ 1.下列函数求导正确的是（　　） A.（e－x）'＝e－x B.（ln x2）'＝ C.（ex＋ln 3）'＝ex＋ D.（x－2）'＝－2 2.函数f（x）＝（2x＋1）5，则f'（0）的值为　　　　. 3.函数f（x）＝e2x＋ax的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x－y＋b＝0，则a＋b＝　　　　. 题型一｜简单复合函数求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝ecos x＋1；（2）y＝log2（2x＋1）； （3）y＝2sin；（4）y＝ . 尝试解答 通性通法 1.求复合函数的导数的步骤 2.求复合函数的导数的注意点 （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝103x－2； （2）y＝ln（ex＋x2）； （3）y＝sin4x＋cos4x. 题型二｜复合函数与导数的运算法则的综合应用 【例2】　求下列函数的导数： （1）y＝； （2）y＝x； （3）y＝xcossin. 尝试解答 通性通法 1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. 2.复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝sin2；（2）y＝sin3x＋sin x3. 题型三｜复合函数的导数与导数几何意义的综合应用 【例3】　曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是（　　） A.　　　　 　　 B.2 C.3 D.0 尝试解答 【母题探究】 （变条件，变设问）若本例条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值. 通性通法 　　本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时要注意所给点是否为切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f'（x）是f（x）的导函数，且a＝f'，求过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程. 1.若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1，如f（x）＝x3，f'（x）＝3x2，g（x）＝x4，g'（x）＝4x3. 2.若f（x）＝sin x，则f'（x）＝cos x. 3.若f（x）＝cos x，则f'（x）＝－sin x. 【问题探究】 　由上述导数公式试归纳猜想以下命题成立： （1）奇函数的导数是偶函数； （2）偶函数的导数是奇函数； （3）周期函数的导数还是周期函数. 提示：（1）设f（x）是可导的奇函数，则有f（－x）＝－f（x），两边对x求导，得f'（－x）·（－x）'＝－f'（x），即－f'（－x）＝－f'（x），f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）为偶函数，故原命题成立. （2）设f（x）是可导的偶函数，则f（－x）＝f（x），两边对x求导，得f'（－x）×（－x）'＝f'（x），即－f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）是奇函数，故原命题成立. （3）设f（x）为可导的周期函数，T为f（x）的一个周期，则对定义域内的每一个x，都有f（x＋T）＝f（x），两边同时对x求导得f'（x＋T）（x＋T）'＝f'（x），即f'（x＋T）＝f'（x），从而f'（x）也是以T为周期的周期函数，故原命题成立. 【迁移应用】 　推广1：可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 推广2：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 1.已知f（x）＝cos 2x＋e2x，则f'（x）＝（　　） A.－2sin 2x＋2e2x　　 B.sin 2x＋e2x C.2sin 2x＋2e2x D.－sin 2x＋e2x 2.函数y＝的导数为（　　） A.y'＝－ B.y'＝－ C.y'＝－ D.y'＝－ 3.已知函数f（x）＝ln（ax）（a＞0）在x＝1处的切线过原点，则a的值为（　　） A.　　　　B.　　　C.e　　　D.e2 4.已知f（x）＝ln（3x－1）， 则f'（1）＝　　　　. 5.设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝　　　　. 提示：完成课后作业　第六章　6.1　6.1.4　第二课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　简单复合函数的求导法则 【基础落实】 知识点 1.f（g（x））　u　2.（1）f'（u）·g'（x）　f'（g（x））·g'（x）　（2）y'u·u'x 想一想 1.提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数. 2.提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数. 3.提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导. 自我诊断 1.B　对于A，（e－x）'＝－e－x，故A错误；对于B，（ln x2）'＝＝，故B正确；对于C，（ex＋ln 3）'＝ex，故C错误；对于D，（x－2）'＝－2x－3＝－，故D错误.故选B. 2.10　解析：f'（x）＝5（2x＋1）4·（2x＋1）'＝10（2x＋1）4，∴f'（0）＝10. 3.1　解析：由f（x）＝e2x＋ax，则f'（x）＝2e2x＋a，又f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x－y＋b＝0，则f'（0）＝2＋a＝2，得a＝0，又f（0）＝1，则有0－1＋b＝0，得b＝1，所以a＋b＝1. 【典例研析】 【例1】　解：（1）设y＝eu，u＝cos x＋1， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝eu·（－sin x）＝－ecos x＋1sin x. （2）设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝＝. （3）设y＝2sin u，u＝3x－， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝2cos u×3＝6cos. （4）设y＝，u＝1－2x， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝'·（1－2x）' ＝－×（－2）＝（1－2x. 跟踪训练 解：（1）令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y'　x＝y'　u·u'　x＝10uln 10·（3x－2）' ＝3×103x－2ln 10. （2）令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以y'　x＝y'　u·u'　x＝·（ex＋x2）' ＝·（ex＋2x）＝. （3）因为y＝sin4x＋cos4x ＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x ＝1－sin22x＝1－（1－cos 4x） ＝＋cos 4x， 所以y'＝'＝－sin 4x. 【例2】　解：（1）∵（ln 3x）'＝×（3x）'＝， ∴y'＝ ＝＝. （2）y'＝（x）' ＝x'＋x（）' ＝＋ ＝. （3）∵y＝xcossin ＝x（－sin 2x）cos 2x＝－xsin 4x， ∴y'＝' ＝－sin 4x－cos 4x·4 ＝－sin 4x－2xcos 4x. 跟踪训练 解：（1）∵y＝， ∴y'＝（－）'＝sinx. （2）y'＝（sin3x＋sin x3）'＝（sin3x）'＋（sin x3）' ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2 ＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. 【例3】　A　设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.∵y＝ln（2x－1），∴y'＝，y＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. 母题探究 解：由题意可知，设切点为P（x0，y0），∵y＝ln（2x－1）， ∴y'＝，y＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点P（1，0），∴＝2，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12. 跟踪训练 解：∵f'（x）＝3－2sin 2x＋2cos 2x，∴f'＝3－2sin ＋2cos ＝1，即a＝1，∵P（a，b）在曲线y＝x3上，∴b＝a3＝1，即P（1，1）， ①若P是切点，∵y'＝3x2，∴曲线y＝x3在P（1，1）处的切线斜率k＝3， ∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0； ②若P不是切点，可设切点坐标为（t，t3）， ∴切线斜率k＝3t2＝，解得t＝－，∴k＝， ∴所求切线方程为y－1＝（x－1），即3x－4y＋1＝0. 综上所述，过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. 拓视野　导函数的奇偶性及周期性探究 迁移应用 推广1：证明：必要性：由函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称，得f（x）＋f（2a－x）＝2f（a），于是[f（x）＋f（2a－x）]'＝[2f（a）]'，又[f（2a－x）]'＝f'（2a－x）×（－1）＝－f'（2a－x）， 因此f'（x）－f'（2a－x）＝0，即f'（x）＝f'（2a－x）. 所以导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称，则f'（x）＝f'（2a－x）， 即[f（x）＋f（2a－x）]'＝0，于是f（x）＋f（2a－x）＝C（C为常数）. 令x＝a，则有2f（a）＝C.所以f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）. 因此可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称. 推广2：证明：必要性：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f（x）＝f（2a－x），于是f'（x）＝[f（2a－x）]'，故f'（x）＝－f'（2a－x）， 即f'（x）＋f'（2a－x）＝0. 因此导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称，则f'（x）＋f'（2a－x）＝0. 即[f（x）－f（2a－x）]'＝0，因此f（x）－f（2a－x）＝C（C为常数）. 令x＝a，得C＝0.所以f（x）＝f（2a－x）. 故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. 随堂检测 1.A　f'（x）＝－sin 2x·（2x）'＋e2x·（2x）'＝－2sin 2x＋2e2x，故选A. 2.B　因为y＝，则y'＝ ＝ ＝ ＝－.故选B. 3.C　由f（x）＝ln（ax）（a＞0），则f'（x）＝，所以f（1）＝ln a，f'（1）＝1，即切线方程为y＝x－1＋ln a.又函数f（x）在x＝1处的切线过原点，所以ln a－1＝0，即a＝e.故选C. 4.　解析：∵f'（x）＝·（3x－1）'＝，∴f'（1）＝. 5.2　解析：由题意知y'＝aeax，∴k＝a·ea×0＝a＝2. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $