6.1.4 第1课时 函数和、差、积、商的求导法则(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦函数和、差、积、商的求导法则这一核心知识点，从导数定义运算复杂的问题出发，系统梳理四则运算法则的条件与结论，通过例题与题型（求导、切线问题、参数求解）构建完整学习支架。 以高铁路程函数为情境引入培养数学眼光，“想一想”环节引导推理发展数学思维，例题与跟踪训练强化数学语言表达，课中助力教师高效授课，课后帮助学生通过练习查漏补缺，提升数学运算与问题解决能力。

第一课时　函数和、差、积、商的求导法则 课标要求 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数（数学运算）. 高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时， 所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x＋x很难运用定义求导数. 【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数和、差、积、商的求导法则 1.条件：f（x），g（x）是可导的. 2.结论：（1）[f（x）±g（x）]'＝　　　　 　　； （2）[f（x）g（x）]'＝　　　　　　　　　　； （3）＝　　　　　　　　　　　　. 【想一想】 1.若f（x），g（x）都是可导函数，且f（x）≠0，那么下列关系式成立吗？ （1）[af（x）＋bg（x）]'＝af'（x）＋bg'（x）（a，b为常数）； （2）'＝－. 2.两个函数可导，它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必可导吗？3.若两个函数不可导，它们的和、差、积、商不可导吗？ 1.函数y＝sin x·cos x的导数是（　　） A.y'＝cos 2x＋sin 2x B.y'＝cos 2x C.y'＝2cos x·sin x D.y'＝cos x·sin x 2.已知函数f（x）＝xln x－x2在定义域内可导，则＝（　　） A.2 B.1 C.－1 D.－2 3.函数f（x）＝x＋在x＝1处的导数是　　　　. 题型一｜利用导数四则运算法则求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝x2＋log3x；（2）y＝x3·ex；（3）y＝. 尝试解答 通性通法 提醒：求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数. （1）y＝－3x2－5x＋6； （2）y＝x·sin x； （3）y＝. 题型二｜与切线有关的综合问题 【例2】　已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程. 尝试解答 【母题探究】 　（变设问）若本例条件不变，试求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积. 通性通法 　　导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.解决此类问题的方法为先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用. 【跟踪训练】 1.曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（　　） A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋ 2.已知函数f（x）＝－2ax2. （1）若a＝1，求f'（x）； （2）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线ax－3y－2＝0垂直，求a. 题型三｜利用函数的导数求参数 【例3】　（1）已知曲线y＝f（x）＝aex＋xln x在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则（　　） A.a＝e，b＝－1　　　B.a＝e，b＝1 C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1 （2）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx的图象过点（1，5），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为　　　　　　　　. 尝试解答 通性通法 利用导数求参数的常见题型 利用导数求参数，常涉及（1）已知曲线的切线（导数的几何意义）求参问题；（2）已知导函数的图象求原函数问题（或某点处的函数值），这些都要根据导数的几何意义或某点处的导数值列方程（组）求解参数.特别地由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.解题时应考虑二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数等对图象的影响. 【跟踪训练】 　如图有一个图象是函数f（x）＝x3＋ax2＋（a2－1）x＋1（a∈R，且a≠0）的导函数的图象，则f（－1）＝（　　） A. B.－ C. D.－或 1.函数y＝x2sin x的导数为（　　） A.y'＝2x＋cos x B.y'＝x2cos x C.y'＝2xcos x D.y'＝2xsin x＋x2cos x 2.函数f（x）＝aex－sin x在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知f（x）＝ex－x2，f'（x）为f（x）的导函数，若f'（a）＝f（a），则a＝（　　） A.0 B.－1 C.2 D.0或2 4.若f（x）＝3xf'（1）＋x4，则f'（0）＝　　　　. 5.求下列函数的导数. （1）y＝（x－2）（x2＋2x＋4）； （2）y＝－2x. 提示：完成课后作业　第六章　6.1　6.1.4　第一课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.4　求导法则及其应用 第一课时　函数和、差、积、商的求导法则 【基础落实】 知识点 2.（1）f'（x）±g'（x）　（2）f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） （3）（g（x）≠0） 想一想 1.提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都成立. 2.提示：两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必可导. 3.提示：若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 自我诊断 1.B　y'＝（sin x·cos x）'＝（sin x）'·cos x＋sin x（cos x）'＝cos2x－sin2x＝cos 2x. 2.B　由导数的定义可知，＝－＝－f'（1），又f'（x）＝1＋ln x－2x，所以f'（1）＝1＋ln 1－2＝－1，所以＝1.故选B. 3.0　解析：因为f'（x）＝＝x'＋＝1－， 所以f'（1）＝1－1＝0. 【典例研析】 【例1】　解：（1）y'＝（x2＋log3x）'＝（x2）'＋（log3x）'＝2x＋. （2）y'＝（x3·ex）'＝（x3）'·ex＋x3·（ex）' ＝3x2·ex＋x3·ex＝ex（x3＋3x2）. （3）y'＝'＝ ＝＝－. 跟踪训练 解：（1）因为y＝－3x2－5x＋6， 所以y'＝（－3x2）'－（5x）'＋（6）'＝－6x－5. （2）因为y＝x·sin x， 所以y'＝（x）'·sin x＋x·（sin x）'＝sin x＋xcos x. （3）因为y＝， 所以y'＝＝＝＝－. 【例2】　解：∵y'＝2x＋1，∴直线l1在点（1，0）处的斜率为2×1＋1＝3， 由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3. 设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B（b，b2＋b－2）， 则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1. ∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，即b＝－， ∴B， 故直线l2的方程为y＝－x－. 母题探究 解：解方程组得 ∴直线l1和l2的交点坐标为（，－）. 又l1，l2与x轴的交点坐标分别为（1，0），， 故所求三角形的面积为S＝××＝. 跟踪训练 1.C　由题意可知y'＝＝，则曲线y＝在点（1，）处的切线斜率k＝，所以曲线y＝在点（1，）处的切线方程为y－＝（x－1），即y＝x＋，故选C. 2.解：（1）因为f（x）＝－2x2，所以f'（x）＝－4x＝. （2）因为f'（x）＝－4ax，所以f'（1）＝1－4a， 由题意知，（1－4a）·＝－1，即4a2－a－3＝0， 所以（4a＋3）（a－1）＝0，所以a＝1或a＝－. 【例3】　（1）D　（2）f（x）＝2x3－9x2＋12x 解析：（1）y'＝f'（x）＝aex＋ln x＋1，k＝f'（1）＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1.又∵ 切线方程为y＝2x＋b，∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D. （2）因为f'（x）＝3ax2＋2bx＋c，f'（1）＝0，f'（2）＝0，f（1）＝5，所以解得故函数f（x）的解析式是f（x）＝2x3－9x2＋12x. 跟踪训练 B　f'（x）＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋（a＋1）][x＋（a－1）]，图①与②中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③中的图象是函数f（x）的导函数的图象.由图③知f'（0）＝0，由根与系数的关系得解得a＝－1.故f（x）＝x3－x2＋1，所以f（－1）＝－. 随堂检测 1.D　y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x. 2.B　f'（x）＝aex－cos x，f'（0）＝2⇒a－1＝2⇒a＝3，故选B. 3.D　由题意得f'（x）＝ex－ex，则由f'（a）＝f（a），得ea－ea＝ea－a2，解得a＝0或a＝2.故选D. 4.－6　解析：由f（x）＝3xf'（1）＋x4⇒f'（x）＝3f'（1）＋4x3⇒f'（1）＝3f'（1）＋4×1⇒f'（1）＝－2，所以f'（0）＝3f'（1）＋4×03＝3×（－2）＋0＝－6. 5.解：（1）法一　y'＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）（2x＋2）＝3x2. 法二　∵y＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8，∴y'＝3x2. （2）y'＝－2x·ln 2 ＝－2x·ln 2 ＝＋ln x－2xln 2. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $