6.1.4 第1课时 函数和、差、积、商的求导法则（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1.4　求导法则及其应用 第1课时　函数和、差、积、商的求导法则 基础过关练 题组一　函数和、差、积、商的求导法则 1.(多选题)(2025江苏泰州姜堰二中期中)下列求导运算中正确的是(　　) A.'= B.(x2cos x)'=-2xsin x C.'=1- D.(3ln x)'= 2.(2025湖南永州第一中学月考)若f(x)=tan x,则f'=　　(　　) A.　　　B.　　　C.2　　　D.4 3.已知函数f(x)=x5+ax,若=10,则a=(　　) A.6　　　B.5　　　C.4　　　D.3 4.(2025山东部分学校开学考试)若f'(x)=,则f(x)的一个解析式为　 .  5.(2025湖北仙桃期末)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=x2+3xf'(2)+ln x,则f'(1)=　　　　.  6.求下列函数的导数: (1)y=x-2+x2;(2)y=3xex-2x+e; (3)y=;(4)y=x2-4sin cos . 题组二　函数和、差、积、商求导法则的应用 7.(2024江苏盐城五校联盟期末)已知拉格朗日中值定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续,在开区间(a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立,其中c叫作f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数f(x)=x3-3x在[-2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　) A.3　　　B.2　　　C.1　　　D.0 8.(多选题)(2025山东部分学校诊断)过点(0,1)向曲线y=x3-3x2作切线,切线方程可能是(　　) A.4x-15y+15=0　　　B.3x+y-1=0 C.x+3y-3=0　　　 D.15x-4y+4=0 9.(多选题)(2025安徽合肥八中月考)直线y=kx-7与曲线y=x3+ax2+b相切于点A(2,1),则(　　) A.k=4　　　B.a=-2　　　C.b=1　　　D.kab=8 10.(2024四川广安模拟)若P是函数f(x)=的图象上任意一点,直线l为曲线f(x)在点P处的切线,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A.　 　　B.　　　 C.　　　D. 11.(2025山东菏泽曹县第一中学月考)已知点P是曲线y=3ln x-x2上任意一点,则P到直线4x-2y+5=0的距离的最小值为　　　　.  能力提升练 题组　函数和、差、积、商求导法则的综合应用 1.(2024江西赣州二十四校期中)函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)(x-9)(x-12)的图象在x=4处的切线的斜率为(　　) A.-900　　　B.-960　　　C.900　　　D.960 2.(2025浙江强基联盟期末)若曲线f(x)=x3+x2+ax在x=x0和x=x0+1处的切线互相平行,则两切线之间距离的最大值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 3.(2025河南青桐鸣大联考)若曲线y=mex与y=ln x有且仅有一条斜率为1的公切线,则实数m=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 4.(多选题)(2025江苏南通名校联盟联考)记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.下列说法正确的是(　　) A.f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点” B.若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,则a= C.对任意a>0,均不存在b>0,使f(x)=-x2+a与g(x)=在(0,+∞)上存在“S点” D.∀a>0,∃b>0,使f(x)=-x2+a与g(x)=在(0,+∞)上存在“S点” 5.(2024重庆杨家坪中学月考)若曲线y=(x-a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围为　　　　　　　　.  6.(2025福建福州恒一高级中学月考)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0),给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f ″(x)是f'(x)的导数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数的图象都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+3x-,则f(x)的“拐点”的坐标为　　　　, f +f +f +…+f =　　　　.  7.(2025江苏徐州侯集高级中学期中)已知函数f(x)=的图象上存在不同的两点A,B,若曲线y=f(x)在这两点处的切线重合,则实数a的取值范围是　　　　　　.  8.(2025黑龙江大庆实验中学期末)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=ex·(2x+1)+f(x), f(0)=-2,则不等式f(x)>4ex的解集是　　　　　　　　.  9.(创新题)(新考法·导数与数列的综合)(2025山东青岛二中月考)曲线f(x)=x2-4在点(xn, f(xn))(n∈N+)处的切线与x轴交点的横坐标为xn+1,x1=3,则下列命题正确的是　　　　.(写出正确的序号)  ①数列为等差数列; ②xn=; ③数列{xn-2}的前n项和小于2. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.CD　对于A,'==,故A错误; 对于B,(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x,故B错误; 对于C,'=1-,故C正确; 对于D,(3ln x)'=,故D正确. 2.D　易得f(x)=tan x=,所以f'(x)===1+tan2x, 所以f'=1+tan2=4. 3.B　根据导数的定义得=f'(1),所以f'(1)=10, 易得f'(x)=5x4+a,所以f'(1)=5+a=10,解得a=5. 4.答案　f(x)=(答案不唯一) 解析　因为f'(x)=,所以由求导法则可设f(x)=+c,c∈R,当c=0时, f(x)=. 5.答案　- 解析　由题意得f'(x)=2x+3f'(2)+,所以f'(2)=4+3f'(2)+,所以f'(2)=-, 故f'(x)=2x+-,所以f'(1)=-. 6.解析　(1)y'=2x-2x-3. (2)y'=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2. (3)y'==. (4)∵y=x2-4sin cos =x2-2sin x, ∴y'=2x-2cos x. 7.B　因为f(x)=x3-3x,所以f(2)=2, f(-2)=-2, f'(x)=3x2-3, 由f(2)-f(-2)=f'(c)×(2+2),得f'(c)=1,即3c2-3=1,解得c=±,所以f(x)在[-2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 8.BD　设切点P(x0,y0). 因为y=x3-3x2,所以y'=3x2-6x, 所以切线方程为y-y0=(3-6x0)(x-x0), 又y0=-3,所以y-(-3)=(3-6x0)(x-x0). 因为切线过点(0,1),所以1-(-3)=(3-6x0)·(-x0),整理,得2-3+1=0,即(x0-1)(2-x0-1)=(x0-1)2(2x0+1)=0,所以x0=1或x0= -. 当x0=1时,切线方程为y-(1-3)=(3-6)(x-1),即3x+y-1=0. 当x0=-时,切线方程为y-=,即15x-4y+4=0. 9.ABC　因为直线y=kx-7与曲线y=x3+ax2+b相切于点A(2,1),所以点A在直线y=kx-7上,把点A的坐标代入y=kx-7,可得k=4,A正确; 令f(x)=x3+ax2+b,则f'(x)=3x2+2ax, 因此f'(2)=12+4a=4,解得a=-2,B正确; 把点A的坐标代入f(x)的解析式,得f(2)=23-2×22+b=1,解得b=1,故kab=-8,C正确,D错误. 10.C　由已知得f'(x) = =-=-, 由题意得sin x+cos x≠0,所以x≠-+kπ,k∈Z, 所以2x≠-+2kπ,k∈Z,所以-1<sin 2x≤1, 所以0<1+sin 2x≤2,所以, 设P(x0,y0),则函数f(x)的图象在点P处的切线l的斜率为f'(x0)=-≤-,所以直线l的倾斜角的取值范围是. 11.答案　 解析　设直线l与直线4x-2y+5=0平行且与曲线y=3ln x-x2相切,切点坐标为(x0,y0), 易得y=3ln x-x2的定义域为(0,+∞),且y'=-x, 故直线l的斜率为-x0,所以-x0=2,即+2x0-3=0,解得x0=1或x0=-3(舍去), 则y0=-, 所以当P的坐标为时,P到直线4x-2y+5=0的距离最小,为=. 能力提升练 1.D　令g(x)=x(x-1)(x-2)(x-9)(x-12),则f(x)=(x-4)g(x),则f'(x)=g(x)+(x-4)g'(x), 所以f'(4)=g(4)=4×3×2×(-5)×(-8)=960, 所以函数f(x)的图象在x=4处的切线的斜率为960. 2.C　由题意得f'(x)=3x2+3x+a,且f'(x0+1)=f'(x0),即3(x0+1)2+3(x0+1)+a=3+3x0+a, 解得x0=-1, 所以两条切线的斜率为f'(-1)=f'(0)=a,对应的两个切点的坐标分别为,(0,0), 切线方程分别为y-=a(x+1),y=ax,即ax-y+=0和ax-y=0, 易得切线ax-y+=0过定点,切线ax-y=0过定点(0,0), 所以两切线之间的距离的最大值为. 3.B　设公切线与曲线y=mex,y=ln x的切点分别是A(x1,y1),B(x2,y2). 由y=ln x,得y'=,所以=1,解得x2=1,所以y2=ln x2=ln 1=0,所以B(1,0),所以切线方程为y=x-1. 由y=mex,得y'=mex,所以m=1,解得x1=-ln m,所以y1=m=me-ln m=1,所以A(-ln m,1). 因为点A(-ln m,1)在切线y=x-1上,所以1=-ln m-1,解得m=. 4.ABD　对于A,易得f'(x)=1,g'(x)=2x+2, 由f(x)=g(x),得x=x2+2x-2,即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1,由f'(x)=g'(x),得1=2x+2,解得x=-,显然函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”,故A正确. 对于B,易得f'(x)=2ax,g'(x)=, 由题意得消去a并化简得ln x=-,即x=,所以a===,故B正确. 对于C,D,易得f'(x)=-2x,g'(x)=(x>0),假设b>0, 由f'(x0)=g'(x0),得-2x0=,即b=->0,所以0<x0<1. 由f(x0)=g(x0),得-+a==-,即a=-, 令h(x)=x2--a=,a>0,0<x<1, 设m(x)=-x3+3x2+ax-a,a>0,0<x<1, 则m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)·m(1)<0, 易知m(x)的图象在(0,1)上连续,所以m(x)在(0,1)上有零点,所以h(x)在(0,1)上有零点, 故存在b>0,使得函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)上存在“S点”,故C错误,D正确. 5.答案　(-∞,0)∪(4,+∞) 解析　由y=(x-a)ex得y'=(x-a+1)ex,设切点坐标为(x0,(x0-a)), 则切线斜率k=(x0-a+1), 切线方程为y-(x0-a)=(x0-a+1)(x-x0), 因为切线过坐标原点,所以0-(x0-a)=(x0-a+1)·(0-x0),整理得-ax0+a=0, 又曲线有两条过坐标原点的切线,所以该方程有两个不同的实数解,所以Δ=a2-4a>0,解得a<0或a>4, 故a的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞). 6.答案　;2 022 解析　f'(x)=x2-x+3,则f ″(x)=2x-1, 令f ″(x)=0,解得x=,又f=1,故f(x)的“拐点”的坐标为,即函数f(x)图象的对称中心为点,∴f(1-x)+f(x)=2. ∴f+f+f+…+f =f+f+f+f+…+f+f=×(2×2 022)=2 022. 7.答案　 解析　易得当x<0时, f'(x)=2x+1,当x>0时, f'(x)=-, 设A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2)),且x1<x2, 易知当x1<x2<0或0<x1<x2时, f'(x1)≠f'(x2),故x1<0<x2,则f(x)的图象在点A(x1, f(x1))处的切线方程为y-(+x1+a)=(2x1+1)(x-x1),即y=(2x1+1)x-+a,在点B(x2, f(x2))处的切线方程为y-=-(x-x2),即y=-x+. 因为两切线重合,所以 可得a=, 令t=,则t>0,a=(t4+2t2+8t+1),易知y=(t4+2t2+8t+1)在(0,+∞)上单调递增,所以a>. 8.答案　(-∞,-3)∪(2,+∞) 解析　由f'(x)=ex(2x+1)+f(x),得 =2x+1,即'=2x+1,所以=x2+x+c(c为常数),(易错点:已知导函数求原函数时,不要忽略常数项) 又f(0)=-2,所以c=-2,所以f(x)=(x2+x-2)ex,其定义域为R,所以f(x)>4ex即(x2+x-2)ex>4ex,又ex>0恒成立,所以x2+x-2>4,即(x-2)(x+3)>0,解得x<-3或x>2,故不等式的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞). 9.答案　②③ 解析　由题意得f'(x)=2x,则f'(xn)=2xn, 又f(xn)=-4,所以曲线f(x)在点(xn, f(xn))处的切线方程为y-(-4)=2xn(x-xn), 令y=0,得x=+,即xn+1=+. 对于①,===, 两边取自然对数,得ln=ln=2ln,又ln=ln 5,所以数列是以ln 5为首项,2为公比的等比数列,①错误; 对于②,由①知ln=2n-1·ln 5=ln ,则=,得xn=,②正确; 对于③,x1-2=1>0,xn-2=-2=>0,则xn>2, 则xn+1-2=+-2==<, 设an=xn-2,则an+1<,a1=1,故a2<=,a3<<×<,a4<<×<,……,an<, 因此a1+a2+…+an≤1+++…+==<<2, 即数列{xn-2}的前n项和小于2,③正确. 13 学科网（北京）股份有限公司 $