6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“瞬时变化率与导数”核心知识点，前承平均变化率，通过汽车速度表等实例引出瞬时速度，进而抽象出函数瞬时变化率概念，最终定义导数，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题驱动（如“瞬时速度与平均速度关系”）结合“想一想”互动环节，通过例题与跟踪训练落实数学抽象（导数概念）和数学运算（定义求导），课中助教师引导学生理解，课后练习题可帮助学生查漏补缺。

6.1.2　导数及其几何意义 课标要求 1.理解瞬时变化率、导数的概念（数学抽象）. 2.理解导数的几何意义（数学抽象）. 3.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程（数学运算）. 第一课时　瞬时变化率与导数 上一节我们学习了用平均速度刻画物体在一段时间内运动的快慢.在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度. 【问题】　如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数的瞬时变化率与导数 1.物体运动的瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是s＝f（t），当Δt趋近于0时，函数f（t）在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度. 2.函数的瞬时变化率 设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限趋近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在点x＝x0处的瞬时变化率.记作当Δx→0时，→k. 还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限值等于函数在x0的瞬时变化率，记作 ＝k. 3.函数f（x）在x＝x0处的导数 函数y＝f（x）在点x0的瞬时变化率，通常称为f（x）在点x0处的导数，并记作f'（x0），即f'（x0）＝ . 【想一想】 1.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数与Δx值的正、负有关吗？ 2.瞬时速度与平均速度有何区别与联系？ 1.函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝（　　） A. B.1 C.2 D. 2.一个物体的运动方程为s（t）＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么该物体在3 s末的瞬时速度是（　　） A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s 3.若＝3，则f'（1）＝　　　　. 4.函数f（x）＝x2在x＝1处的瞬时变化率是　　　　. 　　 题型一｜求瞬时速度 【例1】　已知某质点的运动方程为s（t）＝3t2＋2t＋1（位移s的单位为m，时间t的单位为s）. （1）求该质点在2≤t≤2＋Δt这段时间内的平均速度； （2）在（1）中，若Δt＝0.1，则平均速度是多少？ （3）求该质点在t＝2 s时的瞬时速度. 尝试解答 通性通法 求瞬时速度的步骤 （1）求物体运动位移与时间的关系s＝s（t）； （2）求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）； （3）求平均速度＝； （4）求瞬时速度v'＝. 【跟踪训练】 　一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s＝t2＋2t，设其在[2，3]内的平均速度为v1，在t＝3时的瞬时速度为v2，则＝（　　） A. B. C. D. 题型二｜求函数在某一点处的导数 【例2】　利用导数的定义求函数y＝f（x）＝3x2－2x在x＝1处的导数. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，试求函数y＝f（x）在x＝2处的导数. 2.（变条件）若本例中的条件变为“y＝f（x）＝2x－x3”，其他条件不变，试求f'（1）. 通性通法 求函数y＝f（x）在点x0处的导数的步骤 　　简称：一差、二比、三极限. 【跟踪训练】 　若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则＝（　　） A.f'（x0）　　　　　　 B.2f'（x0） C.－2f'（x0） D.0 1.某物体的运动方程为s（t）＝3t2（位移单位：m，时间单位：s），若v＝＝18 m/s，则下列说法中正确的是（　　） A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B.18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的速度 C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D.18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的平均速度 2.设函数f（x）在x＝x0处可导，则＝（　　） A.2f'（x0） B.2f'（－x0） C.－f'（x0） D.f'（x0） 3.一物体做直线运动，其运动方程为s（t）＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为（　　） A.－2 B.－1 C.0 D.2 4.设函数f（x）＝ax＋b，若f（1）＝f'（1）＝2，则f（2）＝　　　　. 5.求函数y＝f（x）＝x－在x＝1处的导数. 提示：完成课后作业　第六章　6.1　6.1.2　第一课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.2　导数及其几何意义 第一课时　瞬时变化率与导数 【基础落实】 想一想 1.提示：无关. 2.提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关.联系：瞬时速度是平均速度的极限值. 自我诊断 1.B　函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝2，f（x）＝x2在x＝m时的瞬时变化率为＝ ＝（Δx＋2m）＝2m，所以2＝2m，解得m＝1.故选B. 2.C　因为Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－（1－3＋9）＝5Δt＋（Δt）2，所以s'（3）＝（5＋Δt）＝5（m/s），即该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s. 3.－3　解析：由于＝－＝－f'（1）＝3，所以f'（1）＝－3. 4.2　解析：∵f（x）＝x2，∴函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率是f'（1）＝ ＝ ＝ ＝ （2＋Δx）＝2. 【典例研析】 【例1】　解：（1）质点在2≤t≤2＋Δt这段时间内的平均速度为 ＝ ＝ ＝（3Δt＋14）（m/s）. （2）当Δt＝0.1时，所求平均速度为3×0.1＋14＝14.3（m/s）. （3）∵＝（3Δt＋14）＝14， ∴该质点在t＝2 s时的瞬时速度为14 m/s. 跟踪训练 B　根据平均速度定义可知，在[2，3]内的平均速度为v1＝＝＝7；在t＝3时的瞬时速度为v2＝ ＝（8＋Δt）＝8.所以＝.故选B. 【例2】　解：Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×12－2×1）＝3（Δx）2＋4Δx， ∵＝＝3Δx＋4， ∴f'（1）＝＝（3Δx＋4）＝4. 母题探究 1.解：∵Δy＝3（2＋Δx）2－2（2＋Δx）－（3×22－2×2） ＝3（Δx）2＋10Δx，∴＝3Δx＋10， ∴f'（2）＝＝（3Δx＋10）＝10. 2.解：∵Δy＝2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2×1－13） ＝－（Δx）3－3（Δx）2－Δx， ∴＝－（Δx）2－3Δx－1， ∴f'（1）＝＝[－（Δx）2－3Δx－1]＝－1. 跟踪训练 B　法一　 ＝ ＝＋ ＝f'（x0）＋ ＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）. 法二　 ＝ ＝2＝2f'（x0）. 随堂检测 1.C　v＝ 是物体在3 s这一时刻的瞬时速度.故选C. 2.C　因为f（x）在x＝x0处可导，所以由导数的定义可得 ＝［（－）·］＝－f'（x0）. 3.D　s'（0）＝＝（2－Δt）＝2.故选D. 4.4　解析：函数f（x）＝ax＋b在x＝1处的导数为f'（1）＝＝＝＝a，又f'（1）＝2，得a＝2，而f（1）＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，所以f（x）＝2x，所以f（2）＝4. 5.解：因为Δf＝（1＋Δx）－－＝Δx＋，所以＝＝1＋. 所以f'（1）＝＝（1＋）＝2， 所以函数y＝f（x）＝x－在x＝1处的导数为2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $