6.1.1 函数的平均变化率(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦函数的平均变化率核心知识点，系统梳理其定义（自变量与因变量改变量、平均变化率公式）、几何意义（割线斜率）及物理意义（平均速度），搭建从平均变化率过渡到瞬时变化率的学习支架，为导数学习奠定基础。 资料以珠峰登山、泰山十八盘等现实情境引入，引导学生用数学眼光观察陡峭程度等问题，通过定义推导与题型训练（如跳水平均速度、合金棒线密度）培养数学抽象与逻辑思维，课中助力情境教学，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

6.1.1　函数的平均变化率 课标要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率（直观想象）. 2.理解函数平均变化率的几何意义和物理意义（数学抽象）. 3.理解数学中“以直代曲”的思想（数学抽象）. 　　2020年珠穆朗玛峰（简称珠峰）新测高度8 848.86米，是世界第一高峰，是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰，每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时，登山队员的攀登的难度也是不一样的. 【问题】　你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数y＝f（x）的平均变化率 1.函数平均变化率的定义 若函数y＝f（x）的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f（x1），y2＝f（x2），则 （1）称Δx＝　　　　为自变量的改变量； （2）称Δy＝　　　　（或Δf＝f（x2）－f（x1））为相应的因变量的改变量； （3）称＝　　　　（ 或＝　　　　　）为函数y＝f（x）在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率. 2.函数平均变化率的几何意义 函数y＝f（x）在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的　　　　　.如图，函数y＝f（x）在[x1，x2]上的平均变化率，等于直线AB的斜率，其中A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））. 3.函数的平均变化率的物理意义即平均速度 物体在某段时间内的平均速度即函数在该段时间内的平均变化率. 【想一想】 　Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？ 1.已知函数y＝f（x），则自变量x从x0到x0＋Δx时，因变量的改变量Δy为（　　） A.f（x0＋Δx）　　 B.f（x0）＋Δx C.f（x0）·Δx D.f（x0＋Δx）－f（x0） 2.已知函数f（x）＝2x2－x＋1，则f（x）从1到1＋Δx的平均变化率为（　　） A.2 B.2Δx＋3 C.2（Δx）2＋3Δx D.2（Δx）2－Δx＋1 3.如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为（　　） A.1 B.－1 C.2 D.－2 题型一｜求函数的平均变化率 【例1】　已知函数f（x）＝3x2＋5，求f（x）. （1）从0.1到0.2的平均变化率； （2）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率. 尝试解答 通性通法 1.求函数平均变化率的步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量Δy＝f（x2）－f（x1）； 第三步，求平均变化率＝. 2.求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用的形式. 【跟踪训练】 　函数f（x）＝2x2－1在区间[1，1＋h]上的平均变化率为（　　） A.4　　　　　　 B.4＋2h C.4＋2h2 D.4h 题型二｜求物体运动的平均变化率 【例2】　跳水运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10. （1）求运动员在这段时间内的平均速度； （2）运动员在这段时间内是静止的吗？ （3）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？ 尝试解答 通性通法 1.平均速度反映的是运动物体的位移随时间变化而变化的情况，平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值. 2.运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s（t）在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质就是求函数的平均变化率. 【跟踪训练】 　一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为（　　） A.2　　　　　　　　 B.1 C.－1 D.6 题型三｜平均变化率的应用 【例3】　巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化AB段，BC段曲线的陡峭程度吗？ 尝试解答 通性通法 　　函数的平均变化率表示点（x0，f（x0））与点（x1，f（x1））连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势. （1）当比较函数平均变化率的大小时，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较； （2）当识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，图象在点x0附近越“陡峭”，函数值变化就越快. 【跟踪训练】 如图，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10 m.设x（单位：m）表示OX这段棒的长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：y＝f（x）＝2.估计该合金棒在x＝2 m处的线密度（物理学的“线密度”定义为单位长度的质量）. 1.已知函数f（x）＝x2＋3，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为（　　） A.1 B.1.1 C.2 D.2.1 2.已知函数y＝x2－1的图象上一点A（3，8）及邻近一点B（3＋Δx，8＋Δy），则割线AB的斜率等于（　　） A.6 B.6＋Δx C.6＋（Δx）2 D.6x 3.若函数f（x）＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为4，则m＝　　　　. 4.已知质点运动规律s＝gt2，则在时间区间（3，3＋Δt）内的平均速度等于　　　　.（g＝10 m/s2） 提示：完成课后作业　第六章　6.1　6.1.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1　导数 6.1.1　函数的平均变化率 【基础落实】 知识点 1.（1）x2－x1　（2）y2－y1　（3）　 2.斜率 想一想 提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率可正可负可为零. 自我诊断 1.D　由Δy的定义可知Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）. 2.B　＝ ＝ ＝＝2Δx＋3.故选B. 3.B　＝＝－1. 【典例研析】 【例1】　解：（1）因为f（x）＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 ＝0.9. （2）f（x0＋Δx）－f（x0）＝3（x0＋Δx）2＋5－（3＋5） ＝3＋6x0Δx＋3（Δx）2＋5－3－5＝6x0Δx＋3（Δx）2. 函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝6x0＋3Δx. 跟踪训练 B　＝＝2h＋4.故选B. 【例2】　解：（1）＝ ＝＝0（m/s）， 即运动员在这段时间内的平均速度是0 m/s. （2）运动员在这段时间里显然不是静止的. （3）由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时. 跟踪训练 B　由已知，得＝26，所以（5×32＋3m）－（5×22＋2m）＝26，解得m＝1，故选B. 【例3】　解：山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝＝＝，∴kBC＞kAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭. 跟踪训练 解：由y＝f（x）＝2，可以计算出相应的平均线密度， 为了提高精度，可以缩短计算线密度所需距离间隔，如取原长度的，即求出2 m到2.1 m这段合金棒的平均线密度＝＝20×（－）≈20×（1.449－1.414）＝0.700（kg/m），用它来近似表示合金棒在x0＝2 m处的线密度. 随堂检测 1.D　＝＝＝2.1.故选D. 2.B　因为Δy＝（3＋Δx）2－1－32＋1＝6Δx＋（Δx）2，所以＝＝6＋Δx，故选B. 3.3　解析：因为＝＝＝m＋1＝4，所以m＝3. 4.30＋5Δt　解析：Δs＝g×（3＋Δt）2－g×32＝×10×[6Δt＋（Δt）2]＝30Δt＋5（Δt）2，＝＝30＋5Δt. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $