6.1.1 函数的平均变化率(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦函数的平均变化率核心知识点，从珠峰登山、泰山十八盘等实际情境引入，系统梳理自变量与因变量改变量的定义，结合几何意义（割线斜率）和物理意义（平均速度），通过例题与练习构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以情境化设计培养数学抽象与直观想象，通过通性通法总结和多领域应用（如跳水运动、合金棒线密度），提升用数学思维思考和表达现实世界的能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

6.1.1　函数的平均变化率 课标要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率（直观想象）. 2.理解函数平均变化率的几何意义和物理意义（数学抽象）. 3.理解数学中“以直代曲”的思想（数学抽象）. 　　2020年珠穆朗玛峰（简称珠峰）新测高度8 848.86米，是世界第一高峰，是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰，每年都会向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度不同时，登山队员的攀登的难度也是不一样的. 【问题】　你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？ 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　函数y＝f（x）的平均变化率 1.函数平均变化率的定义 若函数y＝f（x）的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f（x1），y2＝f（x2），则 （1）称Δx＝　x2－x1　为自变量的改变量； （2）称Δy＝　y2－y1　（或Δf＝f（x2）－f（x1））为相应的因变量的改变量； （3）称＝　　为函数y＝f（x）在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率. 2.函数平均变化率的几何意义 函数y＝f（x）在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的　斜率　.如图，函数y＝f（x）在[x1，x2]上的平均变化率，等于直线AB的斜率，其中A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））. 3.函数的平均变化率的物理意义即平均速度 物体在某段时间内的平均速度即函数在该段时间内的平均变化率. 【想一想】 　Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？ 提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率可正可负可为零. 1.已知函数y＝f（x），则自变量x从x0到x0＋Δx时，因变量的改变量Δy为（　　） A.f（x0＋Δx） B.f（x0）＋Δx C.f（x0）·Δx D.f（x0＋Δx）－f（x0） 解析：D　由Δy的定义可知Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）. 2.已知函数f（x）＝2x2－x＋1，则f（x）从1到1＋Δx的平均变化率为（　　） A.2 B.2Δx＋3 C.2（Δx）2＋3Δx D.2（Δx）2－Δx＋1 解析：B　＝ ＝ ＝＝2Δx＋3.故选B.. 3.如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为（　　） A.1　 　　B.－1 C.2　 　　D.－2 解析：B　＝＝－1. 题型一｜求函数的平均变化率 【例1】　已知函数f（x）＝3x2＋5，求f（x）. （1）从0.1到0.2的平均变化率； 解：（1）因为f（x）＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 ＝0.9. （2）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率. 解：（2）f（x0＋Δx）－f（x0）＝3（x0＋Δx）2＋5－（3＋5）＝3＋6x0Δx＋3（Δx）2＋5－3－5＝6x0Δx＋3（Δx）2. 函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝6x0＋3Δx. 通性通法 1.求函数平均变化率的步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量Δy＝f（x2）－f（x1）； 第三步，求平均变化率＝. 2.求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用的形式. 【跟踪训练】 　函数f（x）＝2x2－1在区间[1，1＋h]上的平均变化率为（　　） A.4 B.4＋2h C.4＋2h2 D.4h 解析：B　＝＝2h＋4.故选B. 题型二｜求物体运动的平均变化率 【例2】　跳水运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10. （1）求运动员在这段时间内的平均速度； 解：（1）＝ ＝＝0（m/s）， 即运动员在这段时间内的平均速度是0 m/s. （2）运动员在这段时间内是静止的吗？ 解：（2）运动员在这段时间里显然不是静止的. （3）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？ 解：（3）由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时. 通性通法 1.平均速度反映的是运动物体的位移随时间变化而变化的情况，平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值. 2.运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s（t）在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质就是求函数的平均变化率. 【跟踪训练】 　一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为（　　） A.2　　　　　　　　　B.1 C.－1 D.6 解析：B　由已知，得＝26，所以（5×32＋3m）－（5×22＋2m）＝26，解得m＝1，故选B. 题型三｜平均变化率的应用 【例3】　巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化AB段，BC段曲线的陡峭程度吗？ 解：山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝＝＝，∴kBC＞kAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭. 通性通法 　　函数的平均变化率表示点（x0，f（x0））与点（x1，f（x1））连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势. （1）当比较函数平均变化率的大小时，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较； （2）当识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，图象在点x0附近越“陡峭”，函数值变化就越快. 【跟踪训练】 　如图，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10 m.设x（单位：m）表示OX这段棒的长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：y＝f（x）＝2.估计该合金棒在x＝2 m处的线密度（物理学的“线密度”定义为单位长度的质量）. 解：由y＝f（x）＝2，可以计算出相应的平均线密度， 为了提高精度，可以缩短计算线密度所需距离间隔，如取原长度的，即求出2 m到2.1 m这段合金棒的平均线密度＝＝20（－）≈20×（1.449－1.414）＝0.700（kg/m），用它来近似表示合金棒在x0＝2 m处的线密度. 1.已知函数f（x）＝x2＋3，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为（　　） A.1 B.1.1 C.2 D.2.1 解析：D　＝＝＝2.1.故选D. 2.已知函数y＝x2－1的图象上一点A（3，8）及邻近一点B（3＋Δx，8＋Δy），则割线AB的斜率等于（　　） A.6 B.6＋Δx C.6＋（Δx）2 D.6x 解析：B　因为Δy＝（3＋Δx）2－1－32＋1＝6Δx＋（Δx）2，所以＝＝6＋Δx，故选B. 3.若函数f（x）＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为4，则m＝　3　. 解析：因为＝＝＝m＋1＝4，所以m＝3. 4.已知质点运动规律s＝gt2，则在时间区间（3，3＋Δt）内的平均速度等于　30＋5Δt　.（g＝10 m/s2） 解析：Δs＝g×（3＋Δt）2－g×32＝×10×[6Δt＋（Δt）2]＝30Δt＋5（Δt）2，＝＝30＋5Δt. 1.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（　　） A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜ 解析：A　因为＝kOA，＝kAB，＝kBC，由图象知kOA＜kAB＜kBC，所以＜＜.故选A. 2.已知某生产厂家的年利润y与年投入广告费x满足的函数关系式为y＝－3x2＋15x＋12，则当x由1增长到3时，y的平均变化率为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 解析：B　因为某生产厂家的年利润y与年投入广告费x满足的函数关系式为y＝－3x2＋15x＋12，所以当x由1增长到3时，y的平均变化率为＝＝3.故选B. 3.甲、乙两人走过的路程s1（t），s2（t）与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（　　） A.v甲＞v乙 B.v甲＜v乙 C.v甲＝v乙 D.大小关系不确定 解析：B　设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1（t）在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2（t）在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙. 4.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）与开窗通风换气时间（t）的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（　　） A.[5，10] B.[15，20] C.[25，30] D.[30，35] 解析：B　如图，分别令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝25，t＝30，t＝35所对应的点为A，B，C，D，E，F，G，0＞kAB＞kCD，0＞kEF＞kCD，0＞kFG＞kCD，所以[15，20]这段时间内空气中微生物密度变化的平均速度最快.故选B. 5.如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h＝f（t），定义域为D，设t0∈D，t0±Δt∈D，k1，k2分别表示f（t）在区间[t0－Δt，t0]，[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上的平均变化率，则（　　） A.k1＞k2 B.k1＜k2 C.k1＝k2 D.无法确定k1，k2的大小关系 解析：A　由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的降低量越来越大，且高度h的变化率小于0，所以f（t）在区间[t0－Δt，t0]，[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上的平均变化率由大变小，即k1＞k2.故选A. 6.〔多选〕在x＝1附近，取Δx＝0.3，关于下列说法正确的有（　　） A.函数y＝x的平均变化率为1 B.函数y＝x2的平均变化率为2.3 C.函数y＝x3的平均变化率为3.99 D.函数y＝的平均变化率为0.3 解析：ABC　根据平均变化率的计算公式，可得＝，所以在x＝1附近取Δx＝0.3，则平均变化率的公式为＝，则要计算平均变化率的大小，只需先计算Δy＝f（1.3）－f（1）的大小，下面逐项判定： A中，函数y＝x，Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.3，＝1，正确；B中，函数y＝x2，Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.69，＝2.3，正确；C中，函数y＝x3，Δy＝f（1.3）－f（1）＝1.197，＝3.99，正确；D中，函数y＝中，Δy＝f（1.3）－f（1）≈－0.23，≈－0.77，错误，故选A、B、C. 7.如图所示，函数y＝f（x）在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　[x3，x4]　. 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f（x）在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f（x）的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 8.函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝　5　. 解析：因为函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所以＝＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2（舍去）. 9.已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈（0，＋∞），则当半径r∈[1，1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为　2π＋π·Δr　. 解析：＝＝2π＋π·Δr. 10.已知函数f（x）＝2x2＋1. （1）求函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； （2）求函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率. 解：（1）∵f（x0＋Δx）－f（x0） ＝2（x0＋Δx）2＋1－2－1 ＝2Δx（2x0＋Δx）， ∴函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝4x0＋2Δx. （2）由（1）可知f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为4x0＋2Δx， 当x0＝2，Δx＝0.01时， 4x0＋2Δx＝4×2＋2×0.01＝8.02， 即函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02. 11.“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施着陆，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min内将速度从约20 000 km/h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则（　　） A.v≈0.185 m/s，a≈10.288 m/s2 B.v≈－0.185 m/s，a≈10.288 m/s2 C.v≈0.185 m/s，a≈－10.288 m/s2 D.v≈－0.185 m/s，a≈－10.288 m/s2 解析：D　巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以v＝≈－0.185 m/s.巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以a＝≈－10.288 m/s2.故选D. 12.若函数f（x）＝－x2＋x在[2，2＋Δx]（Δx＞0）上的平均变化率不大于－1，则Δx的取值范围是　（0，＋∞）　. 解析：函数f（x）在[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝＝－3－Δx，由－3－Δx≤－1得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是（0，＋∞）. 13.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率（体积的变化量与半径的变化量之比）为，求m的值. 解：因为ΔV＝m3－×13＝（m3－1）， 所以＝＝， 即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍去）. 14.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示. 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是　①②③　. 解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，故④错误. 15.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T（t）＝＋15，其中T（t）为体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）. （1）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ （2）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解：（1）在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为 T（0）＝＋15＝39，T（10）＝＋15＝23， 故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. （2）平均变化率为＝－＝－1.6. 它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $