6.1.1 函数的平均变化率-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数平均变化率，涵盖定义、几何与物理意义，通过珠峰登山陡峭程度情境导入，衔接从具体问题到抽象概念的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合跳水平均速度、登山路线陡峭分析等实例，以数学抽象和直观想象为核心，通过通性通法总结培养学生数学思维，既助学生理解应用，也为教师提供清晰教学路径。

6.1.1　函数的平均变化率 1 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.理解函数 平均变化率的概念，会求函数的平均变化率（直观想象）. 2.理解函数平均变化率的几何意义和物理意义（数学抽象）. 3.理解数学中“以直代曲”的思想（数学抽象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　2020年珠穆朗玛峰（简称珠峰）新测高度8 848.86米，是世界第一高 峰，是很多登山爱好者的终极之地.很多人为了征服这座山峰，每年都会 向它发起挑战，但到现在为止能顺利登顶的人并不多.当山势的陡峭程度 不同时，登山队员的攀登的难度也是不一样的. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【问题】　你知道如何用数学知识来反映山势的陡峭程度吗？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点　函数y＝f（x）的平均变化率 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 函数平均变化率的定义 若函数y＝f（x）的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f（x1）， y2＝f（x2），则 （1）称Δx＝ 为自变量的改变量； （2）称Δy＝ （或Δf＝f（x2）－f（x1））为相应的因变量的 改变量； （3）称 ＝ 　 　 为函数y＝f（x）在以 x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率. x2－x1　 y2－y1　 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数平均变化率的几何意义 函数y＝f（x）在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函 数图象上两点连线的 .如图，函数y＝f（x）在[x1，x2]上的平均 变化率，等于直线AB的斜率，其中A（x1，f（x1）），B（x2，f （x2））. 3. 函数的平均变化率的物理意义即平均速度 物体在某段时间内的平均速度即函数在该段时间内的平均变化率. 斜率　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 　Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？ 提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率 可正可负可为零. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 已知函数y＝f（x），则自变量x从x0到x0＋Δx时，因变量的改变量Δy 为（　　） A. f（x0＋Δx） B. f（x0）＋Δx C. f（x0）·Δx D. f（x0＋Δx）－f（x0） 解析：D　由Δy的定义可知Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知函数f（x）＝2x2－x＋1，则f（x）从1到1＋Δx的平均变化率为 （　　） A. 2 B. 2Δx＋3 C. 2（Δx）2＋3Δx D. 2（Δx）2－Δx＋1 解析：B　 ＝ ＝ ＝ ＝2Δx＋3.故选B. . 解析：B　 ＝ ＝ ＝ ＝2Δx＋3.故选B. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为（　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析：B　 ＝ ＝－1. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜求函数的平均变化率 【例1】　已知函数f（x）＝3x2＋5，求f（x）. （1）从0.1到0.2的平均变化率； 解：（1）因为f（x）＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 ＝0.9. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率. 解：（2）f（x0＋Δx）－f（x0）＝3（x0＋Δx）2＋5－（3 ＋5）＝3 ＋6x0Δx＋3（Δx）2＋5－3 －5＝6x0Δx＋3（Δx）2. 函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝6x0＋3Δx. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 求函数平均变化率的步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量Δy＝f（x2）－f（x1）； 第三步，求平均变化率 ＝ . 2. 求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用 的形式. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　函数f（x）＝2x2－1在区间[1，1＋h]上的平均变化率为（　　） A. 4 B. 4＋2h C. 4＋2h2 D. 4h 解析：B　 ＝ ＝2h＋4.故选B. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜求物体运动的平均变化率 【例2】　跳水运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t （单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （1）求运动员在 这段时间内的平均速度； 解：（1） ＝ ＝ ＝0（m/s）， 即运动员在 这段时间内的平均速度是0 m/s. （2）运动员在 这段时间内是静止的吗？ 解：（2）运动员在这段时间里显然不是静止的. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？ 解：（3）由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的 运动状态，特别是当运动的方向改变时. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 平均速度反映的是运动物体的位移随时间变化而变化的情况，平均速度 是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值. 2. 运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s （t）在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质就是求函数 的平均变化率. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函 数关系为s（t）＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度 为26 m/s，则实数m的值为（　　） A. 2 B. 1 C. －1 D. 6 解析：B　由已知，得 ＝26，所以（5×32＋3m）－（5×22 ＋2m）＝26，解得m＝1，故选B. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜平均变化率的应用 【例3】　巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰 山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘 的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比 较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语 言来量化AB段，BC段曲线的陡峭程度吗？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝ ＝ ＝ ，山路从B到C 高度的平均变化率为kBC＝ ＝ ＝ ，∴kBC＞kAB，∴山路从B到C 比从A到B陡峭. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　函数的平均变化率 表示点（x0，f（x0））与点 （x1，f（x1））连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略 地表示函数的变化趋势. （1）当比较函数平均变化率的大小时，可以先将函数在每个自变量附近 的平均变化率求出，然后进行大小的比较； （2）当识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，图象 在点x0附近越“陡峭”，函数值变化就越快. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　如图，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10 m.设x（单位：m）表示 OX这段棒的长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函 数关系：y＝f（x）＝2 .估计该合金棒在x＝2 m处的线密度（物理学 的“线密度”定义为单位长度的质量）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：由y＝f（x）＝2 ，可以计算出相应的平均线密度， 为了提高精度，可以缩短计算线密度所需距离间隔，如取原长度的 ，即 求出2 m到2.1 m这段合金棒的平均线密度 ＝ ＝20 （ － ）≈20×（1.449－1.414）＝0.700（kg/m），用它来近似表 示合金棒在x0＝2 m处的线密度. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 已知函数f（x）＝x2＋3，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率 为（　　） A. 1 B. 1.1 C. 2 D. 2.1 解析：D　 ＝ ＝ ＝2.1.故选D. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知函数y＝x2－1的图象上一点A（3，8）及邻近一点B（3＋Δx，8 ＋Δy），则割线AB的斜率等于（　　） A. 6 B. 6＋Δx C. 6＋（Δx）2 D. 6x 解析：B　因为Δy＝（3＋Δx）2－1－32＋1＝6Δx＋（Δx）2，所以 ＝ ＝6＋Δx，故选B. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 若函数f（x）＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为4，则m ＝ ⁠. 解析：因为 ＝ ＝ ＝m＋1＝4，所以m＝3. 4. 已知质点运动规律s＝ gt2，则在时间区间（3，3＋Δt）内的平均速度 等于 .（g＝10 m/s2） 解析：Δs＝ g×（3＋Δt）2－ g×32＝ ×10×[6Δt＋（Δt）2]＝30Δt ＋5（Δt）2， ＝ ＝30＋5Δt. 3　 30＋5Δt　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]， [t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为 ， ， ，则三者的大小关系 为（　　） A. ＜ ＜ B. ＜ ＜ C. ＜ ＜ D. ＜ ＜ 解析： 　因为 ＝kOA， ＝kAB， ＝kBC，由图象知kOA＜kAB＜ kBC，所以 ＜ ＜ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知某生产厂家的年利润y与年投入广告费x满足的函数关系式为y＝－ 3x2＋15x＋12，则当x由1增长到3时，y的平均变化率为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解析： 　因为某生产厂家的年利润y与年投入广告费x满足的函数关系式 为y＝－3x2＋15x＋12，所以当x由1增长到3时，y的平均变化率为 ＝ ＝3.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 甲、乙两人走过的路程s1（t），s2（t）与时间t的 关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的 平均速度v甲，v乙的关系是（　　） A. v甲＞v乙 B. v甲＜v乙 C. v甲＝v乙 D. 大小关系不确定 解析： 　设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何 意义知，s1（t）在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2（t）在[0，t0]上 的平均变化率v乙＝kBC. 因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注 入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微 生物密度（c）与开窗通风换气时间（t）的关系如 图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化 的平均速度最快的是（　　） A. [5，10] B. [15，20] C. [25，30] D. [30，35] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　如图，分别令t＝5，t＝10，t＝15，t＝ 20，t＝25，t＝30，t＝35所对应的点为A，B， C，D，E，F，G，0＞kAB＞kCD，0＞kEF＞kCD， 0＞kFG＞kCD，所以[15，20]这段时间内空气中微生 物密度变化的平均速度最快.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时 间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数 为h＝f（t），定义域为D，设t0∈D，t0±Δt∈D，k1，k2分别表示f （t）在区间[t0－Δt，t0]，[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上的平均变化率，则 （　　） A. k1＞k2 B. k1＜k2 C. k1＝k2 D. 无法确定k1，k2的大小关系 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的降低量越来 越大，且高度h的变化率小于0，所以f（t）在区间[t0－Δt，t0]，[t0，t0 ＋Δt]（Δt＞0）上的平均变化率由大变小，即k1＞k2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕在x＝1附近，取Δx＝0.3，关于下列说法正确的有（　　） A. 函数y＝x的平均变化率为1 B. 函数y＝x2的平均变化率为2.3 C. 函数y＝x3的平均变化率为3.99 D. 函数y＝ 的平均变化率为0.3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　根据平均变化率的计算公式，可得 ＝ ，所以在x＝1附近取Δx＝0.3，则平均变化率的公式 为 ＝ ，则要计算平均变化率的大小，只需先计算Δy＝f （1.3）－f（1）的大小，下面逐项判定： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 A中，函数y＝x，Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.3， ＝1，正确；B中， 函数y＝x2，Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.69， ＝2.3，正确；C中，函 数y＝x3，Δy＝f（1.3）－f（1）＝1.197， ＝3.99，正确；D中，函 数y＝ 中，Δy＝f（1.3）－f（1）≈－0.23， ≈－0.77，错误，故选A、 B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 如图所示，函数y＝f（x）在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间 内，平均变化率最大的一个区间是 ⁠. 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f（x）在区间[x1，x2]，[x2， x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为： ， ， ，结合图象可以发现函数y＝f（x） 的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. [x3，x4]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝ ⁠. 解析：因为函数f（x）＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所 以 ＝ ＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而 t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2（舍去）. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈（0，＋ ∞），则当半径r∈[1，1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为 ⁠ ⁠. 解析： ＝ ＝2π＋π·Δr. 2π＋ π·Δr　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 已知函数f（x）＝2x2＋1. （1）求函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； 解： ∵f（x0＋Δx）－f（x0） ＝2（x0＋Δx）2＋1－2 －1 ＝2Δx（2x0＋Δx）， ∴函数f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝ 4x0＋2Δx. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率. 解： 由（1）可知f（x）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为4x0 ＋2Δx， 当x0＝2，Δx＝0.01时， 4x0＋2Δx＝4×2＋2×0.01＝8.02， 即函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. “天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择 机实施着陆，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完 成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表 面，巡视器在9 min内将速度从约20 000 km/h降至0 km/h.若记与火星表面 距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则（　　） A. v≈0.185 m/s，a≈10.288 m/s2 B. v≈－0.185 m/s，a≈10.288 m/s2 C. v≈0.185 m/s，a≈－10.288 m/s2 D. v≈－0.185 m/s，a≈－10.288 m/s2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以v＝ ≈－0.185 m/s.巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以a＝ ≈－ 10.288 m/s2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 若函数f（x）＝－x2＋x在[2，2＋Δx]（Δx＞0）上的平均变化率不 大于－1，则Δx的取值范围是 ⁠. 解析：函数f（x）在[2，2＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ＝ ＝ ＝－3－ Δx，由－3－Δx≤－1得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是 （0，＋∞）. （0，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率（体 积的变化量与半径的变化量之比）为 ，求m的值. 解：因为ΔV＝ m3－ ×13＝ （m3－1）， 所以 ＝ ＝ ， 即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治 理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系 为W＝f（t），用－ 的大小评价在[a，b]这段时间内企业 污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间 的关系如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治 理能力最强. 其中所有正确结论的序号是 ⁠. ①②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻 甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水 治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系 图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的 污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0， t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于 [t1，t2]时的，故④错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T（t）＝ ＋15，其中T （t）为体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）. （1）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ 解： 在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为 T（0）＝ ＋15＝39，T（10）＝ ＋15＝23， 故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际 意义？ 解： 平均变化率为 ＝－ ＝－1.6. 它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $