5.3.1 第1课时 等比数列的定义(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等比数列的定义与通项公式核心知识点，通过拉面抻面、银行存款等生活实例观察数列特征，类比等差数列定义抽象出等比数列概念，推导通项公式后探究其与指数函数的关系，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题链驱动教学，情境实例培养数学抽象能力，“想一想”问题（如公比能否为0）引导逻辑推理，题型设计（判断证明、通项应用）提升数学运算。课中例题与跟踪训练助力教师高效授课，课后练习题与迁移应用帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第一课时　等比数列的定义 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义（数学抽象）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题（逻辑推理、数学运算）. 3.体会等比数列与指数函数的关系（数学抽象）. 　　观察下列情境中的数列，回答后面的问题： （1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条：1，2，4，8，16，…； （2）如果将钱存在银行里，就会获得利息.例如，如果某年年初将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这五年中，每年年底的本息和构成数列：1 000×1.03，1 000×1.032，…，1 000×1.035. 【问题】　以上两个数列有什么共同点，你能否类比等差数列的定义，给等比数列下一个定义？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等比数列的定义 如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于　　　　　　　　　　，即＝　　　　恒成立，则称{an}为等比数列，其中　　称为等比数列的公比. 【想一想】 1.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？ 2.等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其他项是否可以为零？ 3.常数列一定是等比数列吗？ 　给出下列数列： ①2，2，4，8，16，32，…； ②在数列{an}中，＝2，＝2； ③常数列c，c，c，…，c. 其中等比数列的个数为　　　　. 知识点二　等比数列的通项公式 　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则等比数列的通项公式为an＝　　　　. 【想一想】 　等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？ 1.已知数列{an}的首项a1＝4，且满足an＋1＝2an（n∈N＋），则a5＝（　　） A.8 B.32 C.16 D.64 2.在等比数列{an}中，若a2＋a4＝2（a1＋a3），则公比为　　　　. 题型一｜等比数列的判断与证明 【例1】　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝. （1）求b1，b2，b3； 尝试解答（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式. 尝试解答 通性通法 证明数列{an}是等比数列的常用方法 （1）定义法：＝q（q为常数且q≠0）或＝q（q为常数且q≠0，n≥2）⇔数列{an}为等比数列； （2）通项法：an＝a1qn－1（其中a1，q为非零常数，n∈N＋）⇔数列{an}是等比数列. 【跟踪训练】 1.已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列. 2.已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝3an＋2n－1. （1）求a2，a3； （2）证明：数列{an＋n}为等比数列； （3）求数列{an}的通项公式. 题型二｜等比数列的通项公式及其应用 【例2】　在等比数列{an}中. （1）a4＝2，a7＝8，求an； （2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）本例（1）条件不变，试问128是不是该数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 2.（变条件）本例（2）中的条件“a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1”若换为“a1＝，q＝，an＝”，其他条件不变，试求n. 通性通法 求等比数列通项公式的常用方法 （1）根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法； （2）充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 【跟踪训练】 1.在等比数列{an}中，a1＝12，a2＝24，则a3＝（　　） A.36　　　　　　　　B.48 C.60 D.72 2.已知等比数列{an}的公比q＝－，则＝（　　） A. B. C.2 D.4 题型三｜灵活设元求解等比数列 【例3】　（1）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是　　　　； （2）有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数. 尝试解答 通性通法 几个数成等比数列的设法 （1）三个数成等比数列设为，a，aq； 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，…. （2）四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3； 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，，，aq，aq3，aq5，…. （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 【跟踪训练】 　一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（　　） A.13项　 B.12项　 C.11项　 D.10项 在等比数列的通项公式中，an与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 提示：因为an＝a1qn－1＝×qn，所以如果记f（x）＝×qx，则可以看出an＝f（n），而且： （1）当公比q＝1时，f（x）是常数函数，此时数列{an}是常数列； （2）当公比q≠1时，f（x）是与y＝qx的乘积，此时，f（x）的增减性既与a1有关，也与q有关. 【问题探究】 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q. （1）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递增数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＞0，∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列. （2）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递减数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， 即an＋1＜an， ∴{an}是递减数列. （3）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递减数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， ∴an＋1＜an， ∴{an}是递减数列. （4）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递增数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0，∴an＋1＞an， ∴{an}是递增数列. （5）若q＝1，则数列{an}的单调性如何？q＜0呢？ 提示：当q＝1时，{an}是常数列，不具有单调性；当q＜0时，{an}是一个摆动数列，也不具有单调性. 【迁移应用】 1.在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　） A.递增数列　　　　B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 2.数列{an}是各项均为正数的等比数列，且an－an－1＞0（n≥2），则该数列的公比q的取值范围是（　　） A.q＝1 B.q＜0 C.q＞1 D.0＜q＜1 3.设等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“等比数列{an}为递增数列”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1.若数列{an}是公比为的正项等比数列，则{·a2n}是（　　） A.公比为2的等比数列 B.公比为的等比数列 C.公差为2的等差数列 D.公差为的等差数列 2.在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 3.已知等比数列{an}满足a2 025－a1＝8，a2 026－a2＝24，则公比q＝（　　） A.1 B.－1 C.3 D.－3 4.在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝（　　） A.1 B.3 C.±1 D.±3 5.设{an}是公比不为1的等比数列，且 a1＝2，a2＋a3＝4，则{an}的通项公式为an＝　　　　. 提示：完成课后作业　第五章　5.3　5.3.1　第一课时 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 第一课时　等比数列的定义 【基础落实】 知识点一 同一个常数q　q　q 想一想 1.提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列. 2.提示：不能. 3.提示：不一定，如0，0，0，…. 自我诊断 0　解析：①不是等比数列，因为≠.②不一定是等比数列，因为不知道的值.事实上，即使＝2，数列{an}也未必是等比数列.③不一定是等比数列，当c＝0时，数列不是等比数列. 知识点二 a1qn－1 想一想 提示：不一定.如当q＝1时，an是关于n的常数函数. 自我诊断 1.D　由an＋1＝2an（n∈N＋）可得＝2，所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，因此a5＝a1qn－1＝4×24＝64.故选D. 2.2　解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2＋a4＝（a1＋a3）q＝2（a1＋a3），a1＋a3＝a1（1＋q2）≠0，所以q＝2. 【典例研析】 【例1】　解：（1）由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. （2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. （3）由（2）可得，＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 跟踪训练 1.证明：由已知，有2a2＝a1＋a3， ① ＝， ② ＝＋. ③ 由③得＝，所以a4＝.④ 由①得a2＝. ⑤ 将④⑤代入②，得＝·. 所以a3＝，即a3（a3＋a5）＝a5（a1＋a3）. 化简得＝a1·a5， 因为a1，a3，a5均不为0，所以＝，故a1，a3，a5成等比数列. 2.解：（1）a2＝3a1＋1＝4，a3＝3a2＋3＝15. （2）证明：由an＋1＝3an＋2n－1得an＋1＋（n＋1）＝3（an＋n）， 且a1＋1＝2≠0，所以数列{an＋n}是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）知数列{an＋n}是首项为2，公比为3的等比数列， 所以an＋n＝2×3n－1， 即an＝2×3n－1－n. 【例2】　解：设等比数列的首项为a1，公比为q. （1）法一　因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝. 法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝. 所以an＝a4qn－4＝2×（）n－4＝. （2）法一　因为 由得q＝，从而a1＝32. 又因为an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 法二　因为a3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 母题探究 1.解：由本例（1）知an＝.令an＝128， 得＝7，即n＝13. 故128是该数列中的第13项. 2.解：因为an＝a1qn－1，所以×＝， 即＝，解得n＝5. 跟踪训练 1.B　∵a2＝a1q＝12q＝24，∴q＝2，∴a3＝a1q2＝12×22＝48. 2.D　由题意可得 ＝＝＝ ＝＝4. 【例3】　（1）45　解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 即 整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. （2）解：设前三个数为，a，aq， 则·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6. 因此前三个数为，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6， 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝. 故所求的四个数为9，6，4，2. 跟踪训练 B　设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.由题意得q3＝2，q3n－6＝4，两式相乘得q3（n－1）＝8，即qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，∴＝64，即（qn－1）n＝642，∴2n＝642＝212，解得n＝12. 拓视野　等比数列的单调性 迁移应用 1.A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又因为a1＞0，所以数列{an}为递增数列. 2.C　由an－an－1＞0（n≥2）可知，数列{an}是递增的等比数列.又因为数列{an}的各项均为正数，所以q＞1. 3.D　假设q＞1，对于等比数列{an}，其通项公式为an＝a1qn－1.当q＝2，a1＝－2时，根据通项公式可得a2＝a1q＝－2×2＝－4.此时a2＜a1，等比数列{an}不是递增数列.这说明仅仅q＞1不能保证等比数列{an}一定是递增数列，所以“q＞1”不是“等比数列{an}为递增数列”的充分条件.假设等比数列{an}为递增数列，那么an＋1＞an.由通项公式可得an＝a1qn－1，an＋1＝a1qn，所以a1qn＞a1qn－1.当a1＜0时，不等式两边同时除以a1，得到qn＜qn－1.例如当n＝2时，q2＜q，解得0＜q＜1.这说明等比数列{an}为递增数列时，不一定有q＞1，所以“q＞1”不是“等比数列{an}为递增数列”的必要条件.则“q＞1”是“等比数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D. 随堂检测 1.A　数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝（n≥2，n∈N＋），设bn＝·a2n，则＝＝·（）2＝2（n≥2，n∈N＋）. 2.D　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7. 3.C　 因为a2 025－a1＝8，a2 026－a2＝24，a2 026＝a2 025·q，a2＝a1·q，所以＝＝q＝＝3.故选C. 4.A　由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1. 5.－（－2）n　解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），因为a1＝2，a2＋a3＝4，所以2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1（舍去），所以an＝a1qn－1＝2×（－2）n－1＝－（－2）n. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $