5.3.1等比数列（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.3.1等比数列 题型一 等比数列的概念与辨析 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等差数列与等比数列的定义检验充分及必要性即可判断. 【详解】因为，则， 若为正项等比数列，则， 所以为常数，即为等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则， 所以，即为正项等比数列，即必要性成立． 故选：A. 2．（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数， 所以，数列是等比数列， 但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对； 对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为， 则不是常数，故数列不是等比数列， 不是常数，故数列不是等差数列，BD都错. 故选：C. 3．（22-23高二·全国·随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义可得正确的选项. 【详解】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 4．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）(多选)下列说法中正确的有（    ） A．若，则成等差数列 B．若，则成等比数列 C．若三角形的三个内角成等差数列，则 D．若直角三角形的三边成等差数列，则最小角的正弦值是 【答案】ACD 【分析】由等差数列定义判断A；举反例判断B；由等差数列性质结合三角形内角和求得B，判断C；由等差数列性质结合勾股定理求得的关系，可判断D. 【详解】对于A，若，则，则成等差数列，正确； 对于B，若，若，满足条件，但不成等比数列，B错误； 对于C，若三角形的三个内角成等差数列，则，且， 故，则，C正确； 对于D，设直角三角形的三边从小到大依次为，则, 由题意知且，则， 可得，则（舍）或，故， 故，D正确， 故选：ACD 5．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）（多选）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 【答案】ABC 【分析】根据等比数列的定义对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确； B选项，数列为公比为2的等比数列，B正确； C选项，数列为公比为的等比数列，C正确； D选项，，不是等比数列，D错误. 故选：ABC 题型二 等比数列基本量的计算 1．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的概念可求得，由此可得结果. 【详解】设等比数列的公比为， ∵， ∴，故， ∴. 故选：C. 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知单调递减的等比数列满足，则（    ） A． B． C．512 D．1024 【答案】A 【分析】应用等比数列基本量运算求解. 【详解】在等比数列中，，所以，又，解得， 设的公比为q，则，解得， 因为单调递减，所以． 故选：A 3．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知数列为等比数列，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项即可求解. 【详解】根据，a，可得：，； 解得，故. 故选：B. 4．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）设是等比数列，成等差数列，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据题意，由等差中项列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为成等差数列， 所以，即， 所以，解得， 所以. 故选：A 5．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知等比数列的公比为，若，，则 ． 【答案】 【分析】利用等比数列通项公式，列方程组求公比. 【详解】等比数列的公比为，，， 则，解得. 故答案为：. 题型三 等比中项 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）4与9的等比中项为（   ） A．6 B． C． D．6.5 【答案】C 【分析】根据等比中项的概念计算即可. 【详解】设4与9的等比中项为，则，所以或. 故选：C 2．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解. 【详解】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选：B. 3．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）已知和的等比中项为B，则B = . 【答案】 【分析】由等比中项的定义结合二倍角的正弦公式可得. 【详解】由和的等比中项为B， 则， 故. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案. 【详解】解：因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）若2，，8是等比数列，则实数 ． 【答案】 【分析】根据等比中项运算求解即可. 【详解】因为2，，8是等比数列，则， 所以. 故答案为：. 题型四 等比数列的性质 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知是等比数列，若，则的公比（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质及基本量计算求解即可. 【详解】由等比数列的性质可知，， 所以，又，所以，则. 故选：B. 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【详解】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D 3．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由韦达定理结合等比数列性质即可求解； 【详解】由题意可得，解得． 故选：D． 4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知数列为等比数列，，则 ． 【答案】6 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得，故， 故答案为：6 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等比数列中，，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的下标和性质整理可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且， 可得，即， 所以. 故答案为：. 题型五 等比数列的证明 1．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知数列的前n项和， (1)求证：是等比数列，并求出其通项公式； (2)设，求证：数列是等比数列. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式即可证明，再利用等比数列的通项公式即可求解； （2）利用等比数列的定义结合（1）的结论即可证明. 【详解】（1）， 当时，，所以， 当时，， 所以，即， 所以是以为首项，公比为2的等比数列， 所以. （2）， 所以， 所以是等比数列. 2．（22-23高二上·江苏徐州·期中）数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用公式求通项，但要注意检验首项； （2）利用递推关系证明比值为常数，即可得证； （3）利用等比数列通项公式即可求解. 【详解】（1）当时，．当时，． 检验，当时符合．所以． （2）当时，，而， 所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3． （3）由（2）得：，所以. 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 4．（22-23高二上·河北保定·期末）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，……. (1)写出和，并求出与之间的递推关系式； (2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)，， (2)证明见解析， 【分析】（1）由已知可得和，仿写可得与之间的递推关系式； （2）结合上问中的递推关系再证明即可，再由基本量法求出通项； 【详解】（1），， ， （2）证明： 是以50为首项，为公比的等比数列. ， 5．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列满足：. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将递推公式由来表示，进而利用等比数列的定义即可判断； （2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解. 【详解】（1）证明：由得，易知，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得， 所以. 题型六 等比数列的单调性 1．（24-25高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解. 【详解】因为正项数列是等比数列，所以， 当时，，解得， 所以数列为递增数列，满足充分性； 当数列为递增数列时，，满足必要性， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 故选：C 2．（22-23高二下·北京房山·期末）设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等比数列通项公式及对数运算性质可得，根据充分性、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由题意得，且， ∴. 若为递减数列，则，故，充分性成立. 若，则，故，为递减数列，必要性成立. 所以“为递减数列”是“”的充分必要条件. 故选：C. 3．（24-25高二上·陕西西安·期末）(多选)已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据等比数列的单调性求解判断. 【详解】，为递减数列， 则或. 故BD正确. 故选：BD. 4．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）(多选)已知等比数列中，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C． D．单调递增 【答案】ABD 【分析】A选项，根据等比数列通项公式进行求解；B选项，得到，B正确；C选项，计算出，C错误；D选项，计算出，D正确. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，故，又， 故为首项为2，公比为4的等比数列，B正确； C选项，由A可知，，则，C错误； D选项，，故单调递增，D正确. 故选：ABD 5．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据等差中项的定义列方程，求得，结合数列的单调性求得的最小值. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以，即， 也即，解得， 所以，所以. ， ， 当时，，当时，， 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，递推关系可化为，证明，证明数列为等比数列，由此可求数列的通项公式，再分别在，，条件下判断函数的单调性可得结论. 【详解】因为，， 所以， 设，则， 所以 若，则,，矛盾， 所以，故， 所以数列为以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故， 所以数列为递减数列， 令，可得， 所以当，且时，， 当，且时，， 与条件矛盾， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过对递推式的变形，并设，换元可得，再证明数列为等比数列，由此求出数列的通项公式. 2．（24-25高二上·广东广州·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】根据可分数列的定义即可验证结论. 【详解】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组， 能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确； 对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项， 平均分为2个组后不可能构成等比数列，所以数列是不可分数列，故②错误； 对于③，由于从数列中删去两项后， ，项后的顺序不变，依次三项可构成等比数列， 所以数列是可分数列，故③正确. 故选：C. 3．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知数列满足：，且，则下列说法正确的是（ ） A．存在，使得数列为等差数列 B．当时， C．当时， D．当时，数列是等比数列 【答案】ABD 【分析】对于A，注意到当时，，据此可判断选项正误；对于B，由题可得，据此可得是周期为的周期数列，据此可判断选项正误；对于C，由题可得对于任意的，都有，，据此可判断选项正误；对于D，由题验证数列是否为等比数列可判断选项正误. 【详解】对于A，当时， ， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，当时， .数列是周期为的周期数列， 又，故B正确； 对于C，当时，，若，则，又， 对于任意的，都有； 则 ，若，则， 这与矛盾，故C错误； 对于D，当时，， 若，则，又，对于任意的，都有； 则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：对于型递推数列，常利用不动点法求其通项公式. 常见结论如下，若有且只有一个实数根，则为等差数列； 若有两个不同实数根，则是等比数列. 4．（24-25高二上·江苏·期末）（多选）数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由数列各项不为两边同除以得，构造等比数列，进而求出通项，求出相应项可判断AB；再结合不等式性质与二项式定理求范围，进而放缩求解和的范围判断CD. 【详解】首先证明数列中任意一项不为. 证明：假设数列中存在某项， 由， 得，将代入得 则有，即，同理依次递推可知，这与矛盾. 故假设错误，即数列中从第2项起均不为. 又已知，故数列中任意一项不为，得证. 由证明结论可得，由， 两边同除以得，即， 两边同加上整理得，，又， 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，所以. A项，，故A正确； B项，，则，故B错误； C项，，其中，， 则，所以，故C正确； D项，当时，；当时，，； 当时，， 所以，此时. 综上，，故D正确 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过构造法得是以为首项，为公比的等比数列，再求出，再一一分析即可. 5．（24-25高二上·湖南邵阳·期末）已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为 . 【答案】18 【分析】分析数列特点，分数列是等差数列、等比数列、等差与等比混合交叉的数列进行讨论. 【详解】由知：或. 当时，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，则，解得； 当时，数列是以1为首项，2为公比的等比数列， ，则，解得：（舍）； 若数列是等差与等比的交叉数列，又，； 若要最小，则，，，， ，，，，，， ，，，，，，， ，此时，故的最小值为18. 故答案为：18 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列中的规律求解数列中的项的问题，解题关键是能够根据递推关系式讨论.若数列为等差和等比各项交叉所得的数列，若要使的值最小，则需尽可能利用对数列中的项进行缩减，进而利用首项求出的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.1等比数列 题型一 等比数列的概念与辨析 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 3．（22-23高二·全国·随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 4．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）(多选)下列说法中正确的有（    ） A．若，则成等差数列 B．若，则成等比数列 C．若三角形的三个内角成等差数列，则 D．若直角三角形的三边成等差数列，则最小角的正弦值是 5．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）（多选）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 题型二 等比数列基本量的计算 1．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知单调递减的等比数列满足，则（    ） A． B． C．512 D．1024 3．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知数列为等比数列，其中，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）设是等比数列，成等差数列，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知等比数列的公比为，若，，则 ． 题型三 等比中项 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）4与9的等比中项为（   ） A．6 B． C． D．6.5 2．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）已知和的等比中项为B，则B = . 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）若2，，8是等比数列，则实数 ． 题型四 等比数列的性质 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知是等比数列，若，则的公比（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 3．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则（    ） A．5 B． C．4 D． 4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知数列为等比数列，，则 ． 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等比数列中，，则 ． 题型五 等比数列的证明 1．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知数列的前n项和， (1)求证：是等比数列，并求出其通项公式； (2)设，求证：数列是等比数列. 2．（22-23高二上·江苏徐州·期中）数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式. 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 4．（22-23高二上·河北保定·期末）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，……. (1)写出和，并求出与之间的递推关系式； (2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式. 5．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列满足：. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 题型六 等比数列的单调性 1．（24-25高二上·浙江温州·期末）若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高二下·北京房山·期末）设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·陕西西安·期末）(多选)已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）(多选)已知等比数列中，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C． D．单调递增 5．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为 . 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 3．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知数列满足：，且，则下列说法正确的是（ ） A．存在，使得数列为等差数列 B．当时， C．当时， D．当时，数列是等比数列 4．（24-25高二上·江苏·期末）（多选）数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南邵阳·期末）已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$