5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　等差数列前n项和的性质及应用 题型一｜等差数列的前n项和性质的应用 【例1】　（1）已知等差数列{an}的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A，B，C，则（　　） A.A＋B＝C B.A＋C＝2B C.2A＋C＝3B D.3（B－A）＝C （2）等差数列{an}的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11∶9，则公差d，的值分别是（　　） A.8， B.9， C.9， D.8， （3）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，＝，则＝　　　　.尝试解答 通性通法 等差数列的前n项和常用的性质 （1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列； （2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn（a，b为常数）⇔数列为等差数列； （3）设等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则＝； （4）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d： ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【跟踪训练】 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝（　　） A.18 B.17 C.16 D.15 2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（n＋3）Sn＝（2n＋70）Tn，则使得为整数的正整数n的个数是　　　　. 3.含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为　　　　. 题型二｜等差数列的前n项和最值问题 【例2】　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，试求的前n项和Tn. 2.（变条件）若本例中的条件“a1＝25，S17＝S9”换为“a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93”，试求Sn的最大值. 通性通法 求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 （1）将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决； （2）邻项变号法： 当a1＞0，d＜0时，满足的项数n使Sn取最大值； 当a1＜0，d＞0时，满足的项数n使Sn取最小值. 【跟踪训练】 　〔多选〕等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，且a9＝4a6，下列选项正确的是（　　） A.a1＜0 B.d＜0 C.Sn取得最小值时，n＝5 D.Sn＞0时，n的最小值为10 题型三｜求数列{｜an｜}的前n项和 【例3】　在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a1a3＝（2a2＋2）2. （1）求d，an； 尝试解答（2）若d＜0，求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜. 尝试解答 通性通法 求数列{｜an｜}前n项和的方法 　　给出数列{an}，要求数列{｜an｜}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0（an＜0）. 一般地，如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，那么有： （1）若a1＞0，d＜0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1＜0，从而有Tn＝ （2）若a1＜0，d＞0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1＞0，从而有Tn＝ 【跟踪训练】 　 在等差数列{an}中，a3＝7，a9＝－5，{an}的前n项和为Sn. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求Sn取最大值时n的值； （3）设Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜，求Tn. 1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18＝（　　） A.36　　　B.18　 　　C.72　　D.9 2.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于（　　） A.12 B.16 C.9 D.16或9 3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7＜0，a5＋a10＞0，则下列选项正确的是（　　） A.数列{an}为递减数列 B.a8＜0 C.Sn的最大值为S7 D.S14＞0 4.〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题正确的是（　　） A.d＜0 B.S11＞0 C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 5.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　　　　，项数是　　　　. 提示：完成课后作业　第五章　5.2　5.2.2　第二课时 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等差数列前n项和的性质及应用 【典例研析】 【例1】　（1）D　（2）D　（3） 解析：（1）∵等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A，B，C， ∴A，B－A，C－B仍然成等差数列，∴2（B－A）＝C－B＋A， 化为3A＋C＝3B，即3（B－A）＝C，故选D. （2） 在等差数列{an}中，设S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16， 依题意，解得S奇＝288，S偶＝352，而S偶－S奇＝（a2－a1）＋（a4－a3）＋…＋（a16－a15）＝8d，＝＝， 所以d＝＝＝8，＝＝.故选D. （3）根据等差数列前n项和的函数特征，可设Sn＝kn（n＋1），Tn＝kn（3n－1）（k≠0）， 则＝＝＝＝. 跟踪训练 1.A　设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，（a5＋a6＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18. 2.5　解析：由等差数列前n项和的性质，得＝.由条件可得＝，则＝＝＝，所以＝＝2＋.要使为整数，则必为整数，即n＋1为32的约数.又n为正整数，所以n的取值为1，3，7，15，31，共5个. 3.　解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，前n项和为Sn，则S奇＝，S偶＝，∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝. 【例2】　解：设公差为d，由S17＝S9且a1＝25，得 25×17＋d＝25×9＋d， 解得d＝－2. 法一（公式法）　Sn＝25n＋×（－2）＝－（n－13）2＋169. 由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169. 法二（邻项变号法）　∵a1＝25＞0， 由 得即12≤n≤13. 又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为25×13＋×（－2）＝169. 母题探究 1.解：由本例知Sn＝－n2＋26n， 令bn＝＝－n＋26， ∴{bn}是以25为首项，公差为－1的等差数列， ∴Tn＝25n＋×（－1）＝－n2＋n. 2.解：因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝41－2n， 所以a1＝39，Sn＝39n＋×（－2）＝40n－n2. 当Sn取得最大值时，满足 即19≤n≤20. 因为n∈N＋，所以当n＝20时，Sn有最大值S20＝400. 跟踪训练 AD　由a9＝4a6可得a1＋8d＝4（a1＋5d），故a1＋4d＝0，由于{an}是递增数列，故d＞0，因此a1＜0，故A正确，B错误；进而可得当n＝1，2，3，4时an＜0，a5＝0，当n＞5时an＞0，因此Sn取得最小值时，n＝5或n＝4，C错误；由于S9＝＝9a5＝0，故当n≥10时，Sn＞0，因此Sn＞0时，n的最小值为10，D正确.故选A、D. 【例3】　解：（1）因为5a1a3＝（2a2＋2）2，a1＝10， 所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4. 故an＝－n＋11或an＝4n＋6. （2）因为d＜0，所以由（1）得d＝－1，an＝－n＋11. 设数列{an}的前n项和为Sn， 当n≤11时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝Sn＝－n2＋n； 当n≥12时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 跟踪训练 解：（1）由题意知在等差数列{an}中，a3＝7，a9＝－5，设公差为d， 则a9－a3＝6d＝－12⇒d＝－2，则a1＝a3－2d＝11， 故an＝a1＋（n－1）d＝13－2n，故通项公式为an＝13－2n. （2）结合（1）可得Sn＝11n＋×（－2）＝12n－n2＝－（n－6）2＋36， ∴当n＝6时，Sn取最大值. （3）∵an＝13－2n， ∴由13－2n≥0，得n≤＝6， 即n≤6时有an＞0，n≥7时有an＜0. 当n≤6时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn＝12n－n2； 当n≥7时，Tn＝a1＋a2＋…＋a6－a7－…－an ＝2（a1＋a2＋…＋a6）－（a1＋a2＋a3＋…＋an） ＝2S6－Sn＝2（12×6－36）－（12n－n2）＝n2－12n＋72. 综上所述，Tn＝ 随堂检测 1.A　由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋…＋（S18－S15）＝＝36. 2.C　设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120＋5（n－1）＝5n＋115，由an＜180，得n＜13且n∈N＋.由n边形内角和定理得，（n－2）×180＝n×120＋×5.解得n＝16或n＝9.因为n＜13，所以n＝9. 3.D　对于A，n∈N＋，在数列{an}中，a7＜0，且a7＋a8＝a5＋a10＞0，所以a8＞0，所以公差d＝a8－a7＞0，数列{an}为递增数列，故A、B错误；对于C，当1≤n≤7时，an＜0，当n≥8时，an＞0，所以Sn的最小值为S7，故C错误；对于D，S14＝＝7（a7＋a8）＞0，故D正确.故选D. 4.AB　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又∵S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确. 5.11　7　解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $