5.2.1 第2课时 等差数列的性质(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　等差数列的性质 【基础落实】 知识点一 A　 想一想 1.提示：任何两个实数都有等差中项. 2.提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列. 自我诊断 1.5　解析：因为三个数19，5x，31成等差数列，所以10x＝19＋31＝50⇒x＝5. 2.1　解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4－2，解得d＝1. 知识点二 2.（1）ap＋aq　①2as　（2）①d　②cd　③2d　（3）pd1＋qd2 想一想 提示：（1）错误.如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列. （2）错误.如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列. （3）正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2成立. （4）正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3. 自我诊断 1.B　由等差数列的性质知a4＋a9＝a5＋a8＝21. 2.10　解析：因为数列{an}为等差数列，由a3＋a9＝2a6＝4，解得a6＝2，则a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝（a2＋a10）＋（a4＋a8）＋a6＝5a6＝10. 3.30　解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30. 【典例研析】 【例1】　（1）A　∵角B是A与C的等差中项， ∴2B＝A＋C，又∵A＋C＋B＝π， ∴3B＝π，即B＝.∴cos B＝. （2）证明：∵是与的等差中项， ∴＝＋，即2ac＝b（a＋c）. ∵＋＝＝ ＝＝＝， ∴是与的等差中项， ∴，，成等差数列. 跟踪训练 1.B　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3. 2.证明：由已知得＋＝，通分有＝. 进一步变形有2（b＋c）（a＋b）＝（2b＋a＋c）（a＋c），整理得a2＋c2＝2b2， 所以b2是a2与c2的等差中项. 【例2】　（1）B　（2）C　解析：（1）∵数列{an}为等差数列， ∴a2＋a4＝2a3＝6，∴a3＝3. ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15. （2）设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列， 则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100， c2＝a2＋b2＝100， ∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0， ∴c37＝100，即a37＋b37＝100. 母题探究 1.解：由等差数列的性质知， a1＋a5＝2a3，∴a3＝＝＝3， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（a1＋a5）＋（a2＋a4）＋a3＝2a3＋2a3＋a3＝5a3＝15. 2.解：由等差数列的性质知{cn}也是等差数列， 且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100， ∴公差d＝c2－c1＝0， ∴cn＝c1＋（n－1）d＝100. 跟踪训练 1.B　法一　设等差数列{an}的公差为d，则30＝（a1＋3d）＋（a1＋6d）＋（a1＋9d）＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.a3－2a5＝（a1＋2d）－2（a1＋4d）＝－a1－6d＝－10. 法二　由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.a3－2a5＝a3－（a3＋a7）＝－a7＝－10. 2.180　解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180. 【例3】　解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N＋）， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n. 若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 跟踪训练 m　解析：记7根横梁的长度从上到下构成等差数列{an}（1≤n≤7，n∈N）， 由题意得a1＋a2＋a3＝1.5，a5＋a6＋a7＝2，∴3a2＝1.5，3a6＝2，故a2＝，a6＝.∵2a4＝a2＋a6，∴a4＝，即正中间的一根横梁的长度是 m. 随堂检测 1.D　设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为＝－3.故选D. 2.B　因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16. 3.C　因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39. 4.－11　解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11. 5.解：设公差为d，∵a1＋a7＝2a4， ∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.∴a4＝5. 又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9， 即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，亦即（5－2d）·（5＋2d）＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3； 若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等差数列的性质 课标要求 1.掌握等差中项的定义，会利用等差中项解决相关的问题（数学抽象）. 2.理解并掌握等差数列的性质及数列在实际问题中的应用（数学运算、数学建模）. 　　如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球. 【问题】　（1）每隔一层的球数有什么规律？ （2）每隔二层呢？每隔三层呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称　　为x与y的等差中项，根据等差中项与等差数列的定义可知，A＝　　　　. 【想一想】 1.任何两个实数都有等差中项吗？ 2.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？ 1.已知三个数19，5x，31是等差数列，则x＝　　　　. 2.已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝　　　　. 知识点二　等差数列的性质 1.等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋（n－1）d （揭示首末两项的关系） an＝am＋（n－m）d （揭示任意两项之间的关系） 2.等差数列的性质 （1）如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝　　　　. ①特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝　　　　； ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. （2）若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}（c为任一常数）是公差为　　　的等差数列； ②{can}（c为任一常数）是公差为　　　　的等差数列； ③{an＋an＋k}（k为常数，k∈N＋）是公差为　　　　的等差数列. （3）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}（p，q为常数）是公差为　　　　　　的等差数列. 【想一想】 　下列说法是否正确？并说明理由. （1）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列； （2）若{｜an｜}是等差数列，则{an}也是等差数列； （3）若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2； （4）数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等. 1.在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a4＋a9＝（　　） A.32　　　B.21　 　C.－33　 　D.29 2.若数列{an}为等差数列，且a3＋a9＝4，则a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝　　　　. 3.在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为　　　　. 题型一｜等差中项的应用 【例1】　（1）在△ABC中，若角B是A与C的等差中项，则cos B＝（　　） A.　　　　　　　 B.－ C. D.－ （2）若是与的等差中项，求证：，，成等差数列. 尝试解答 通性通法 　　a，b，c成等差数列的充要条件是b＝（或2b＝a＋c），可利用此关系进行等差数列的判断或有关等差中项的计算.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）. 【跟踪训练】 1.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（　　） A.2　　　　　　　　 B.3 C.6 D.9 2.若，，是等差数列，求证：b2是a2与c2的等差中项. 题型二｜等差数列性质的应用 【例2】　（1）已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（　　） A.30 B.15 C.5 D.10 （2）设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝（　　） A.0 B.37 C.100 D.－37 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件）若本例（1）中的条件“a2＋a4＝6”变为“a1＋a5＝6”，其他条件不变，结论又如何呢？ 2.（变设问）若本例（2）条件不变，令cn＝an＋bn，求数列{cn}的通项公式. 通性通法 1.本例（1）的求解主要用到了等差数列的性质：若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. 对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11. 2.本例（2）应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的训练. 【跟踪训练】 1.已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为（　　） A.10 B.－10 C.15 D.－15 2.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝　　　　. 题型三｜等差数列的实际应用 【例3】　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 尝试解答 通性通法 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 （1）解决等差数列实际应用问题的基本步骤：①将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数学问题；②构建等差数列模型，由条件确定a1，d，n，an（或其中两个）；③利用通项公式或等差数列的性质求解等差数列问题；④将所求结果还原到实际问题中. （2）在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键点. 【跟踪训练】 　做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.5 m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2 m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是　　　　. 1.方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为（　　） A.1 B.6 C.－6 D.－3 2.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（　　） A.12 B.16 C.20 D.24 3.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（　　） A.26 B.29 C.39 D.52 4.在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是　　　　℃. 5.已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式. 提示：完成课后作业　第五章　5.2　5.2.1　第二课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $