5.1.1 数列的概念(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1.1　数列的概念 课标要求 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数（数学运算、数学抽象）. 　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②.他把这些数叫作正方形数，等等.每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列. 【问题】　（1）数列的有关概念是什么？ （2）数列可分为哪几类？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　数列的概念及分类 1.数列的概念 2.数列的分类 类别 含义 有穷数列 　　　　　　的数列 无穷数列 　　　　　　的数列 【想一想】 1.2，3，4，5和5，4，3，2是相同的数列吗？ 2.一列由小到大排序的偶数是否可以构成一个数列，这个数列是有穷数列，还是无穷数列？ 1.下列说法正确的是（　　） A.数列4，7，3，4的首项是4 B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C.数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D.a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列 2.数列，2，，3，…，则该数列的第6项是　　　　. 知识点二　数列的通项公式 1.数列的通项及表示 因为数列从首项起，每一项都与　　　　对应，所以数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的第　　项（也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋），称为数列的通项，一般将整个数列简记为{an}. 2.数列的通项公式 如果数列的第n项an与　　　　之间的关系可以用an＝f（n）来表示，其中f（n）是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. 【想一想】 1.是否所有的数列都有通项公式？ 2.如果数列的每一项均为常数k，则数列的通项公式该如何表示？ 3.若数列{an}有通项公式，那么它的通项公式唯一吗？ 1.数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝　　　　. 2.在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，…中，x的值是　　　　. 知识点三　数列与函数 1.数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 2.数列的分类 类别 定义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 【想一想】 1.数列的表示方法有哪些？ 2.作出一个数列的图象，其图象有什么特点？ 1.下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　） A.1，，，，… B.sin ，sin ，sin ，sin ，… C.－1，－，－，－，… D.1，2，3，4，…，30 2.给出以下数列： ①1，－1，1，－1，…； ②2，4，6，8，…，1 000； ③8，8，8，8，…； ④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810. 其中，有穷数列为　　　　　；无穷数列为　　　　　；递增数列为　　　　　；递减数列为　　　　　；常数列为　　　　　.（填序号） 题型一｜数列的概念及分类 【例1】　已知下列数列： ①2 021，2 022，2 023，2 024，2 025，2026； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1，0，－1，…，sin，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是　　　　，无穷数列是　　　　，递增数列是　　　，递减数列是　　　　，常数列是　　　　，摆动数列是　　　　.（填序号） 尝试解答 通性通法 　　判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析，而有穷和无穷数列则看项的个数是有限还是无限. 【跟踪训练】 〔多选〕下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　） A.1，，，，…，，… B.－1，－，－，－，…，－，… C.sin，sin，sin，…，sin，… D.1，，，…，，… 题型二｜数列的通项公式 角度1　由数列的前几项求通项公式 【例2】　（1）数列，，，，…的一个通项公式是　　　　； （2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式： ①，，，，…； ②－3，7，－15，31，…； ③2，6，2，6，…. 尝试解答 通性通法 由数列的前几项求通项公式的解题策略 （1）分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； （2）若n和n＋1项正负交错，那么符号用（－1）n或（－1）n＋1或（－1）n－1来调控； （3）熟悉一些常见数列的通项公式； （4）对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳. 【跟踪训练】 1.数列1，，，，…的一个通项公式是an＝（　　） A.1－　　　　　　　 B. C. D. 2.数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式为（　　） A.an＝（10n－1） B.an＝（10n－1） C.an＝ D.an＝（10n－1） 角度2　通项公式的应用 【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. （1）写出数列的第4项和第6项； 尝试解答（2）－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）若本例条件不变，试探究数列{an}中有多少个负数项？ 2.（变条件，变设问）若本例中的条件“an＝3n2－28n”变为“an＝＋2n”，问253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 通性通法 求数列的项或判断某数是否为数列的项的方法 （1）如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项； （2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项. 【跟踪训练】 　已知两个数列的前5项如下： {an}：25，37，49，61，73，…； {bn}：1，4，9，16，25，…. （1）根据两个数列前5项的特征，分别写出它们的一个通项公式； （2）根据（1）的两个通项公式，判断这两个数列是否有序号与项都相同的项.如果没有，请说明理由；如果有，指明它们是第几项. 题型三｜数列单调性的判断及应用 【例4】　（1）已知函数f（x） ＝若数列{an}满足an＝f（n），n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　） A.（1，3）　　　　　　B.（1，2] C.（2，3） D. （2）已知数列{an}的通项公式an＝（n∈N＋）， ①求证：0＜an＜1； ②判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 尝试解答 通性通法 1.判断数列{an}单调性的常用方法 （1）图象法：利用数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而判断数列的单调性； （2）作差法：将an＋1－an与0进行比较； （3）作商法：将与1进行比较（在作商时，要注意an＜0还是an＞0）. 2.利用数列的单调性确定变量的取值范围 数列{an}递增⇔an＋1＞an（n∈N＋）； 数列{an}递减⇔an＋1＜an（n∈N＋）. 进而转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的最值来解决；或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知数列是递减数列，则λ的取值范围为（　　） A.（0，＋∞） B.（1，＋∞） C.[1，＋∞） D.[0，＋∞） 2.已知数列{an}满足an＝n2＋λn（n∈N＋），且对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，则实数λ满足（　　） A.λ＞0 B.λ＜0 C.λ≥－2 D.λ＞－3 　已知函数f（x）＝，设数列{an}的通项公式为an＝f（n），其中n∈N＋. （1）求证：0≤an＜1； （2）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【问题探究】 函数的单调性在研究函数性质时有着重要的作用，而数列作为一种特殊的函数，也具有单调性，且单调性是数列的一个重要性质.数列的单调性在研究数列的最值、数列不等式以及在判断某一项是否为已知数列中的项等问题时，都有重要的作用. 如何利用数列单调性定义去判断数列的单调性？ 提示：①作差法：即作差an＋1－an后与0进行比较. 若an＋1－an＞0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是递增数列； 若an＋1－an＜0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是递减数列； 若an＋1－an＝0对于任意n（n∈N＋）恒成立，则数列{an}是常数列. ②作商法：即作商（务必要确定an的符号）后与1进行比较. 对于任意n（n∈N＋），若an＞0，则当＞1时，数列{an}是递增数列；当＜1时，数列{an}是递减数列. 对于任意n（n∈N＋），若an＜0，则当＜1时，数列{an}是递增数列；当＞1时，数列{an}是递减数列. 对于任意n（n∈N＋），若an≠0，则当＝1时，数列{an}是常数列. 【迁移应用】 　已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n（n∈N＋），判断数列{an}的单调性. 1.有下面四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数； ②数列的项数一定是无限的； ③数列的通项公式的形式是唯一的； ④数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式. 其中正确的是（　　） A.①　　　　　　　B.①② C.③④ D.②④ 2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋1，则2 026是该数列的（　　） A.第44项 B.第45项 C.第46项 D.第47项 3.〔多选〕下列有关数列的说法正确的是（　　） A.数列－2 026，0，6与数列6，0，－2 026是同一个数列 B.数列{an}的通项公式为an＝n（n－1），则110是该数列的第11项 C.数列1，，，2，，…的第8项是2 D.数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n＋1 4.已知数列{an}满足－an－3＝0，则数列{an}是（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 5.根据下面所给数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1）数列，，，，…的一个通项公式为an＝　　　　； （2）数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的一个通项公式是an＝　　　　. 提示：完成课后作业　第五章　5.1　5.1.1 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 【基础落实】 知识点一 1.一定次序　数　第一位置上　个数　{an}　2.项数有限　项数无限 想一想 1.提示：不是. 2.提示：可以构成数列，且是无穷数列. 自我诊断 1.A　对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误；对于D，当a，b都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按照一定次序排列的一列数，故D错误.故选A. 2.2　解析：数列中每一项的被开方数均比前一项大5，故第6项为＝2. 知识点二 1.正整数　n　2.n 想一想 1.提示：并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式. 2.提示：an＝k. 3.提示：一般不唯一.如数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为an＝或an＝cos（n－1）π. 自我诊断 1.20　解析：由an＝得a2＝2，a3＝10， 所以a2·a3＝20. 2.35　解析：由题意可发现：0＝12－1，3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，…，63＝82－1，总结规律，该数列第n项为n2－1，所以x＝62－1＝35. 知识点三 想一想 1.提示：数列的表示方法有解析法、列表法和图象法. 2.提示：其图象是一些离散的点. 自我诊断 1.C　数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，4，…，30是递增数列，但不是无穷数列. 2.②④　①③　②　④　③ 【典例研析】 【例1】　①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④　 解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列. 跟踪训练 BD　对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误；对于B，－1，－，－，－，…，－，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确；对于C，sin，sin，sin，…，sin，…中，sin＞sin，故不是递增数列，故C错误；对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列，故D正确.故选B、D. 【例2】　（1）an＝　解析：数列可写为，，，，…，分子满足3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，分母满足5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…，因此它的一个通项公式为an＝. （2）解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2， 因此数列的一个通项公式为an＝. ②正负相间，且负号在奇数项，故可用（－1）n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1， 因此数列的一个通项公式为an＝（－1）n（2n＋1－1）. ③为摆动数列，一般求两数的平均数＝4， 而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用（－1）n来表示. 因此它的一个通项公式为an＝4＋（－1）n·2或an＝ 跟踪训练 1.C　依题意，1＝，＝，＝，＝，…，所以an＝.故选C. 2.C　因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的.故通项公式为an＝. 【例3】　解：（1）a4＝3×16－28×4＝－64， a6＝3×36－28×6＝－60. （2）令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝（舍去）， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项. 令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2. 因为∉N＋，－2∉N＋，所以68不是该数列的项. 母题探究 1.解：an＝n（3n－28），令an＜0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项. 2.解：假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.所以253是这个数列的第121项. 假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，这与n是正整数矛盾，所以153不是这个数列中的项. 跟踪训练 解：（1）an＝12n＋13，bn＝n2. （2）令an＝bn，得12n＋13＝n2，可解得n1＝13，n2＝－1（舍去）， 所以这两个数列存在序号与项都相同的项，它是第13项. 【例4】　（1）C　由题意知an＝因为数列{an}是递增数列，所以当n≤10时，3－a＞0，即a＜3；当n＞10时，a＞1.且a10＜a11，所以（3－a）×10－6＜a11－9，即a2＋10a－24＞0，即（a＋12）（a－2）＞0，所以a＜－12或a＞2.综上可得a的取值范围为（2，3）. （2）解：①证明：因为n∈N＋，所以an＝＜＜＝1，所以0＜an＜1. ②因为an＋1－an＝－ ＝＝. 又因为n∈N＋，且n≥1， 所以n＋≥，≥，－≤－. 故－＋≤－＋＝－1＜0， 所以an＋1－an＜0，即an＋1＜an，故该数列为递减数列. 跟踪训练 1.A　数列是递减数列，故＞，即2n＋2λ＞n＋1＋λ，λ＞1－n，且n∈N＋，故λ＞0.故选A. 2.D　因为对任意n∈N＋，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数列.由an＝n2＋λn知（n，an）（n∈N＋）是函数f（x）＝x2＋λx图象上的点，而函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an即可.欲满足上述不等关系，需－＜，解得λ＞－3. 拓视野　数列单调性的判断及应用 迁移应用 　解：法一　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，即an＋1＞an（n∈N＋），故数列{an}是递增数列. 法二　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），则＝＝·＞1. 又因为an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列. （注：这里要确定an的符号，否则无法判断an＋1与an的大小） 法三　令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的拋物线，其对称轴为直线x＝，＜1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列. 随堂检测 1.A　结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…的一个通项公式为an＝④错误.故选A. 2.B　令an＝n2＋1＝2 026，解得n＝45，则2 026是该数列的第45项，故选B. 3.BCD　对于A，数列中的项与顺序有关，故数列－2 026，0，6与数列6，0，－2 026是两个不同的数列，故A错误；对于B，令an＝n（n－1）＝110，解得n＝11或n＝－10（舍去），故110是该数列的第11项，故B正确；对于C，数列1，，，2，，…的一个通项公式是，故第8项是＝2，故C正确；对于D，3＝21＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，总结规律，数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n＋1，故D正确. 4.A　由条件得－an＝3＞0，可知＞an，所以数列{an}是递增数列. 5.（1）　（2） 解析：（1）＝，＝，＝，＝，…，总结规律可得an＝. （2）数列的奇数项都是0，偶数项都是1，所以an＝ 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $