模块综合检测（二）(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

模块综合检测（二）

（时间：120分钟　满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝（　　）

A.－3 B.－11

C.－5 D.19

解析：D　由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，则a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.

2.已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'＝（　　）

A.－ B.

C. D.－

解析：C　∵f（x）＝sin x，∴f'（x）＝cos x，∴f'＝cos ＝.

3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于（　　）

A.1 B.0

C.1或0 D.－1

解析：A　因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.

4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（　　）

A.6 B.7

C.8 D.9

解析：A　设等差数列的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A.

5.已知曲线f（x）＝（x＋a）ex在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝（　　）

A.－1 B.0

C.1 D.2

解析：A　因为f'（x）＝（x＋a＋1）ex，所以f'（1）＝（a＋2）·e，f'（－1）＝ae－1＝.由题意有f'（1）·f'（－1）＝－1，所以a＝－1.

6.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝（　　）

A.2n－1 B.

C. D.

解析：B　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以由Sn＝2an＋1，得Sn＝2（Sn＋1－Sn），整理得3Sn＝2Sn＋1，所以＝，所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故Sn＝.

7.若定义在R上的函数y＝f（x）满足f'（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）与eaf（0）的大小关系为（　　）

A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0）

C.f（a）＝eaf（0） D.不能确定

解析：B　令F（x）＝，则F'（x）＝＝＞0，从而F（x）＝在R上单调递增，于是当a＞0时，F（a）＝＞F（0）＝＝f（0），即f（a）＞eaf（0）.

8.若函数f（x）＝ax－ln x在区间（0，e]上的最小值为3，则实数a的值为（　　）

A.e2 B.2e

C. D.

解析：A　f'（x）＝a－（x＞0）.

（1）当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝，矛盾，舍去.

（2）当a＞0时，f'（x）＝.①当0＜a≤时，≥e，此时f'（x）＜0在（0，e]上恒成立，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝，矛盾，舍去.②当a＞时，0＜＜e.当0＜x＜时，f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减，当＜x＜e时，f'（x）＞

0，所以f（x）在上单调递增，于是f（x）min＝f＝1＋ln a＝3，解得a＝e2.综上，a＝e2.故选A.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）（　　）

A.在（－∞，0）上单调递减

B.在x＝0处取极大值

C.在（4，＋∞）上单调递减

D.在x＝2处取极小值

解析：BCD　由导函数的图象可知：x∈（－∞，0）∪（2，4）时，f'（x）＞0，x∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（x）＜0，因此f（x）在（－∞，0），（2，4）上单调递增，在（0，2），（4，＋∞）上单调递减，所以在x＝0处取得极大值，x＝2处取得极小值，x＝4处取得极大值，故选B、C、D.

10.已知公差为d的等差数列a1，a2，a3，…，则对重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正确的是（　　）

A.一定是等差数列

B.公差为2d的等差数列

C.可能是等比数列

D.可能既非等差数列又非等比数列

解析：ABC　由题意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，则bn＋1－bn＝[2a1＋（2n＋3）d]－[2a1＋（2n＋1）d]＝2d，因此数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是公差为2d的等差数列，即A、B正确，D错误；当a1≠0，d＝0时bn＝2a1，此时数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比数列，即C正确.故选A、B、C.

11.对于函数f（x）＝16ln（1＋x）＋x2－10x，下列说法正确的是（　　）

A.x＝3是函数f（x）的一个极值点