6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　简单复合函数的求导法则

课标要求

　　观察函数y＝（3x－1）2和y＝sin 2x，不难发现，y＝（3x－1）2由y＝u2及u＝3x－1复合而成，y＝sin 2x由y＝sin u及u＝2x复合而成.像这样由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数.

【问题】　怎样求复合函数的导数呢？

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　复合函数

1.复合函数的定义

已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝　f（g（x））　为函数f（u）与g（x）的复合函数，其中　u　称为中间变量.

2.复合函数的求导法则

如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f（g（x）），则

（1）h'（x）＝[f（g（x））]'＝　f'（u）·g'（x）　＝　f'（g（x））·g'（x）　；

（2）y'x＝　y'u·u'x　.

【想一想】

1.已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）.这三个函数都是复合函数吗？

提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数.

2.试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？

提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.

3.求复合函数的导数与顺序有关吗？

提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导.

1.下列函数求导正确的是（　　）

A.（e－x）'＝e－x

B.（ln x2）'＝

C.（ex＋ln 3）'＝ex＋

D.（x－2）'＝－2

解析：B　对于A，（e－x）'＝－e－x，故A错误；对于B，（ln x2）'＝＝，故B正确；对于C，（ex＋ln 3）'＝ex，故C错误；对于D，（x－2）'＝－2x－3＝－，故D错误.故选B.

2.函数f（x）＝（2x＋1）5，则f'（0）的值为　10　.

解析：f'（x）＝5（2x＋1）4·（2x＋1）'＝10（2x＋1）4，∴f'（0）＝10.

3.函数f（x）＝e2x＋ax的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x－y＋b＝0，则a＋b＝　1　.

解析：由f（x）＝e2x＋ax，则f'（x）＝2e2x＋a，又f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x－y＋b＝0，则f'（0）＝2＋a＝2，得a＝0，又f（0）＝1，则有0－1＋b＝0，得b＝1，所以a＋b＝1.

题型一｜简单复合函数求导

【例1】　求下列函数的导数：

（1）y＝ecos x＋1；

解：（1）设y＝eu，u＝cos x＋1，

则y'　x＝y'　u·u'　x＝eu·（－sin x）＝－ecos x＋1sin x.

（2）y＝log2（2x＋1）；

解：（2）设y＝log2u，u＝2x＋1，

则y'　x＝y'　u·u'　x＝＝.

（3）y＝2sin；

解：（3）设y＝2sin u，u＝3x－，

则y'　x＝y'　u·u'　x＝2cos u×3＝6cos.

（4）y＝ .

解：（4）设y＝，u＝1－2x，则y'　x＝y'　u·u'　x＝'·（1－2x）'＝－×（－2）＝（1－2x.

通性通法

1.求复合函数的导数的步骤

2.求复合函数的导数的注意点

（1）分解的函数通常为基本初等函数；

（2）求导时分清是对哪个变量求导；

（3）计算结果尽量简洁.

【跟踪训练】

　求下列函数的导数：

（1）y＝103x－2；

解：（1）令u＝3x－2，则y＝10u，

所以y'　x＝y'　u·u'　x＝10uln 10·（3x－2）'

＝3×103x－2ln 10.