6.1.3 基本初等函数的导数(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦基本初等函数的导数这一核心知识点，从导数定义出发，系统梳理常数函数、幂函数、三角函数、指数函数及对数函数的导数公式，构建从定义理解到公式应用的学习支架，衔接导数几何意义的切线方程求解等应用问题。 该资料以问题驱动导入激发探究欲，通过表格清晰呈现公式，题型分层设计（基础求导、切线方程、综合应用），结合“想一想”“跟踪训练”等环节，培养数学运算和逻辑推理素养。课中辅助教师高效授课，课后通过变式练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

6.1.3　基本初等函数的导数 课标要求 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数（数学运算）. 2.会使用导数公式表（数学运算）. 　　求f（t） 的导数，根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导数. 【问题】　（1）是否有更简便的求导数的方法呢？ （2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？ 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　常数函数与幂函数的导数 1.导函数的概念 （1）定义：如果函数y＝f（x）在其定义域内的每一点x都可导，则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值　x　，都对应一个确定的导数f'（x）.于是，在f（x）的定义域内，f'（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f（x）的导函数，也简称为导数； （2）记法：函数y＝f（x）的导函数记作f'（x）（或y'，y'x），即f'（x）＝y'＝y'x＝　　. 2.常数函数与幂函数的导数 函数 导数 文字叙述 f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝C'＝0 函数f（x）＝C的 导数为f'（x）＝0 f（x）＝x f'（x）＝x'＝1 函数f（x）＝x的 导数为f'（x）＝1 f（x）＝x3 f'（x）＝（x3）' ＝3x2 函数f（x）＝x3的 导数为f'（x）＝3x2 f（x）＝ f'（x）＝' ＝－ 函数f（x）＝的 导数为f'（x）＝－ f（x）＝ （x＞0） f'（x）＝（）' ＝ 函数f（x）＝（x＞0） 的导数为f'（x）＝ f（x）＝xα f'（x）＝αxα－1 函数f（x）＝xα的导 数为f'（x）＝αxα－1 【想一想】 1.常数函数的导数为0说明了什么？ 提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴. 2.奇（偶）函数的导函数有什么规律？ 提示：奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数. 1.〔多选〕下列结论正确的是（　　） A.若y＝0，则y'＝0 B.若y＝5x，则y'＝5 C.若y＝x－1，则y'＝－x－2 D.若y＝，则y'＝ 解析：ABC　由导数定义及常数函数与幂函数的导数公式可知，A、B、C三项正确. 2.若f（x）＝x3，f'（x0）＝3，则x0的值是（　　） A.1 B.－1 C.±1 D.3 解析：C　∵f'（x）＝3x2，∴f'（x0）＝3＝3，∴x0＝±1，故选C. 3.曲线y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝　3　. 解析：因为y'＝αxα－1，所以α·2α－1＝12，解得α＝3. 知识点二　导数公式表 原函数 导函数 f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝　0　 f（x）＝xα f'（x）＝　αxα－1　 f（x）＝sin x f'（x）＝　cos x　 f（x）＝cos x f'（x）＝　－sin x　 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　axln a　 f（x）＝ex f'（x）＝　ex　 f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　 f（x）＝ln x f'（x）＝　　 【想一想】 　对于公式“若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1”，α＝0时，公式是否仍然成立？ 提示：公式对任意不为0的实数α都成立. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若y＝，则y'＝×2＝1.（　×　） （2）若f'（x）＝sin x，则f（x）＝cos x.（　×　） （3）f（x）＝，则f'（x）＝－.（　√　） 2.〔多选〕下列运算错误的是（　　） A.（2x）'＝2xlog2e B.（）'＝ C.（sin 1）'＝cos 1 D.（log3x）'＝ 解析：AC　对于A，（2x）'＝2xln 2，A错误；对于B，（）'＝（）'＝＝，B正确；对于C，（sin 1）'＝0，C错误；对于D，（log3x）'＝，D正确.故选A、C. 3.若f（x）＝ex，则f'（0）等于（　　） A.e B.1 C.－1 D.－e 解析：B　因为f'（x）＝ex，所以f'（0）＝e0＝1. 4.已知f（x）＝x2，g（x）＝ln x，且f'（x）＜g'（x），则（　　） A.x＜ B.x＞ C.0＜x＜ D.x＜ 解析：C　由题意可知x＞0，因为f'（x）＝2x，g'（x）＝，所以f'（x）＜g'（x），即2x＜，解得0＜x＜. 题型一｜利用导数公式求函数的导数 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝x12； 解：（1）y'＝（x12）'＝12x11. （2）y＝； 解：（2）y'＝'＝（x－4）'＝－4x－5＝－. （3）y＝； 解：（3）y'＝（）'＝（）'＝. （4）y＝3x； 解：（4）y'＝（3x）'＝3xln 3. （5）y＝log5x. 解：（5）y'＝（log5x）'＝. 通性通法 求简单函数导函数的两种基本方法 （1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂； （2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝； 解：（1）y'＝'＝ln ＝－ln 2. （2）y＝x； 解：（2）y'＝（x）'＝（）'＝＝. （3）y＝lox. 解：（3）y'＝'＝＝－. 题型二｜利用导数公式求切线方程 【例2】　已知函数f（x）＝，而l是曲线y＝f（x）的切线，且l经过点Q（1，0）. （1）判断点Q是否在曲线y＝f（x）上； 解：（1）因为f（1）＝＝1≠0，所以点Q（1，0）不是曲线y＝f（x）上的点. （2）求l的方程. 解：（2）设过点Q（1，0）的切线的切点为A， 那么该切线斜率为k＝f'（a）＝－. 则切线方程为y－＝－（x－a）.　① 将Q（1，0）代入方程0－＝－（1－a）， 得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，求函数f（x）＝在点P（1，1）处的切线方程. 解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝－. 显然P（1，1）是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数f（x）＝在点P（1，1）处的导数，即k＝f'（1）＝－1. 所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y－1＝－（x－1），即为x＋y－2＝0. 2.（变条件，变设问）本例中的条件“f（x）＝”若换为“f（x）＝sin x”，试求f（x）在点P（π，sin π）处的切线方程. 解：因为f'（x）＝（sin x）'＝cos x， 所以所求切线的斜率k＝cos π＝－1. 又因为sin π＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－π），即x＋y－π＝0. 通性通法 求切线方程的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 【跟踪训练】 1.曲线f（x）＝2x在点（0，1）处的切线方程为　y＝xln 2＋1　. 解析：∵f（x）＝2x，∴f'（x）＝2xln 2，∴f'（0）＝ln 2.故所求切线方程为y－1＝（x－0）ln 2，即y＝xln 2＋1. 2.已知函数f（x）＝x3，过点P（，0）作曲线y＝f（x）的切线，则其切线方程为　y＝0或3x－y－2＝0　. 解析：设切点为（x0，），因为f（x）＝x3，f'（x）＝3x2，所以切线的斜率为3，切线方程为y－＝3（x－x0）.因为切线过点P（，0），所以－＝3（－x0），解得x0＝0或x0＝1，所以切线方程为y＝0或3x－y－2＝0. 题型三｜导数的简单应用 【例3】　（1）（1）函数y＝ln x图象上的点到直线y＝x距离的最小值为（　A　） A. B.1 C. D.2 解析：设与直线y＝x平行且与函数y＝f（x）＝ln x图象相切的直线方程为y＝x＋m， 设切点为P（x0，y0），又因为f'（x）＝，所以f'（x0）＝＝1，解得x0＝1，所以切点P（1，0）.又因为点P（1，0）到直线y＝x的距离为，所以函数y＝ln x图象上的点到直线y＝x的距离的最小值是.故选A. （2）已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P（x0，y0）.∴两条曲线在P（x0，y0）处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·（－sin x0）＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直. 通性通法 导数应用的解题技巧 （1）导数的几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这往往是解决问题的关键所在； （2）导数作为重要的数学工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析. 【跟踪训练】 　已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. 解：如图，由题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点.设P（x0，y0）， ∵y'＝（ex）'＝ex，∴＝1， ∴x0＝0，代入y＝ex得y0＝1，∴P（0，1）. 由点到直线的距离公式得，点P到直线y＝x的距离为. 1.〔多选〕下列函数求导运算正确的有（　　） A.（3x）'＝3xlog3e B.（log2x）'＝ C.＝x D.若f（x）＝，则f'（3）＝－ 解析：BCD　在A中（3x）'＝3xln 3，错误；由运算法则可知B、C、D均正确. 2.曲线y＝f（x）＝在点（，2）处的切线方程是（　　） A.y＝4x B.y＝－4x＋4 C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4 解析：B　f'（x）＝（）'＝－x－2，则切线的斜率k＝f'（）＝－（）－2＝－4，故切线方程为y－2＝－4（x－），即y＝－4x＋4.故选B. 3.已知函数f1（x）＝sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），则f2 025＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：C　f1（x）＝sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），故f2（x）＝cos x，f3（x）＝－sin x，f4（x）＝－cos x，f5（x）＝sin x，周期为4，故f2 025（x）＝f1（x）＝sin x，f2 025＝sin ＝. 4.设函数f（x）＝logax，f'（1）＝－1，则a＝　　. 解析：∵f'（x）＝，∴f'（1）＝＝－1.∴ln a＝－1，即a＝. 5.求与曲线y＝f（x）＝在点P（8，4）处的切线垂直，且过点（4，8）的直线方程. 解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝（）'＝（）'＝， 所以f'（8）＝×＝，即曲线在点P（8，4）处的切线的斜率为，所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3（x－4），即3x＋y－20＝0. 1.已知f（x）＝，则f'（16）＝（　　） A.－　　　　　　　　B. C.－4 D.4 解析：B　∵f'（x）＝，∴f'（16）＝＝. 2.已知函数f（x）＝t2，g（x）＝cos x，则（　　） A.f'（x）＝0，g'（x）＝－sin x B.f'（x）＝2t，g'（x）＝－sin x C.f'（x）＝0，g'（x）＝sin x D.f'（x）＝2t，g'（x）＝sin x 解析：A　由题意，f'（x）＝0，g'（x）＝－sin x，故选A. 3.曲线y＝f（x）＝sin x在点A（π，f（π））处的切线斜率等于（　　） A.－1 B.0 C. D.1 解析：A　f'（x）＝cos x，f'（π）＝－1，根据导数的几何意义可知，曲线在点A处的切线斜率等于－1.故选A. 4.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的瞬时速度为（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵s'＝，∴当t＝4时，s'＝×＝ . 5.函数y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（　　） A.e2 B.2e2 C.e2 D. 解析：D　因为当x＝2时，y'＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2（x－2）.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成三角形的面积为×｜－e2｜×1＝. 6.〔多选〕设b为实数，则直线y＝2x＋b能作为下列函数图象的切线的有（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝x4 C.f（x）＝ex D.f（x）＝sin x 解析：BC　对于A，f'（x）＝－＜0，故无论x取何值，f'（x）不可能等于2，故A错误；对于B，f'（x）＝4x3，令f'（x）＝4x3＝2，解得x＝，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于C，f'（x）＝ex，令ex＝2，解得x＝ln 2，所以直线y＝2x＋b能作为该函数图象的切线；对于D，f'（x）＝cos x∈[－1，1]，故无论x取何值，f'（x）不可能等于2，故D错误.故选B、C. 7.若曲线y＝sin x在x＝0处的切线与ax－y＝0平行，则a的值为　1　. 解析：由y＝sin x得y'＝cos x，则k＝cos 0＝1，又ax－y＝0，即y＝ax与曲线y＝sin x在x＝0处的切线平行，则a＝1. 8.曲线y＝f（x）＝ln x在点M（e，1）处的切线的斜率是　　，切线方程为　x－ey＝0　. 解析：∵f'（x）＝（ln x）'＝，∴f'（e）＝.∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0. 9.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是　（e，1）　. 解析：因为y＝ln x，所以y'＝（x＞0），设A（x0，ln x0），则在点A处的切线方程为y－ln x0＝（x－x0），化简为y＝x＋ln x0－1，因为切线过点（－e，－1），所以－1＝（－e）＋ln x0－1，所以ln x0－＝0，所以x0＝e时方程成立，又因为y＝ln x－（x＞0）递增，所以方程有唯一解x0＝e，A（e，1）. 10.过点P（－1，0）作直线l与曲线C1：y＝和曲线C2：y＝x2＋x＋c都相切，求c的值. 解：设直线l与曲线C1：y＝相切于点M（x0，y0），则＝，又y0＝，解得x0＝1，y0＝1，所以切点为（1，1），切线l的方程为y＝（x＋1），因为直线l与曲线C2：y＝x2＋x＋c相切，所以由方程组消元整理得x2＋x＋c－＝0，所以判别式Δ＝－4＝0，所以c＝. 11.〔多选〕已知函数f（x）的导数为f'（x），若存在x0，使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”.下列函数中有“巧值点”的是（　　） A.f（x）＝x2 B.f（x）＝ C.f（x）＝ln x D.f（x）＝（）x 解析：ABC　对于A，f'（x）＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f'（x）＝－， 令＝－，得x＝－1，有“巧值点”；对于C，f'（x）＝，令ln x＝，作出y＝ln x与y＝的图象，如图，结合y＝ln x，y＝的图象知方程ln x＝有解，有“巧值点”；对于D，f'（x）＝－e－x，令（）x＝e－x＝－e－x，无解，无“巧值点”.故选A、B、C. 12.已知函数f（x）＝过原点O（0，0）作曲线y＝f（x）的切线，其切线方程为　x－ey＝0　. 解析：当x≤0时，函数f（x）＝ex，可得f'（x）＝ex，设切点为P（x0，y0），则f'（x0）＝，所以切线方程为y－＝（x－x0）.因为切线过原点O（0，0），可得－＝－x0，解得x0＝1，不符合题意，舍去；当x＞0时，函数f（x）＝ln x，可得f'（x）＝，设切点为Q（x1，y1），则f'（x1）＝，所以切线方程为y－ln x1＝（x－x1）.因为切点过原点O（0，0），可得ln x1＝1，解得x1＝e，此时切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0.综上，切线方程为x－ey＝0. 13.已知曲线方程为y＝f（x）＝x2，求过点B（3，5）且与曲线相切的直线方程. 解：设切点P的坐标为（x0，）. ∵y＝x2，∴y'＝2x， ∴k＝2x0， ∴切线方程为y－＝2x0（x－x0）. 将点B（3，5）代入上式，得5－＝2x0（3－x0）， 即－6x0＋5＝0， ∴（x0－1）（x0－5）＝0， ∴x0＝1或x0＝5， ∴切点坐标为（1，1）或（5，25）， 故所求切线方程为y－1＝2（x－1）或y－25＝10（x－5）， 即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 14.〔多选〕若直线l为曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线，则直线l的斜率为（　　） A.0 B.2 C. D. 解析：AD　曲线C1：y＝x2，则y'＝2x，曲线C2：y＝x3，则y'＝3x2，设直线l与曲线C1的切点坐标为（a，a2），则切线方程为y＝2ax－a2，设直线l与曲线C2的切点坐标为（m，m3），则切线方程为y＝3m2x－2m3，∴2a＝3m2，a2＝2m3，∴m＝0或m＝，∴直线l的斜率为0或.故选A、D. 15.求证：曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数. 证明：由xy＝1，得y＝，所以y'＝－. 在曲线xy＝1上任取一点P， 则过点P的切线的斜率k＝－， 切线方程为y－＝－（x－x0）， 即y＝－x＋. 设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则A（2x0，0），B. 故S△OAB＝｜OA｜·｜OB｜＝·｜2x0｜·＝2. 所以曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $