6.1.4 第1课时 函数和、差、积、商的求导法则(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第一课时　函数和、差、积、商的求导法则

课标要求

高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x＋x很难运用定义求导数.

【问题】　是否有更简便的求导数的方法呢？

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　函数和、差、积、商的求导法则

1.条件：f（x），g（x）是可导的.

2.结论：（1）[f（x）±g（x）]'＝　f'（x）±g'（x）　；

（2）[f（x）g（x）]'＝　f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　；

（3）＝　（g（x）≠0）　.

【想一想】

1.若f（x），g（x）都是可导函数，且f（x）≠0，那么下列关系式成立吗？

（1）[af（x）＋bg（x）]'＝af'（x）＋bg'（x）（a，b为常数）；

（2）'＝－.

提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都成立.

2.两个函数可导，它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必可导吗？

提示：两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为零）必可导.

3.若两个函数不可导，它们的和、差、积、商不可导吗？

提示：若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

1.函数y＝sin x·cos x的导数是（　　）

A.y'＝cos 2x＋sin 2x　　　B.y'＝cos 2x

C.y'＝2cos x·sin x D.y'＝cos x·sin x

解析：B　y'＝（sin x·cos x）'＝（sin x）'cos x＋sin x（cos x）'＝cos2x－sin2x＝cos 2x.

2.已知函数f（x）＝xln x－x2在定义域内可导，则＝（　　）

A.2 B.1

C.－1 D.－2

解析：B　由导数的定义可知，＝－＝－f'（1），又f'（x）＝1＋ln x－2x，所以f'（1）＝1＋ln 1－2＝－1，所以＝1.故选B.

3.函数f（x）＝x＋在x＝1处的导数是　0　.

解析：因为f'（x）＝＝x'＋＝1－，

所以f'（1）＝1－1＝0.

题型一｜利用导数四则运算法则求导

【例1】　求下列函数的导数：

（1）y＝x2＋log3x；

解： （1）y'＝（x2＋log3x）'＝（x2）'＋（log3x）'

＝2x＋.

（2）y＝x3·ex；

解：（2）y'＝（x3·ex）'＝（x3）'·ex＋x3·（ex）'

＝3x2·ex＋x3·ex＝ex（x3＋3x2）.

（3）y＝.

解：（3）y'＝'＝

＝

＝－.

通性通法

提醒：求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.

【跟踪训练】

　求下列函数的导数.

（1）y＝－3x2－5x＋6；

解：（1）因为y＝－3x2－5x＋6，

所以y'＝（－3x2）'－（5x）'＋（6）'＝－6x－5.

（2）y＝x·sin x；

解：（2）因为y＝x·sin x，

所以y'＝（x）'·sin x＋x·（sin x）'＝sin x＋xcos x.

（3）y＝.