6.3 利用导数解决实际问题(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“利用导数解决实际问题”核心知识点，系统梳理几何最值（如容器容积）、用料费用（如输油管道）、利润最大（如商场销售）等问题的求解方法，构建从导数应用原理到实际问题建模的学习支架。 通过真实情境问题（如正方形铁板截角做容器、输油管道增压站费用计算）引导学生用数学眼光观察现实，通过建立函数模型和求导推理发展数学思维，结合通性通法总结与跟踪训练提升数学语言表达能力。课中辅助教师引导建模，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

6.3　利用导数解决实际问题 课标要求 能够利用导数解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 题型一｜几何中的最值问题 【例1】　有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？ 解：设截下的小正方形边长为x，容器容积为V（x），则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x， V（x）＝（a－2x）2x，0＜x＜. 即V（x）＝4x3－4ax2＋a2x，0＜x＜. 实际问题归结为求V（x）在区间上的最大值点.为此，先求V（x）的极值点. 在开区间内， V'（x）＝12x2－8ax＋a2. 令V'（x）＝0，得12x2－8ax＋a2＝0. 解得x1＝a，x2＝a（舍去）. 当0＜x＜x1时，V'（x）＞0； 当x1＜x＜时，V'（x）＜0. 因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以x＝a是V（x）的最大值点. 即当截下的小正方形边长为a时，容积最大. 通性通法 1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）； （2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0； （3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为最大（小）值； （4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论. 2.几何中最值问题的求解思路 面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验. 【跟踪训练】 　如图，在半径为4 m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB＝x m，圆柱的体积为V m3. （1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域； （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？ 解：（1）在Rt△OAB中，因为AB＝x m，所以OA＝ m. 设圆柱的底面半径为r，则＝2πr，即16－x2＝4π2r2， 所以V＝πr2x＝，定义域为{x｜0＜x＜4}. （2）由（1）得V＝πr2x＝，0＜x＜4， V'（x）＝， 令V'（x）＝0，则＝0，解得x＝， 当0＜x＜时，V'（x）＞0，当＜x＜4时，V'（x）＜0， 所以V（x）在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减. 当x＝时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是V（）＝＝ m3. 题型二｜用料、费用最少问题 【例2】　某地需要修建一条大型输油管道，其通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为（x2＋x）万元.设余下工程的总费用为y万元. （1）试将y表示成关于x的函数； 解：（1）依题意可知余下工程有段管道，有个增压站，故余下工程的总费用为y＝（x2＋x）·＋400·＝120x＋－280， 所以将y表示成关于x的函数为y＝120x＋－280（0＜x＜120）. （2）需要修建多少个增压站才能使总费用y最小？ 解：（2）由（1）知y＝120x＋－280（0＜x＜120），有y'＝120－，令y'＝0，解得x＝20， y，y'随x的变化情况如表： x （0，20） 20 （20，120） y' － 0 ＋ y 单调递减 极小值 单调递增 由表易知，函数y在x＝20时取得最小值，此时－1＝5，故需要修建5个增压站才能使总费用y最小. 通性通法 　　用料、费用最少问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. 【跟踪训练】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋）x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩在桥面距离计算中都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元. （1）试写出y关于x的函数关系式； （2）当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 解：（1）设需要新建n个桥墩，则（n＋1）x＝m，即n＝－1，所以y＝f（x）＝256n＋（n＋1）（2＋）x＝256＋（2＋）x＝＋m＋2m－256（0＜x≤m）. （2）对（1）中函数f（x）求导得，f'（x）＝－＋m＝（－512）＝（－512）（0＜x≤640）. 令f'（x）＝0，解得＝512，即x＝64. 当0＜x＜64时，f'（x）＜0，f（x）在区间（0，64）上为减函数； 当64＜x≤640时，f'（x）＞0，f（x）在区间（64，640]上为增函数. 所以f（x）在x＝64时取得极小值，也是最小值，此时n＝－1＝－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y最小. 题型三｜利润最大问题 【例3】　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2.其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a的值； 解：（1）因为x＝5时，y＝11， 所以＋10＝11，解得a＝2. （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 解：（2）由（1）可知，该商品每日的销售量 y＝＋10（x－6）2， 设商场每日销售该商品所获得的利润为f（x），则 f（x）＝（x－3）＝2＋10（x－3）·（x－6）2，3＜x＜6. 从而f'（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）] ＝30（x－4）（x－6）. 令f'（x）＝0，解得x＝4或x＝6（舍去）. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （3，4） 4 （4，6） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点.所以当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 通性通法 1.经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. 2.关于利润问题常用的两个等量关系 （1）利润＝收入－成本； （2）利润＝每件产品的利润×销售件数. 【跟踪训练】 　某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是p＝（x∈N＋）. （1）写出该厂的日盈利额T（元）用日产量x（件）表示的函数关系式； 解：（1）由题意可知，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x（1－p）. 因为次品率p＝，当每天生产x件时， 有x·件次品，有x件正品. 所以T＝200x－100x· ＝25·（x∈N＋）. （2）为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解：（2）T'＝－25·， 由T'＝0得x＝16或x＝－32（舍去）. 当0＜x＜16时，T'＞0；当x＞16时，T'＜0；所以当x＝16时，T取极大值且为最大值.即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利. 1.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（　　） A.10　　　　　　　　　B.15 C.25 D.50 解析：C　如图，设PN＝x，PQ＝2y，则x2＋y2＝25，S＝2xy，S2＝4x2y2＝4x2（25－x2）＝100x2－4x4，设t＝x2，则S2＝100t－4t2，（S2）'＝100－8t.知当t＝时，S2的最大值＝252，即S的最大值为25. 2.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支出）（　　） A.30 元 B.60 元 C.28 000 元 D.23 000 元 解析：D　设毛利润为L（p），由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p＝30或p＝－130（舍去）.此时，L（30）＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L'（p）＞0，右侧L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元. 3.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k的值及f（x）的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值. 解：（1）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝，再由C（0）＝8，得k＝40， 因此C（x）＝. 而建造费用为C1（x）＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x ＝＋6x（0≤x≤10）. （2）f'（x）＝6－， 令f'（x）＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－（舍去）. 当0＜x＜5时，f'（x）＜0，当5＜x＜10时，f'（x）＞0， 故x＝5是f（x）的极小值点，同时为最小值点，对应的最小值为f（5）＝6×5＋＝70. 所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元. 1.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（　　） A.13万件　　　　　　B.11万件 C.9万件 D.7万件 解析：C　y'＝－x2＋81，令y'＝0，解得x＝9或x＝－9（舍去），当0＜x＜9时，y'＞0；当x＞9时，y'＜0. 所以当x＝9时，y取得极大值同时为最大值. 2.做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（　　） A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m 解析：C　设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4xh＋x2＝4x·＋x2＝＋x2，S'＝2x－，令S'＝0，得x＝8，因此h＝＝4（m）. 3.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“知名品牌”A系列进行市场销售量调研，通过对该系列的调研得知，A系列每日的销售量f（x）（单位：千克）与销售价格x（单位：百元/千克）近似满足关系式f（x）＝＋2（x－7）2，其中4＜x＜7，a为常数.已知销售价格为6百元/千克时，每日可售出A系列3千克.若A系列的成本为4百元/千克，则该商场每日销售A系列所获最大利润（单位：百元）为（　　） A.10 B.12 C.14 D.16 解析：A　由题意f（6）＝3，即3＝＋2，故a＝2，利润y＝f（x）（x－4）＝2＋2（x－7）2（x－4），y'＝2[（2x－14）（x－4）＋（x－7）2]＝6（x－7）（x－5），则y在（4，5）上单调递增，在（5，7）上单调递减，故ymax＝2＋2×4＝10（百元），故选A. 4.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）和圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱的高的比为1∶3，则该模型的体积最大值为（　　） A.40π B.80π C.160π D.180π 解析：C　设圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，底面圆半径为r＝，则该模型的体积V＝πr2·3h＋πr2·h＝h（36－h2）π.令f（x）＝－x3＋36x，则f'（x）＝－3x2＋36，由f'（x）＝0得x＝±2，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，当x＞2时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，当h＝2时，Vmax＝160π，故选C. 5.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，要使航行每千米的总费用和最小，则此轮船的速度为（　　） A.25 km/h B.20 km/h C.15 km/h D.30 km/h 解析：B　因为轮船航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，可设比例系数为k（k＞0），则6＝k·103，求得k＝，所以航行每千米的总费用为y＝·，利用导数可求得当y取最小值时v＝20. 6.某工厂生产某种产品，已知该产品每吨的价格P（元/吨）与产量x（吨）之间的关系式为P＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x（元），为使利润最大，则产量应为（　　） A.200吨 B.20吨 C.150吨 D.100吨 解析：A　利润L＝P·x－R＝x－50 000－200x＝－x3＋24 000x－50 000（x＞0），L'＝－x2＋24 000，令L'＝0，得x2＝40 000.所以x＝200.经检验，当x＝200时利润最大. 7.某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为　　. 解析：设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2＋h（0＜h＜2），则r2＋（）2＝1，r2＝1－，∴中空圆柱的体积V＝πr2（2＋h）＝π（1－）（2＋h）.V'＝－π（h2＋h－1），可得当h∈（0，）时，V'＞0，当h∈（，2）时，V'＜0，则当h＝时，V取得最大值π，又毛坯的体积为π×12×2＋π×13＝，∴该模具体积的最小值为－π＝. 8.某厂生产某种产品x件的总成本C（x）＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为　25　件. 解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝502×100＝250 000，所以a＝.总利润y＝500－x3－1 200（x＞0），y'＝－x2，由y'＝0，得x＝25，x∈（0，25）时，y'＞0，x∈（25，＋∞）时，y'＜0，所以x＝25时，y取极大值且为最大值. 9.某游泳馆计划对泳池进行检修.已知泳池深度为2 m，其容积为2 500 m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的一侧较短池壁长度为x，且据估计两侧较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为k（k＞0），较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时，x的值为　25　. 解析：由题可知池底面积为＝1 250为定值，即池底维修费用为定值，则泳池维修费用由池壁维修费用决定.又x表示一侧较短池壁长，则0＜x＜⇒0＜x＜25，则池壁维修费用表达式为2×x＋.设f（x）＝x＋，0＜x＜25，则f'（x）＝－＝，令f'（x）＝0⇒x＝25，则f'（x）＞0⇒25＜x＜25，f'（x）＜0⇒0＜x＜25，得f（x）在（0，25）上单调递减，在（25，25）上单调递增，即f（x）min＝f（25）. 10.统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）与行驶速度x（千米/小时）之间的关系为y＝x3－x＋8（0＜x＜120）. （1）当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ （2）若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解：（1）当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝（小时），要耗油（ ×643－×64＋8）×＝11.95（升）. （2）设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得， ×＝22.5， ∴a＝， 设h（x）＝x2＋－， 则当h（x）最小时，a取最大值， h'（x）＝x－＝， 令h'（x）＝0，解得x＝80， 当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减； 当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增， ∴当x＝80时，h（x）取得极小值同时为最小值， 此时a取最大值为a＝＝200. 故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米. 11.如图1，将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的部分折成一个正四棱锥P-EFGH，使E与E1重合，F与F1重合，G与G1重合，H与H1重合，点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P-EFGH体积的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：D　根据题意，PG是侧棱，底面EFGH的对角线的一半是GC，设GC＝x，则有PG2＝（10－x）2＋102，OF＝OG＝x，设四棱锥的高为h，则h2＝PG2－OG2＝200－20x，底面正方形EFGH的面积S＝4×S△OFG＝2x2，∴ 正四棱锥P-EFGH的体积V＝x2 .令t＝，则x＝，0≤t2＜200，则V＝（）2t，V'＝（t2－200）（5t2－200），当40＜t2＜200时，V'＜0，V单调递减；当0≤t2＜40 时，V单调递增，∴当t2＝40 时，V取最大值，∴Vmax＝（）2× ＝.故选D. 12.某银行贷款年利率为r（r＞0），按月计息利率为，小王计划向银行贷款p元，已知贷款利息按复利计算（即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息），设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额（本金、利息之和）分别为a，b，则a，b的大小关系是　a＜b　. 解析：按年计息：a＝p（1＋r）（r＞0），按月计息：b＝p（r＞0），则a－b＝p（1＋r）－p＝p.令f（r）＝p［（1＋r）－］（r＞0），f'（r）＝p＜0，所以f（r）＜f（0）＝0，故a＜b. 13.工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为p＝（c为常数，且0＜c＜6）.已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元. （1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝×100%） 解：（1）当x＞c时，p＝，y＝·x·3－·x·＝0； 当0＜x≤c时，p＝， ∴y＝·x·3－·x·＝. ∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为 y＝（c为常数，且0＜c＜6）. （2）由（1）知，当x＞c时，日盈利额为0. 当0＜x≤c时，∵y＝， ∴y'＝·＝， 令y'＝0，得x＝3或x＝9（舍去）， ∴①当0＜c＜3时，y'＞0，∴y在区间（0，c]上单调递增，∴y最大值＝f（c）＝. ②当3≤c＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3，c）上，y'＜0， ∴y在（0，3）上单调递增，在（3，c）上单调递减. ∴y最大值＝f（3）＝. 综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大. 14.从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，AC＝8（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数f（x）＝k图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为　　. 解析：因为曲线AB是函数f（x）＝k（0≤x≤4）的图象，点B的坐标为（4，4），所以4＝k·，故k＝2，所以f（x）＝2（0≤x≤4）.设线段BC对应的函数解析式为y＝mx＋n（4≤x≤8），因为直线BC经过点（4，4），（8，0），所以m＝－1，n＝8，所以y＝－x＋8（4≤x≤8）.设AD＝t（0＜t＜4），则点E的坐标为（t，2），由2＝－x＋8可得x＝8－2，所以点F的坐标为（8－2，2），所以DC＝8－t，EF＝8－2－t，DE＝2，所以直角梯形CDEF的面积S＝（8－2－t＋8－t）·2＝－2－2t＋16（0＜t＜4），所以S'＝－3－2＋＝＝，令S'＝0，可得t＝，当0＜t＜时，S'＞0，函数S＝－2－2t＋16在（0，）上单调递增，当＜t＜4时，S'＜0，函数S＝－2－2t＋16在（，4）上单调递减，所以当t＝时，函数S＝－2－2t＋16取最大值，最大值为. 15.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S（单位：m2），∠AON＝θ（单位：弧度）. （1）将S表示为θ的函数； （2）当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积. 解：（1）BM＝AOsin θ＝100sin θ，AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈（0，π）. 则S＝MB·AB＝×100sin θ×（100＋100cos θ） ＝5 000（sin θ＋sin θcos θ），θ∈（0，π）. （2）S'＝5 000（2cos2θ＋cos θ－1） ＝5 000（2cos θ－1）（cos θ＋1）. 令S'＝0， 得cos θ＝或cos θ＝－1（舍去）， 此时θ＝. 当θ变化时，S'，S的变化情况如下表： θ S' ＋ 0 － S 单调递增 极大值 单调递减 所以，当θ＝时，S取得极大值且为最大值Smax＝3 750 m2，此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $