5.1.2 数列中的递推(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1.2　数列中的递推 课标要求 1.了解数列的递推公式，会用数列的递推公式求前几项（数学运算、数学抽象）. 2.理解数列的前n项和的定义，会利用数列的前n项和公式求通项an（数学运算）. 　　某剧场有30排座位，第一排有7个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位（如图）. 【问题】　（1）写出前五排座位数； （2）第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　数列的递推关系 　如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用　一个公式　来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）. 　　提醒：对数列递推公式的再理解：①并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式；②递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项；③递推公式通过赋值逐项求出数列的项. 1.符合递推关系式a1＝1，an＝an－1的数列是（　　） A.1，2，3，4，… B.1，，2，2，… C.，2，，2，… D.0，，2，2，… 解析：B　B中相邻的两项，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1. 2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是（　　） A.10 B.17 C.26 D.37 解析：C　 由题设有a2＝2，a3＝5，a4＝26.故选C. 3.如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键（　　） A.6n个 B.（4n＋2）个 C.（5n－1）个 D.（5n＋1）个 解析：D　由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有（5n＋1）个化学键.故选D. 4.已知数列{an}满足a1＝3，an＝an－1＋1（n≥2，n∈N＋），则a4＝　3　. 解析：因为a1＝3，an＝an－1＋1，n≥2，所以a2＝×3＋1＝3，a3＝×3＋1＝3，同理a4＝×3＋1＝3. 知识点二　数列的前n项和 1.定义：给定数列{an}，称Sn＝　a1＋a2＋a3＋…＋an　为数列{an}的前n项和. 2.数列的前n项和Sn与通项an的关系 （1）当　n＝1　时，a1＝S1； （2）当　n≥2且n∈N＋　时，an＝Sn－Sn－1. 综上所述：an＝ 　　提醒：应用数列前n项和公式的易错点：在应用数列的前n项和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1时的情况，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形. 　已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2＋n，则an＝　4n－1　. 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2（n－1）2－（n－1）＝4n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2×1＋1＝3＝4×1－1，满足上式，∴an＝4n－1（n∈N＋）. 题型一｜由递推公式求数列的项 【例1】　数列{an}中，a1＝1，a2＝3，－anan＋2＝（－1）n，求{an}的前5项. 解：由－anan＋2＝（－1）n，得an＋2＝，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109，∴数列{an}的前5项为1，3，10，33，109. 通性通法 由递推公式求数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； （2）若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式； （3）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 【跟踪训练】 　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N＋，求a2 026. 解：由题意得， a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1， ∴{an}是周期为4的数列， ∴a2 026＝a4×506＋2＝a2＝－3. 题型二｜由递推公式求通项公式 角度1　累加法求通项公式 【例2】　已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N＋，求数列的通项公式an. 解：∵an＋1－an＝， ∴a2－a1＝，a3－a2＝，a4－a3＝，…，an－an－1＝， 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－. ∵a1＝－1，∴an＋1＝1－， ∴an＝－（n≥2）. 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－. 角度2　累乘法求通项公式 【例3】　已知数列{an}中，a1＝4，（n＋1）an＋1＝（n＋2）·an，则an＝　2n＋2　. 解析：∵（n＋1）an＋1＝（n＋2）an，a1＝4，∴＝，即＝（n≥2），∴an＝···…··a1＝···…··4＝2n＋2. 通性通法 　　由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f（n）或an＋1＝g（n）·an，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即： （1）累加法：当an＝an－1＋f（n）时，常用an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1求通项公式； （2）累乘法：当＝g（n）时，常用an＝··…··a1求通项公式. 【跟踪训练】 1.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋lg（ 1＋），则a10＝（　　） A.4 B.3＋10lg 3 C.13 D.12＋2lg 3 解析：A　依题意，在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋lg（ 1＋），即an＋1－an＝lg＝lg（n＋1）－lg n，所以a10＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（a10－a9）＝3＋lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋…＋lg 10－lg 9＝3－lg 1＋lg 10＝3＋1＝4.故选A. 2.已知数列{an}中a1＝，an＝an－1（n≥2），求数列{an}的通项公式. 解：因为an＝an－1（n≥2）， 所以当n≥2时，＝， 所以＝，＝，…，＝，＝， 以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··， 即＝××2×1，又a1＝，所以an＝. 当n＝1时，a1＝＝，与已知a1＝相符， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 题型三｜根据数列的前n项和公式求通项 【例4】　已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式. （1）Sn＝2n2－3n； 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n－1）]＝4n－5， 由于a1也适合此式， 所以an＝4n－5. （2）Sn＝3n＋b. 解：（2）当n＝1时，a1＝S1＝3＋b； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋b）－（3n－1＋b）＝2·3n－1. 当b＝－1时，a1适合此式. 当b≠－1时，a1不适合此式. 所以当b＝－1时，an＝2·3n－1； 当b≠－1时，an＝ 【母题探究】 　（变条件）本例条件变为“Sn＝且a4＝54”问题不变. 解：因为a4＝S4－S3＝－＝（81－27）＝27a1＝54，所以a1＝2，所以Sn＝3n－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－（3n－1－1）＝2×3n－1. 而2×31－1＝2＝a1， 故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1. 通性通法 已知Sn求an的步骤 （1）先利用a1＝S1求出a1； （2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式； （3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式.如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写. 【跟踪训练】 　 已知数列{an}的前n项和为Sn. （1）若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n－1（n∈N＋）.求数列{an}的通项公式； （2）若Sn＝3n＋2n＋1，求an. 解：（1）数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－1－[（n－1）2＋（n－1）－1]＝2n， 而a1＝S1＝1，不满足上式， 所以数列{an}的通项公式是an＝ （2）因为当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2n＋1）－[3n－1＋2（n－1）＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式， 所以an＝ 题型四｜数列的最大（小）项问题 【例5】　已知数列{an}的通项公式是an＝·，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解：法一　an＋1－an＝（n＋2）－（n＋1）·＝， 当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an. 则a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×. 法二　根据题意，令（n＞1）， 即（n＞1）， 解得9≤n≤10. 又n∈N＋，则n＝9或n＝10. 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×. 通性通法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}这一条件. 2.可以利用不等式组（n＞1）找到数列的最大项；利用不等式组（n＞1）找到数列的最小项. 【跟踪训练】 　已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为　3，－1　. 解析：an＝＝＝1＋，当n≥11时，＞0，且单调递减；当1≤n≤10时，＜0，且单调递减.因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，a11＝3，a10＝－1. 1.在数列{an}中，an＋1＝2an＋，a1＝1，则a3＝（　　） A.8 B.11 C.18 D.19 解析：D　由an＋1＝2an＋，a1＝1，得a2＝2＋6＝8，a3＝16＋3＝19.故选D. 2.数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52，则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝. 3.已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝1＋，且a5＝0，则a的值为（　　） A.－ B.－ C.－ D.－ 解析：D　由a5＝0倒推可求得a4＝－1，再求a3＝－，a2＝－，从而可得a1＝－. 4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则a4＝　15　. 解析：因为Sn＝n2＋2n，所以S4＝42＋24＝32，S3＝32＋23＝17，所以a4＝S4－S3＝15. 5.设{an}是首项为1的正项数列，且（n＋1）－n＋anan＋1＝0（n＝1，2，3，…），则通项公式an＝　　. 解析：由（n＋1）－n＋anan＋1＝[（n＋1）an＋1－nan]·（an＋1＋an）＝0，可得＝，将＝，＝，…，＝，叠乘可得an＝. 1.已知数列{an}满足an＋1＝（－1）nan＋1，且a2＝1，则a6＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：C　 由a2＝1，则a3＝（－1）2a2＋1＝2，a4＝（－1）3a3＋1＝－1，a5＝（－1）4a4＋1＝0，a6＝（－1）5a5＋1＝1.故选C. 2.设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2，则a8＝（　　） A.15 B.14 C.13 D.12 解析：A　a8＝S8－S7＝82－72＝64－49＝15. 3.若数列{an}满足an＋1＝（n∈N＋），且a1＝1，则a17＝（　　） A.13 B.14 C.15 D.16 解析：A　由an＋1＝得an＋1－an＝，a17＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（a17－a16）＝1＋×16＝13，故选A. 4.已知数列{an}满足a1＝9，且an＋1＝则a4＝（　　） A.1 B.3 C.7 D.9 解析：B　由题意a2＝＝3，a3＝＝1，a4＝2a3＋1＝3.故选B. 5.〔多选〕数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是（　　 ） A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 解析：BC　an＝－n2＋11n＝－＋， ∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值.故选B、C. 6.〔多选〕若数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列{an}中的项的值可能为（　　） A. B. C. D. 解析：ABC　数列{an}满足an＋1＝a1＝，依次取n＝1，2，3，4，…，代入计算得，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，…，继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为，，，.故选A、B、C. 7.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋an＋1＋an＋2＝6，则a10＝　1　. 解析：由an＋an＋1＋an＋2＝6可得an＋1＋an＋2＋an＋3＝6，两式相减得an＋3＝an，由此可得a10＝a7＝a4＝a1＝1. 8.已知数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，－＝1，则an＝　2n－1　. 解析：当n≥2时，an－an－1＝2，则an－1－an－2＝2，…，a2－a1＝2，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2（n－1）＋1＝2n－1，又a1＝1符合上式，因此an＝2n－1. 9.如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N＋）的前12项，如表所示. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 … x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 … 按如此规律下去，a2 023＋a2 024＋a2 025＝　1 012　. 解析：将数列{an}的奇数项、偶数项分开看，奇数项为1，－1，2，－2，…，发现a2n－1＋a2n＋1＝0，∴a2 023＋a2 025＝a2×1 012－1＋a2×1 012＋1＝0；偶数项为1，2，3，…，∴a2n＝n，当2n＝2 024时，a2 024＝1 012，∴a2 023＋a2 024＋a2 025＝1 012. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n. （1）求an； （2）若它的第k项满足5＜ak＜8，求k的值. 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1－9＝－8； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[（n－1）2－9（n－1）]＝2n－10. 注意到n＝1时也满足a1＝2×1－10＝－8， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－10. （2）因为5＜ak＜8，即5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9. 又k∈N＋，所以k＝8. 11.〔多选〕已知数列{bn}满足b1＝2，bn－bnbn＋1＝1，记数列{bn}的前n项积为Sn，前n项和为Tn，则（　　） A.b2 025＝－1 B.T6n＋1－T6n＝－1 C.＝1（n≥4） D.T2 025S2 025＝－ 解析：AD　已知数列{bn}满足b1＝2，bn－bnbn＋1＝1，则b2＝1－＝，b3＝1－＝－1，b4＝1－＝2＝b1，所以数列{bn}是以3为周期的周期数列.对于A，b2 025＝b3＝－1，A正确；对于B，T6n＋1－T6n＝b6n＋1＝b1＝2，B错误；对于C，任意相邻三项均在一个周期内，则＝bn－2bn－1bn＝2××（－1）＝－1，C错误；对于D，T2 025＝×（ 2＋－1）＝，S2 025＝＝－1，所以T2 025S2 025＝－，D正确.故选A、D. 12.已知数列{an}中，a1＝2，nan＋1＝（n＋1）an＋1，若对于任意的n∈N＋，不等式＜2t2－1恒成立，则实数t的取值范围为　∪　. 解析：由题意数列{an}中，nan＋1＝（n＋1）an＋1，即nan＋1－（n＋1）an＝1，则有－＝＝－，则有＝＋＋（ －）＋…＋＋a1＝＋＋＋…＋＋2＝3－＜3，又对于任意的n∈N＋，不等式＜2t2－1恒成立，即3≤2t2－1恒成立，解得t≤－或t≥. 13.已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an（n≥2），且an≠0，求数列{an}的通项公式. 解：∵anan－1＝an－1－an，且an≠0， ∴当n≥2时，－＝1. ∴＝＋＋＋…＋ ＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1. ∴＝n＋1，∴an＝（n≥2）. 又∵n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝. 14.〔多选〕数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是（　　） A.S5＝F7－1 B.S5＝S6－1 C.S2 023＝F2 025－1 D.S2 023＝F2 024－1 解析：AC　根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2（n≥3），所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 023＝F2 025－1.故选A、C. 15.已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝（a为常数）. （1）若对于任意的x1≠－1，都有xn＋2＝xn（n∈N＋）成立，求a的值； （2）当a＝1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由. 解：（1）∵xn＋2＝＝＝＝xn， ∴a2xn＝（a＋1）＋xn，即（a2－1）xn＝（a＋1）. 令n＝1，得（a2－1）x1＝（a＋1）， 要使该式对任意的x1≠－1都成立， 则有解得a＝－1. （2）数列{xn}是递减数列. 理由如下：∵x1＞0，xn＋1＝， ∴xn＞0. 又∵xn＋1－xn＝－xn＝－＜0， ∴数列{xn}是递减数列. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $