5.1.2 数列中的递推(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1.2　数列中的递推

课标要求

　　某剧场有30排座位，第一排有7个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位（如图）.

【问题】　（1）写出前五排座位数；

（2）第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　数列的递推关系

　如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用　一个公式　来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）.

　　提醒：对数列递推公式的再理解：①并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式；②递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项；③递推公式通过赋值逐项求出数列的项.

1.符合递推关系式a1＝1，an＝an－1的数列是（　　）

A.1，2，3，4，… B.1，，2，2，…

C.，2，，2，… D.0，，2，2，…

解析：B　B中相邻的两项，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.

2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是（　　）

A.10 B.17

C.26 D.37

解析：C　 由题设有a2＝2，a3＝5，a4＝26.故选C.

3.如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键（　　）

A.6n个 B.（4n＋2）个

C.（5n－1）个 D.（5n＋1）个

解析：D　由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有（5n＋1）个化学键.故选D.

4.已知数列{an}满足a1＝3，an＝an－1＋1（n≥2，n∈N＋），则a4＝　3　.

解析：因为a1＝3，an＝an－1＋1，n≥2，所以a2＝×3＋1＝3，a3＝×3＋1＝3，同理a4＝×3＋1＝3.

知识点二　数列的前n项和

1.定义：给定数列{an}，称Sn＝　a1＋a2＋a3＋…＋an　为数列{an}的前n项和.

2.数列的前n项和Sn与通项an的关系

（1）当　n＝1　时，a1＝S1；

（2）当　n≥2且n∈N＋　时，an＝Sn－Sn－1.

综上所述：an＝

　　提醒：应用数列前n项和公式的易错点：在应用数列的前n项和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1时的情况，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.

　已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2＋n，则an＝　4n－1　.

解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2（n－1）2－（n－1）＝4n－1.当n＝1时，a1＝S1＝2×1＋1＝3＝4×1－1，满足上式，∴an＝4n－1（n∈N＋）.

题型一｜由递推公式求数列的项

【例1】　数列{an}中，a1＝1，a2＝3，－anan＋2＝（－1）n，求{an}的前5项.

解：由－anan＋2＝（－1）n，得an＋2＝，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109，∴数列{an}的前5项为1，3，10，33，109.

通性通法

由递推公式求数列的项的方法

（1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；

（2）若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；

（3）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.

【跟踪训练】

　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N＋，求a2 026.

解：由题意得，

a2＝＝＝－3，

a3＝＝＝－，

a4＝＝＝，

a5＝＝＝2＝a1，

∴{an}是周期为4的数列，