5.1.2数列中的递推讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

5.1.2数列中的递推 一、知识点 1.数列的递推公式 如果已知数列的首项（或前几项），且相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系，（也称为递推公式或递归公式） 一般来说，根据数列的首项（或前几项）以及数列的递推关系，可以求出这个数列中的每一项. 2.数列的前项和 一般地，给定数列，称为数列的前项和. 一般地，如果数列的前一项和为，那么当，有，，所以，因此. 二、题型训练 1.由数列的递推关系求数列的项 例1.已知数列满足，若，则（     ） A. B. C. D. 例2.数列满足，则（    ） A. B. C. D. 练习： 1.在数列中，对所有的正整数都成立，且，则（ ） A. B. C. D. 2.已知数列满足，，若数列是常数列，则（ ） A. B. C. D. 3.在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4.已知数列，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知数列中，对成立，且，则_______. 6.已知数列的首项，，则_______；猜想其通项公式是__________. 7.已知首项为的数列满足（为常数）. （1）若对任意的，都有成立，求的值. （2）当时，若，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由. 8.已知数列的各项均为正数，若对任意的正整数，总有，且，则（ ） A. B. C. D. 9.已知数列满足，，则（     ） A. B. C. D. 10.数列满足，若，则______． 11.已知数列的首项为，递推公式为，________. 12.已知数列为，若关于的图象是一条抛物线上的孤立的点，且，，，则_______． 13.已知数列满足，，则_______. 14.已知数列满足：（为正整数），，若，求所有可能的取值． 2.求数列的递推关系式 例3.数列，，，，，的递推公式可以是（     ） A. B. C. D. 练习： 1.数列，，，，的第项与第项的关系是（    ） A. B. C. D. 2.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 3.数列的周期性及其应用 例4.已知数列满足：且，则______． 例5.已知数列满足，且，则该数列前项的和为（     ） A. B. C. D. 练习： 1.在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3.函数定义如下表：数列满足，且对任意自然数均有，则等于（ ） A. B. C. D. 4.已知数列满足，，则（    ） A. B. C. D. 5.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： ，，，，，，，，，，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A. B. C. D. 6.已知数列满足，，则数列的前项和为（     ） A. B. C. D. 7.已知数列的前项和为，，，则（   ） A. B. C. D. 4.累加法求数列的通项公式 例6.在数列中，，，则的通项公式为________． 例7.已知数列满足，，求. 练习： 1.在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2.在数列中，，且，则_______． 3.已知数列满足，，则________. 4.在数列中，，，则等于（     ） A. B. C. D. 5.已知数列满足：，，则（     ） A. B. C. D. 5.累乘法求数列的通项公式 例8.已知数列满足：且，则数列的通项公式为________． 例9.若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A. B. C. D. 练习： 1.已知数列满足，，则________. 2.在数列中，，，，则（     ） A. B. C. D. 6.已知求数列的通项公式 例10.已知为数列的前项和，，则（     ） A. B. C. D. 例11.已已知数列的前项和为，且，，则________. 例12.已知数列的前项和为，且满足，则数列的通项公式为______． 练习： 1.已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 2.设为数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 3.已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 4.已知数列，是它的前项和，，则______. 5.已知数列的前项和为，且，则_______. 6.若数列的前项和为，且，则______. 7.已知数列满足，则_______. 8.已知数列的前项和为，且，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9.若数列满足，则_______. 10.已知数列的前项和，则（    ） A. B. C. D. 11.设为数列的前项和，若，则数列的通项公式______. 12.已知是数列的前项和，，，则_______. 13.已知各项均不为的数列的前项和为，若，则（     ） A. B. C. D. 14.设为数列的前项和，且，则（     ） A. B. C. D. 15.已知数列的前项和，若，恒成立，则实数的最大值是______. 16.已知数列满足． （1）求，和； （2）证明：数列为单调递增数列． 17.已知数列的前项和为，且满足，． （1）求，的值； （2）试猜想的通项公式，并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $5.1.2数列中的递推 一、知识点 1.数列的递推公式 如果已知数列的首项（或前几项），且相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表 示，则称这个公式为数列的递推关系，（也称为递推公式或递归公式） 一般来说，根据数列的首项（或前几项）以及数列的递推关系，可以求出这个数列中的每 项 2.数列的前n项和 一般地，给定数列{an},称Sn=a+a+a++an为数列{an}的前n项和. -般地，如果数列{an}的前一项和为Sn,那么当n≥2，有Sn1=a1+a2+a+…+an1, S,n=1 Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,所以Sn=Sn1+an,因此an= Sn-Sn,n≥2 二、题型训练 1.由数列的递推关系求数列的项 例1已知黄列a满足a,-+a≥2neN,若a-子则a=() a 2 B. C.1 D.2 【答案】C 【解析】 因为a=。+a≥2meN)1a- an-1 号=上+1，解得4，=2，则4，=+1，即2=+1，解得a=1 所以2a a a 故选：C 3an+1,an为奇数 2数列0，}满足4=5，a*1了0，an为偶数 则a4=() A.1 B.2 C.4 D.& 【答案】C 【解析】 3an+1,an为奇数 因为数列{an}满足a=5,a+1= ,an为偶数 2 所以a2=3a1+1=16,a3= =8,a4=g=4 2 2 故选：C 练习： 1.在数列{an}中，an+1= 2a,对所有的正整数n都胶立.且a,-子，则a=（） 2+an 3 A.1 B. 2 C. 2 D.-1 【答案】A 【解析】 致到a中，。。因所行的正整致在吸，令加5得4一2*。 2a5, 2 2-20,,解得4，=1，故选A a=3’32+a 2已知数列a,满足a=a,a1=g-2 a,+1 n∈N),若数列{an}是常数列，则a=() A.-2 B.-1 C.0 D.(-1) 【答案】A 【解析】 :数列a满足4=a,a1-neN,4-2.数列o,是常数列 a,+1 a+1 a=a2-2 解得a=-2,故选A a+1 3在数列a,中，4=1，a,=1+≥2，neN,则4=() A月 3 C 8 D. 3 【答案】D 【解析】 1 2 已知4逐一求解，得意4，=2,4，=2，a,=3,4,=了故选：D 2 4.己知数列{an},a2=1,an+an-1=2n,n∈N,则a1+a的值为() A.4 B.5 C.6 D.& 【答案】A 【解析】 由a2=1,a,+an1=2n,n∈N*,可得a+42=2,a2+a3=4,解得a=1,4=3, 41+43=4,故选A. 5.已知数列{an}中，an+1=2an对n∈N成立，且a3=12,则a= 【答案】3 【解析】 12=a3=2a2,.a2=6,6=a2=2a,.a1=3 6已知数列{a,}的首项4=1，au1十a ,a,-（n=1,2,3,…,则a4=；猜想其通 项公式是an= 【答案】 n 【解析】 故列o的a0an=23,,403同可 1 1 1 a=3'0,=4猪想其通项公式是a,= 4 7已知首项为x的数列{x,}满足x1=心。（a为常数). x+1 (1)若对任意的x≠-1，都有x+2=xnn∈N）成立，求a的值， (2)当a=1时，若x>0,数列{x}是递增数列还是递减数列？请说明理由。 【答案】(1)a=-1;(2)递减数列，理由见解析 【解析】 a.ar （1)x2=4=+1=a2x2 戈+1a+1+,+1，i=a++x,即 x+1 (a2-lx,=(a+1x7,令n=1,得(a2-x,=(a+1x2，要使该式对任意的x≠-1 3 a2-1=0 都成立，则有 解得a=-1: a+1=0 (2》数列{x}是递减数列，理由如下：x>≥0，x1= ，.xn>0,又 x+1 三尤，=一”一<0，数列{x,}是递减数列 x+1 x+1 8.已知数列{a,}的各项均为正数，若对任意的正整数p,9总有ap*g=a,a,且a=16, 则ao=() A.16 B.32 C.48 D.64 【答案】B 【解析】 由题意可得a=a4a4=16，则a4=4，又a4=a2·a2,则a2=2，又 a1042=42=4g44,则a1o=32 9.已知数列a,}满足a=3,a,1=1-工(neN),则a,=() a B. C.3D.2 2 【答案】C 【解析】 因为a=3,a4=1-(aeN 12 所以，a2=1- G3,41-1=-1 42=1-1-3 a 故选：C 10.数列{an}满足a,a+1=2n+1,若4=1，则a=一· 【答】 【解析】 由a,a1=2n+1,得a4=5,a4,=3,所以a,=3=5,4=3 3 a a25 故答案为： 3 1已知数列a的首项为4=1，递推公式为4，=1+(m≥2引，4= an-1 【等】 【解析】 由a,=1+1≥2,4=1， an- 则4，=1+=1+1=2,4=1+1=1+=3 a 22 1+4=1+=1+ a,=1+1=1+3 1+2-5 38 a 55 故答案为： 8 12.已知数列为{an}，若an关于n的图象是一条抛物线上的孤立的点，且a=1,a=3, 4=7,则a= 【答案】21 【解析】 设an=an2+bn+c(a≠0，neN◆)， a+b+c=1 a=1 由题设可得{4a+2b+c=3,解得{b=-1, 9a+3b+c=7 c=1 所以an=n2-n+1,neN,a,=52-5+1=21. 故答案为：21 13.已知数列{a}满足a=-1,2a+1-a,a1=1n∈N*）,则a= 【管灯 【解析】 由4=-1,2a,-a4,=1,可得a,=3 5 3 又2a-a243=1，可得a3= 故答案为：5 14.已知数列{a,}满足：a=m(m为正整数)，a1=了2 ,a,为偶数 若a4=4, 3an+l,an为奇数 求m所有可能的取值. 【答案】m所有可能的取值为4,5,32. 【解析】 若4为奇数，则3a+1=4,4=1. 若4为奇数，则3a,+1=1,a,=0(舍去)，若4为偶数，则=1,42=2. 2 若4为奇数，则3a+1=2,a,=号（舍去），若4为偶数，则4=2,4=4： 3 若4为偶数，则9=4,4，=8. 2 7 若4，为奇数，则3a,+1=8,4,=3 (舍去)，若4为偶数，则=8，a,=16. 若4为奇数，则3a+1=16,4=5,若4为偶数，则4=16，a=32, 2 故m所有可能的取值为4,5,32 2.求数列的递推关系式 网数网方子名 ,…的递推公式可以是() AueN) B.d= neN） 2n 1 C.d=za,(nEN) D.an+1=2ann∈N* 【答案】C 【解析】 数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误； 观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的 1 1 所以递推公式为a1=a,(n∈N),故C正确，D错误 2 故选：C 练习： 6 1111 1数列24816，“的第”项a,与第n+1项a的关系是（） 1 1 A.ant=2an B.an=-2an D.an=an 2 【答案】D 【解析】 1 1 1 因为。 18.1 16 2， 1 2， 1 2 4 P 1 所以an+1=-2an' 2 故选：D 2.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自 然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示 的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为a,白圈的个数为b,则下列结论错误的 是() 第1行 第2行 08 第3行 图1 图2 A.a4=8 B.b=13 C.a=2a +b D.bu=2an-b 【答案】D 【解析】 已知an表示第n行中的黑圈个数，设b,表示第n行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴.an1=2an+bn，bn1=an+bn,故C正确，D错误； 又.41=0，b=1, 所以42=1，b=1, 4=2×1+1=3,b=1+1=2, 7 a4=2×3+2=8,b4=3+2=5, a=2×8+5=21,b=8+5=13,故A、B正确 故选：D 3.数列的周期性及其应用 制42知孩a满尾：4=1且a+=0neN,测aa=— 【答案】- 2 【解析】 由题设a1十1+an 1- 1=-2,a=1+a 二0，则-1+a,2,a3=-1+a =1, … 1 由上，{an}是周期为3的数列，则a2024=a3x674+2=a2= 2 故答案为： 2 1 1 例5已知数列(a,}满足a=2十Va,-a，且a=2,则该数列前2024项的和为（ ) A.2015 B.2016 C.1518 D.1519 【答案】C 【解析】 依题意，a1= 1 21,11 2a,=2+Va,-a=2+V22 =1, 1 2 因此数列{an}是以2为周期的周期数列， 所以该数列前2024项的和为1012(a+a,)=1012×3-1518 故选：C 练习： 1在数列a中，a=宁=亡a≥2aeN.则aa=() A月 B.1 C.-1 D.2 【答案】A 【解析】 aa2wae+l2,a。可@ a a, 是以2为周期的数列，所以a0=a6541=4=7故选A 2已知数列a满足4=0，a1-85( （neN),则ao=() 3a +1 A.0 B.-V5 C.5 D.3 2 【答案】B 【解析】 a=0,a,=-V3,43=V3,a4=0,a5=-V3=a2,a6=a3,，∴.an43=an, ·a20=a2=-V5 3.函数f(x定义如下表：数列{x}满足x=2,且对任意自然数均有x1=f(x)，则 七2016等于() 中 1 2 3 4 f(x) 5 1 3 4 2 A.1 B.2 C.4 D.5 【答案】B 【解析】 :x=f(x)=f(2)=1,x2=f(x)=f(1=5,x=f(x)=f(5)=2,.该数列 周期为3，.x016==2,故选B. 1 4已知数列a满足a=)，41=1一1 ，则a224=（) a 1 A.-1 B.2 C.3D. 【答案】A 【解析】 9 令m=1,则a,=1-1=1-2=-1, _a 令n=2,则4，=1-1 =1+1=2: a, 令3=，则a,=1-1=1- 11 4229 可知数列{a}为周期为的周期数列，所以a24=a643+2=a2=-1。 故选：A 5.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3，≤，&，13， 21,34,55,…,即4=a2=1,an=an-1+an-2n≥3，n∈N,此数列在现代物理 “准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用若此数列被2除后的余数构成一个新数列 {bn}，则数列{bn}的前2026项的和为() A.1350 B.676 C.1351 D.1352 【答案】C 【解析】 根据斐波那契数列性质可得{an}中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列bn}即为按照1,1,0成周期出现的数列，周期为3， 易知2026=675×3+1，一个周期内的三个数字之和为2； 所以数列{bn}的前2026项的和为675×2+1=1351. 故选：C 6.已知数列{an}满足a=-1,a1(an-1+1=0(n∈N）,则数列{a}的前S项和为 () A.6 B.2 C.3D. 3 【答案】B 【解析】 10