5.1.1 数列的概念(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1.1　数列的概念

课标要求

　　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②.他把这些数叫作正方形数，等等.每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.

【问题】　（1）数列的有关概念是什么？

（2）数列可分为哪几类？

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　数列的概念及分类

1.数列的概念

2.数列的分类

【想一想】

1.2，3，4，5和5，4，3，2是相同的数列吗？

提示：不是.

2.一列由小到大排序的偶数是否可以构成一个数列，这个数列是有穷数列，还是无穷数列？

提示：可以构成数列，且是无穷数列.

1.下列说法正确的是（　　）

A.数列4，7，3，4的首项是4

B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3

C.数列3，6，8可以表示为{3，6，8}

D.a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列

解析：A　对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误；对于D，当a，b都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按照一定次序排列的一列数，故D错误.故选A.

2.数列，2，，3，…，则该数列的第6项是　2　.

解析：数列中每一项的被开方数均比前一项大5，故第6项为＝2.

知识点二　数列的通项公式

1.数列的通项及表示

因为数列从首项起，每一项都与　正整数　对应，所以数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的第　n　项（也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋），称为数列的通项，一般将整个数列简记为{an}.

2.数列的通项公式

如果数列的第n项an与　n　之间的关系可以用an＝f（n）来表示，其中f（n）是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.

【想一想】

1.是否所有的数列都有通项公式？

提示：并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.

2.如果数列的每一项均为常数k，则数列的通项公式该如何表示？

提示：an＝k.

3.若数列{an}有通项公式，那么它的通项公式唯一吗？

提示：一般不唯一.如数列1，－1，1，－1，…，的通项公式为an＝或an＝cos（n－1）π.

1.数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝　20　.

解析：由an＝得a2＝2，a3＝10，

所以a2·a3＝20.

2.在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，…中，x的值是　35　.

解析：由题意可发现：0＝12－1，3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，…，63＝82－1，总结规律，该数列第n项为n2－1，所以x＝62－1＝35.

知识点三　数列与函数

1.数列与函数的关系

数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.

2.数列的分类