5.3.1 第2课时 等比数列的性质(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　等比数列的性质

课标要求

　　在等差数列{an}中，存在很多的性质，如：

（1）若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N＋）；

（2）若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；

（3）若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差数列，则，，，，…，也成等差数列.

【问题】　类比等差数列的性质，你能否得出等比数列的相类似的性质呢？

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　等比中项

　如果x，G，y是　等比　数列，那么称G为x与y的等比中项，此时G＝　 ±　.

【想一想】

1.任何两个非零实数都有等比中项吗？

提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项.

2.G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？

提示：不是.若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立.

1.已知等比数列{an}中，a2＝4，a4＝8，则a3的值为（　　）

A.6 B.－4

C.4 D.±4

解析：D　在等比数列{an}中，a2＝4，a4＝8，所以＝a2a4＝32，则a3＝±4.故选D.

2.已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，则x＝　－4　.

解析：由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知（2x＋2）2＝x（3x＋3），解得x＝－1或x＝－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾，所以x＝－4.

知识点二　等比数列的性质

　如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则asat＝　apaq　.

特别地，如果2s＝p＋q，则＝　apaq　.

【想一想】

　在有穷等比数列中与首末两项“等距离”的两项之积与首末两项之积有何关系？

提示：相等.因为1＋n＝2＋（n－1）＝3＋（n－2）＝…，所以a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….

1.已知等比数列{an}中，a3＝6，a4a6＝27，则a7的值为（　　）

A. B.

C. D.

解析：D　由等比数列性质，得a3a7＝a4a6，所以a7＝＝.故选D.

2.在等比数列{an}中，若a3＝2，则a1a2a3a4a5＝　32　.

解析：a1a2a3a4a5＝＝25＝32.

题型一｜等比中项

【例1】　（1）在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项a6＝（　B　）

A.±4　　　　　　　　　B.4

C.± D.

解析：　由an＝×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，∴a4与a8的等比中项为±4，又∵a1＞0，q＞0，∴a6＞0，故a4与a8的等比中项为a6＝4.

（2）已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.

证明：因为b是a，c的等比中项，

所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，

又因为（a2＋b2）（b2＋c2）＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，（ab＋bc）2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，

所以（ab＋bc）2＝（a2＋b2）（b2＋c2），

即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.

通性通法

1.在等比数列{an}中，任取相邻的三项，an－1，an，an＋1，则an是an＋1与an－1的等比中项，即＝an－1·an＋1.

2.“a，G，b成等比数列”是“G2＝ab”的充分不必要条件.

3.等比数列中的任一项（除首、末两项）都是数列中距该项“距离”相等的两项的等比中项，即＝an－k·an＋k（n＞k）.

【跟踪训练】

1.已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝（　　）

A.6　　　　　　　　　　B.－6

C.±6 D.±12

解析：C　依题意知，2a＝1＋2，b2＝（－1）×（－16），∴a＝，b＝±4，∴ab＝±6.

2.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝　4×　.

解析：由已知可得（a＋1）2＝（a－1）（a＋4），

解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，

所以q＝＝＝，所以an＝4×.

题型二｜等比数列性质的应用

【例2】　（1）在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为（　A　）

A.10n B.n10

C.100n D.n100

解析：（1）设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，