5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“等差数列的前n项和公式”核心知识点，通过钢管堆放问题引入，衔接等差数列通项公式，推导首项、末项与项数及首项、公差与项数两种求和公式，构建从具体情境到抽象公式再到应用的学习支架。 资料以情境探究驱动数学抽象，通过一题多解（如例1两种解法）提升数学运算能力，融入《张丘建算经》等古代问题渗透数学建模。课中题型分类助力分层教学，课后练习题覆盖基础与拔高，有效辅助教师授课与学生查漏补缺。

5.2.2　等差数列的前n项和 第一课时　等差数列的前n项和公式 课标要求 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系（数学抽象、数学运算）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题（数学建模、数学运算）. 第一课时　等差数列的前n项和公式 　　某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示. 【问题】　（1）原来有多少根钢管？ （2）能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 公式 形式 Sn＝　　 Sn＝　na1＋d　 【想一想】 1.等差数列{an}的公差与前n项和Sn的最高项系数存在怎样的关系？ 提示：2倍关系.由Sn＝n2＋n可知，存在2倍关系. 2.等差数列的前n项和Sn与项数n之间一定是二次函数关系吗？ 提示：不一定，当d＝0时Sn＝na1，即Sn与n是一次函数关系；当d≠0时，Sn与n是二次函数关系. 1.等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝（　　） A.n B.n（n＋1） C.n（n－1） D. 解析：D　因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n×1＋×1＝＝＝，故选D. 2.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a2＋a5＋a8＝3，则S9＝（　　） A.3 B.6 C.9 D.27 解析：C　在等差数列{an}中，3a5＝a2＋a5＋a8＝3，解得a5＝1，所以S9＝＝9a5＝9.故选C. 3.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　27　. 解析：因为a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27. 题型一｜等差数列前n项和的有关计算 【例1】　在等差数列{an}中， （1）已知a6＝10，S5＝5，求d与a1； 解：（1）法一　∵a6＝10，S5＝5， ∴解得 法二　∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝，即3（a1＋10）＝15. ∴a1＝－5，d＝＝3. （2）已知a2＋a4＝，求S5. 解：（2）法一　∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝， ∴a1＋2d＝. ∴S5＝5a1＋10d＝5（a1＋2d）＝5×＝24. 法二　∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝， ∴S5＝＝×＝24. 通性通法 等差数列前n项和的有关计算 （1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想； （2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质，若s＋t＝p＋q（s，t，p，q∈N＋），则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用. 【跟踪训练】 1.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，3a2＋S6＝2 025，则a3＝（　　） A.224 B.225 C.2 024 D.2 025 解析：B　由题意，设等差数列{an}的公差为d，所以3a2＋S6＝3（a1＋d）＋6a1＋d＝2 025，则9（a1＋2d）＝2 025，则9a3＝2 025，所以 a3＝225，故选B. 2.已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝　12　. 解析：Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5（舍去），即n＝12. 题型二｜等差数列前n项和公式的简单应用 【例2】　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－17n， （1）求a1及an； 解：（1）因为Sn＝n2－17n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝12－17×1＝－16， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ n2－17n－[（n－1）2－17（n－1）]＝2n－18. 验证当n＝1时a1＝－16，上式成立， 所以an＝2n－18. （2）判断这个数列是否是等差数列. 解：（2）由an＝2n－18，得an－1＝2（n－1）－18（n≥2）， 所以an－an－1＝2n－18－[2（n－1）－18]＝2， 所以数列{an}是等差数列. 【母题探究】 　（变条件）若将本例中“Sn＝n2－17n”变为“Sn＝－2n2＋n＋2”，如何求解下列问题？ （1）求{an}的通项公式； 解：（1）∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时， Sn－1＝－2（n－1）2＋（n－1）＋2＝－2n2＋5n－1， ∴an＝Sn－Sn－1＝（－2n2＋n＋2）－（－2n2＋5n－1） ＝－4n＋3. 又∵a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3， ∴数列{an}的通项公式是an＝ （2）判断{an}是否为等差数列. 解：（2）由（1）知，当n≥2时， an＋1－an＝[－4（n＋1）＋3]－（－4n＋3）＝－4， 但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4， ∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列. 通性通法 　　已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C（A≠0），当C＝0时，数列{an}为等差数列；当C≠0时，{an}为非等差数列. 【跟踪训练】 　已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn＝（2n－1）an＋1＋1，且a1＝1.求证：数列{an}为等差数列. 证明：令n＝1，则a2＝4S1－1＝3；令n＝2，则3a3＝4S2－1＝15，所以a3＝5. 当n≥2时，4Sn－1＝（2n－3）an＋1，从而（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1. 法一　由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，得＝， 因为＝＝1，所以数列是常数列， 所以＝＝1，所以an＝2n－1. 因为an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列. 法二　由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1， 得（2n＋3）an＋1＝（2n＋1）an＋2， 两式相减得an＋an＋2＝2an＋1，且a1＋a3＝2a2， 所以数列{an}为等差数列. 题型三｜等差数列前n项和公式的实际应用 【例3】　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时构筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500＞480 ，∴在24小时内能构筑成第二道防线. 通性通法 1.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. 2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列联系，建立模型，具体解决要注意以下两点： （1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型； （2）深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn或者求n. 【跟踪训练】 　《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（　　） A.尺　　　B.尺 C.尺　　　D.尺 解析：C　设每日织布增长x尺，则5＋（5＋x）＋（5＋2x）＋…＋（5＋29x）＝390，即＝390，解得x＝.故选C. 1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（　　） A.5 B.7 C.9 D.11 解析：A　由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3. ∴a3＝1，∴S5＝＝＝5. 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（　　） A.－12　 　　B.－10 C.10　 　　D.12 解析：B　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3（3a1＋3d）＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋（5－1）d＝2＋4×（－3）＝－10. 3.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如图所示），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则这9圈的石板总数是　405　. 解析：因为最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则每圈的石板数构成一个以9为首项，以9为公差的等差数列，所以an＝9n，当n＝9时，第9圈共有81块石板，所以这9圈的石板总数S9＝（9＋81）＝405. 4.已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则 （1）数列{an}的通项公式an＝　3－2n　； （2）k＝　7　时，数列{an}的前k项和Sk＝－35. 解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而，an＝1＋（n－1）×（－2）＝3－2n. （2）由（1）可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.又k∈N＋，故k＝7为所求. 5.在等差数列{an}中， （1）已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； （2）已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. （1）法一　由已知得 解得 ∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210. 法二　由已知得 ∴a1＋a10＝42，∴S10＝＝5×42＝210. （2）∵S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6. ∴Sn＝＝＝＝510，∴n＝20. 1.已知等差数列{an}中，a1＝4，a5＝12，则S6＝（　　） A.56 B.53 C.55 D.54 解析：D　由a1＝4，a5＝12得4d＝a5－a1＝12－4＝8，故d＝2，则S6＝6a1＋d＝6×4＋15×2＝54.故选D. 2.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1＝（　　） A.18 B.20 C.22 D.24 解析：B　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋（1－11）d＝0＋（－10）×（－2）＝20. 3.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第6个叠放的图形中，小正方体木块的总数是（　　） A.61 B.66 C.90 D.91 解析：B　分别观察各图中小正方体木块的个数为1，1＋5，1＋5＋9，…，归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，且各层的小正方体木块个数构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以Sn＝n＋＝2n2－n，所以S6＝2×36－6＝66.故第6个叠放的图形中，小正方体木块的总数为66.故选B. 4.在等差数列{an}中，公差d≠0，若S21＝7（a5＋a10＋ak），则k的值为（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 解析：D　因为S21＝21a1＋＝21a1＋210d，7（a5＋a10＋ak）＝7＝21a1＋（7k＋84）d，且S21＝7（a5＋a10＋ak），则21a1＋210d＝21a1＋（7k＋84）d.因为d≠0，解得k＝18.故选D. 5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（　　） A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 解析：C　设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，则由题意可得解得所以小满日影长为a11＝13.5＋10×（－1）＝3.5（尺）. 6.〔多选〕设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝6，则（　　） A.Sn＝n2－3n B.Sn＝ C.an＝3n－6 D.an＝2n－2 解析：BC　设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝0，a4＝6，所以解得所以an＝a1＋（n－1）d＝－3＋3（n－1）＝3n－6，Sn＝na1＋d＝－3n＋＝，故选B、C. 7.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝　　. 解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d.a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，　① S5＝5a1＋×5×（5－1）d＝10，　② 由①②联立解得a1＝1，d＝. 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a5＝24，S6＝48，则S17＝　510　. 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S6＝＝3（a3＋a4）＝48，即a3＋a4＝16.又因为a4＋a5＝24，可得a5－a3＝2d＝8，即d＝4，则a4＋a5＋9d＝（a4＋5d）＋（a5＋4d）＝2a9＝60，即a9＝30，所以S17＝17a9＝510. 9.定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为，若各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为，则a2 025＝　8 099　. 解析：设数列{an}的前n项和为Sn，由已知可得数列{an}的前n项的“均倒数”为＝＝，可得Sn＝（2n＋1）n＝2n2＋n，所以，a2 025＝S2 025－S2 024＝－（2×2 0242＋2 024）＝8 099. 10.等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. （1）求数列的通项公式； （2）若Sn＝242，求n. 解：（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d. 则解得 ∴an＝a1＋（n－1）d＝12＋（n－1）×2＝10＋2n. （2）由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得方程242＝12n＋×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22（舍去）.故n＝11. 11.〔多选〕已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－12，公差d＝2，则下列说法正确的是（　　） A.{an}是递增数列 B.1是数列{an}中的项 C.数列{Sn}中的最小项为S8 D.数列是等差数列 解析：AD　对于A，因为a1＝－12，公差d＝2，则an＝－12＋2（n－1）＝2n－14，所以{an}是递增数列，故A正确；对于B，令an＝2n－14＝1，解得n＝，故1不是数列{an}中的项，故B错误；对于C，令an＝2n－14＝0，解得n＝7，即a6＜0，a7＝0，a8＞0，所以数列{Sn}中的最小项为S6或S7，故C错误；对于D，因为Sn＝－12n＋×2＝n2－13n，则＝n－13，所以数列是等差数列，故D正确.故选A、D. 12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，an＋1＝则S40＝　1 280　. 解析：当n为奇数时，an＋1＝an＋1，an＋2＝an＋1＋2＝an＋3；当n为偶数时，an＋1＝an＋2，an＋2＝an＋1＋1＝an＋3.因此an＋2＝an＋3，{an}的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列；{an}的偶数项是以a2＝4为首项，3为公差的等差数列，所以S40＝（a1＋a3＋…＋a39）＋（a2＋a4＋…＋a40）＝20a1＋×3＋20a2＋×3＝20×（3＋4）＋20×19×3＝1 280. 13.已知数列{an}满足a1＝4，a2＝6，an＋1＝2an－an－1＋2（n≥2）. （1）证明：数列{an－an－1}（n≥2）是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：因为an＋1＝2an－an－1＋2，n≥2， 所以（an＋1－an）－（an－an－1）＝2. 又由a1＝4，a2＝6，可得a2－a1＝2， 所以数列{an－an－1}（n≥2）是首项为2，公差为2的等差数列. （2）由（1）知，数列{an＋1－an}是首项为2，公差为2的等差数列，即an＋1－an＝2n， 所以an－an－1＝2n－2（n≥2）， 所以当n≥2时， an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋（a4－a3）＋…＋（an－an－1） ＝4＋[2＋4＋6＋…＋（2n－2）] ＝4＋＝n2－n＋4. 又a1＝4满足上式，所以an＝n2－n＋4， 即数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋4. 14.一同学在电脑中打出如图所示图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此图案以此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是（　　） A.12 B.13 C.14 D.15 解析：C　S＝（1＋2＋3＋…＋n）＋n＝＋n≤120，所以n（n＋3）≤240，所以n＝14. 15.已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列； ③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 解：①③⇒②. 已知{an}是等差数列，a2＝3a1. 设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n， 所以－＝（n＋1）－n＝（常数），所以数列{}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{}是等差数列. 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2d＋n. 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{}的公差为d，d＞0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋（n－1）d＝nd，所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－（n－1）2d2＝2d2n－d2（n≥2），是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $