5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.2.2　等差数列的前n项和  第一课时　等差数列的前n项和公式

课标要求

第一课时　等差数列的前n项和公式

　　某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示.

【问题】　（1）原来有多少根钢管？

（2）能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　等差数列的前n项和公式

【想一想】

1.等差数列{an}的公差与前n项和Sn的最高项系数存在怎样的关系？

提示：2倍关系.由Sn＝n2＋n可知，存在2倍关系.

2.等差数列的前n项和Sn与项数n之间一定是二次函数关系吗？

提示：不一定，当d＝0时Sn＝na1，即Sn与n是一次函数关系；当d≠0时，Sn与n是二次函数关系.

1.等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝（　　）

A.n B.n（n＋1）

C.n（n－1） D.

解析：D　因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n×1＋×1＝＝＝，故选D.

2.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a2＋a5＋a8＝3，则S9＝（　　）

A.3 B.6

C.9 D.27

解析：C　在等差数列{an}中，3a5＝a2＋a5＋a8＝3，解得a5＝1，所以S9＝＝9a5＝9.故选C.

3.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　27　.

解析：因为a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27.

题型一｜等差数列前n项和的有关计算

【例1】　在等差数列{an}中，

（1）已知a6＝10，S5＝5，求d与a1；

解：（1）法一　∵a6＝10，S5＝5，

∴解得

法二　∵S6＝S5＋a6＝15，

∴15＝，即3（a1＋10）＝15.

∴a1＝－5，d＝＝3.

（2）已知a2＋a4＝，求S5.

解：（2）法一　∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，

∴a1＋2d＝.

∴S5＝5a1＋10d＝5（a1＋2d）＝5×＝24.

法二　∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，

∴S5＝＝×＝24.

通性通法

等差数列前n项和的有关计算

（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想；

（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质，若s＋t＝p＋q（s，t，p，q∈N＋），则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用.

【跟踪训练】

1.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，3a2＋S6＝2 025，则a3＝（　　）

A.224 B.225

C.2 024 D.2 025

解析：B　由题意，设等差数列{an}的公差为d，所以3a2＋S6＝3（a1＋d）＋6a1＋d＝2 025，则9（a1＋2d）＝2 025，则9a3＝2 025，所以 a3＝225，故选B.

2.已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝　12　.

解析：Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5（舍去），即n＝12.

题型二｜等差数列前n项和公式的简单应用

【例2】　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－17n，