5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　等差数列前n项和的性质及应用

题型一｜等差数列的前n项和性质的应用

【例1】　（1）已知等差数列{an}的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A，B，C，则（　D　）

A.A＋B＝C B.A＋C＝2B

C.2A＋C＝3B D.3（B－A）＝C

解析：（1）∵等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A，B，C，

∴A，B－A，C－B仍然成等差数列，∴2（B－A）＝C－B＋A，

化为3A＋C＝3B，即3（B－A）＝C，故选D.

（2）等差数列{an}的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11∶9，则公差d，的值分别是（　D　）

A.8， B.9，

C.9， D.8，

解析：（2） 在等差数列{an}中，设S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16，

依题意，解得S奇＝288，S偶＝352，而S偶－S奇＝（a2－a1）＋（a4－a3）＋…＋（a16－a15）＝8d，＝＝，

所以d＝＝＝8，＝＝.故选D.

（3）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，＝，则＝　　.

解析：（3）根据等差数列前n项和的函数特征，可设Sn＝kn（n＋1），Tn＝kn（3n－1）（k≠0），

则＝＝＝＝.

通性通法

等差数列的前n项和常用的性质

（1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列；

（2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn（a，b为常数）⇔数列为等差数列；

（3）设等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则＝；

（4）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d：

①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；

②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.

【跟踪训练】

1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝（　　）

A.18 B.17

C.16 D.15

解析：A　设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，（a5＋a6＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.

2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（n＋3）Sn＝（2n＋70）Tn，则使得为整数的正整数n的个数是　5　.

解析：由等差数列前n项和的性质，得＝.由条件可得＝，则＝＝＝，所以＝＝2＋.要使为整数，则必为整数，即n＋1为32的约数.又n为正整数，所以n的取值为1，3，7，15，31，共5个.

3.含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为　　.

解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，前n项和为Sn，则S奇＝，S偶＝，∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.

题型二｜等差数列的前n项和最值问题

【例2】　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值.

解：设公差为d，由S17＝S9且a1＝25，得

25×17＋d＝25×9＋d，

解得d＝－2.

法一（公式法）　Sn＝25n＋×（－2）＝－（n－13）2＋169.

由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.

法二（邻项变号法）　∵a1＝25＞0，

由

得即12≤n≤13.

又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为25×13＋×（－2）＝169.

【母题探究】

1.（变设问）本例条件不变，试求的前n项和Tn.

解：由本例知Sn＝－n2＋26n，

令bn＝＝－n＋26，

∴{bn}是以25为首项，公差为－1的等差数列，

∴Tn＝25n＋×（－1）＝－n2＋n.

2.（变条件）若本例中的条件“a1＝25，S17＝S9”换为“a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93”，试求Sn的最大值.

解：因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝41－2n，

所以a1＝39，Sn＝39n＋×（－2）＝40n－n2.

当Sn取得最大值时，满足

即19≤n≤20.

因为n∈N＋，所以当n＝20时，Sn有最大值S20＝400.

通性通法

求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略