5.2.1 第1课时 等差数列的定义(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第一课时　等差数列的定义

课标要求

　　观察下列现实生活中的数列：

（1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（单位：cm）由大至小可组成数列

25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21.　①

（2）某住宅小区2021～2025年的绿化建设有如下数据：

　　2021～2025年各年的绿化覆盖率组成数列

15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%.　②

（3）某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3 min，收话费0.2元，以后每分钟（不足1 min按1 min计）收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依次组成数列

0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，…. ③

【问题】　以上数列有什么共同的特点？

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　等差数列的定义

　如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于　同一个　常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中　d　称为等差数列的公差.

【想一想】

1.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列吗？

提示：不一定.必须是同一个常数.即全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.

2.将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由.

提示：不妨设{an}为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，…，a＋nd，则所有项倒序排列所成数列为数列{bn}：a＋nd，…，a＋4d，a＋3d，a＋2d，a＋d，a.{bn}仍是等差数列，且公差是－d.

　若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}（　　）

A.是公差为1的等差数列

B.是公差为的等差数列

C.是公差为－的等差数列

D.不是等差数列

解析：B　由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列.故选B.

知识点二　等差数列的通项公式

已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

【想一想】

1.等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？

提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列.

2.等差数列的单调性与公差有何关系？

提示：当d＞0时是递增数列，当d＜0时是递减数列，当d＝0时是常数列.

3.等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d是什么函数模型？

提示：d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数.

1.已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于（　　）

A.4－2n　　　　　　　　B.2n－4

C.6－2n D.2n－6

解析：C　∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋（n－1）×（－2）＝6－2n.

2.在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝（　　）

A.1 B.－1

C.±1 D.±2

解析：C　由已知得解得d＝±1.

题型一｜等差数列的判断

【例1】　已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为等差数列：

（1）an＝4－2n；

解：（1）∵an＝4－2n，

∴an＋1＝4－2（n＋1）＝2－2n.

∴an＋1－an＝（2－2n）－（4－2n）＝－2.

故数列{an}是等差数列.

（2）an＝

解：（2）由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即a3－a2＝a4－a3＝…＝1，但a2－a1＝0，因此数列{an}不是等差数列.

（3）an＝n2＋n.

解：（3）∵an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋2，不是常数，故数列{an}不是等差数列.

通性通法