5.2.1 第1课时 等差数列的定义(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学等差数列的定义、通项公式及与一次函数的关系，通过生活实例（鞋号、绿化覆盖率等）引出定义，推导通项公式，建立与一次函数的联系，形成从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化实例引入，通过“想一想”问题链和题型训练（判断、通项公式应用等）培养数学抽象、逻辑推理与数学运算素养，课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第一课时　等差数列的定义 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义（数学抽象）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题（逻辑推理、数学运算）. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系（数学抽象）. 　　观察下列现实生活中的数列： （1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（单位：cm）由大至小可组成数列 25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21.　① （2）某住宅小区2021～2025年的绿化建设有如下数据： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 绿化覆盖率/% 15.8 17.8 19.8 21.8 23.8 　　2021～2025年各年的绿化覆盖率组成数列 15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%.　② （3）某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3 min，收话费0.2元，以后每分钟（不足1 min按1 min计）收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依次组成数列 0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，…. ③ 【问题】　以上数列有什么共同的特点？ 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等差数列的定义 　如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于　同一个　常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中　d　称为等差数列的公差. 【想一想】 1.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列吗？ 提示：不一定.必须是同一个常数.即全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列. 2.将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由. 提示：不妨设{an}为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，…，a＋nd，则所有项倒序排列所成数列为数列{bn}：a＋nd，…，a＋4d，a＋3d，a＋2d，a＋d，a.{bn}仍是等差数列，且公差是－d. 　若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}（　　） A.是公差为1的等差数列 B.是公差为的等差数列 C.是公差为－的等差数列 D.不是等差数列 解析：B　由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列.故选B. 知识点二　等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 　an－an－1　＝d（n≥2） an＝　a1＋（n－1）d　（n∈N＋） 【想一想】 1.等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？ 提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列. 2.等差数列的单调性与公差有何关系？ 提示：当d＞0时是递增数列，当d＜0时是递减数列，当d＝0时是常数列. 3.等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d是什么函数模型？ 提示：d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数. 1.已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于（　　） A.4－2n　　　　　　　　B.2n－4 C.6－2n D.2n－6 解析：C　∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋（n－1）×（－2）＝6－2n. 2.在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝（　　） A.1 B.－1 C.±1 D.±2 解析：C　由已知得解得d＝±1. 题型一｜等差数列的判断 【例1】　已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为等差数列： （1）an＝4－2n； 解：（1）∵an＝4－2n， ∴an＋1＝4－2（n＋1）＝2－2n. ∴an＋1－an＝（2－2n）－（4－2n）＝－2. 故数列{an}是等差数列. （2）an＝ 解：（2）由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即a3－a2＝a4－a3＝…＝1，但a2－a1＝0，因此数列{an}不是等差数列. （3）an＝n2＋n. 解：（3）∵an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋2，不是常数，故数列{an}不是等差数列. 通性通法 定义法判断数列{an}是否为等差数列的步骤 　　判断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证其通项是否满足an＋1－an＝d（n∈N＋）.具体步骤为： （1）作差an＋1－an，并对上式进行变形； （2）若an＋1－an是常数（即一个与n无关的数），则数列{an}是等差数列，否则数列{an}不是等差数列. 【跟踪训练】 　在数列{an}，{bn}中，已知a1＝，且2an＋1＝an＋，bn＝2nan，求证：数列{bn}为等差数列. 证明：法一　由2an＋1＝an＋得an＋1＝an＋，所以bn＋1－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列. 法二　在2an＋1＝an＋的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列. 题型二｜等差数列的通项公式及应用 【例2】　（1）在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； 解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d， ∵a4＝7，a10＝25， 则得 ∴an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5， ∴通项公式an＝3n－5（n∈N＋）. （2）已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值. 解：（2）设等差数列的首项为a1，公差为d， 由得 解得a1＝，d＝－. ∴a15＝a1＋（15－1）d＝＋14×＝－. 【母题探究】 　（变条件）本例（1）中条件变为“a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28”问题不变. 解：设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d. 代入a3a8a13＝28，整理得（4－5d）×4×（4＋5d）＝28， 解得d＝±. 当d＝时，a1＝－，an＝n－； 当d＝－时，a1＝，an＝－n＋. 通性通法 1.应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式. 2.若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用an＝am＋（n－m）d较为简捷. 【跟踪训练】 　在等差数列{an}中. （1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； 解：（1）∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 （2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解：（2）设数列{an}的公差为d. 由已知得解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 题型三｜灵活设元求解等差数列 【例3】　（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； 解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得∴这三个数为4，3，2. （2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 解：（2）法一　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d）， 依题意，2a＝2，且（a－3d）（a＋3d）＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4. 法二　若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d（公差为d）， 依题意，2a＋3d＝2，且a（a＋3d）＝－8， 把a＝1－d代入a（a＋3d）＝－8， 得＝－8，即1－d2＝－8， 化简得d2＝4，∴d＝2或d＝－2. 又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，∴d＝2，a＝－2. 故所求的四个数为－2，0，2，4. 通性通法 常见设元技巧 （1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d； （2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d； （3）四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d. 【跟踪训练】 　〔多选〕《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”关于这个问题，下列说法正确的是（　　） A.戊得钱是甲得钱的一半 B.乙得钱比丁得钱多钱 C.甲、丙得钱的和是乙得钱的3倍 D.丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 解析：AD　 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，d＝－，即a－2d＝1－2×（ －）＝，a－d＝1－（ －）＝，a＋d＝1＋（ －）＝，a＋2d＝1＋2×（ －）＝，∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：戊得钱是甲得钱的一半，故A正确；乙得钱比丁得钱多－＝钱，故B错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，故C错误；丁、戊得钱的和比甲得钱多＋－＝钱，故D正确.故选A、D. 1.〔多选〕下列数列中，是等差数列的是（　　） A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 解析：ABD　根据等差数列的定义，可得：A中，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列；B中，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2（常数），所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2（常数），所以是等差数列.故选A、B、D. 2.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是（　　） A.1，4 B.－1，－4 C.4，1 D.－4，－1 解析：B　因为当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4. 3.在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝　6n－14　. 解析：法一　设公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14. 法二　设公差为d，则d＝＝＝6，an＝a4＋（n－4）·d＝10＋6（n－4）＝6n－14. 4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋4，若an＝2 026，则n＝　507　. 解析：由题意可得an＋1－an＝4，故数列{an}为等差数列，4为公差，则an＝2＋4（n－1）＝4n－2，故令4n－2＝2 026，解得n＝507. 5.已知数列{an}满足a1＝1.若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝　n2　. 解析：由点在直线x－y＋1＝0上，得－＋1＝0，即－＝1，∴数列为等差数列，且公差d＝1.又＝1，∴＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝n2. 1.下列数列是等差数列的是（　　） A.，，， B.1，，， C.1，－1，1，－1 D.0，0，0，0 解析：D　 ∵－≠－，故排除A；∵－1≠－，故排除B；∵－1－1≠1－（－1），故排除C；常数列是等差数列，故D正确.故选D. 2.设{an}是等差数列，且a1＝，a2＋a3＝5，则{an}的通项公式为（　　） A.an＝ B.an＝n C.an＝ D.an＝ 解析：B　设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝，a2＋a3＝5，所以a1＋d＋a1＋2d＝5，解得d＝，则an＝a1＋（n－1）d＝＋（n－1）＝n.故选B. 3.若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝（　　） A.50 B.51 C.52 D.53 解析：D　设公差为d，依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.所以an＝a1＋（n－1）d＝＋（n－1）×＝n－，令an＝35，解得n＝53. 4.已知数列{an}满足a1＝－，－＝2，则数列{an}中的最小项为（　　） A.a2 B.a3 C.a4 D.a5 解析：B　由－＝2可知为等差数列，且公差为2，首项为－5，因此＝2（n－1）－5＝2n－7⇒an＝.由于a2＝－，a3＝－1且∀n≥4，an＞0，故{an}中的最小项为a3，故选B. 5.已知数列{an}满足an＋1＋an＝6n＋1（n∈N＋），则a1＋a6＝（　　） A.18 B.19 C.20 D.21 解析：B　由an＋1＋an＝6n＋1，可得an＋2＋an＋1＝6n＋7，两式相减可得an＋2－an＝6，即数列{an}的偶数项是以6为公差的等差数列，则a6＝a2＋（ －1）×6＝a2＋12，且a1＋a2＝7，所以a1＋a6＝a1＋a2＋12＝7＋12＝19.故选B. 6.〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n，则（　　） A.a1＋a3＝a5＋a7 B.{an}中的最小项为－16 C.从第三项起，{an}的每一项都大于它的前一项 D.数列{an＋2－an}为等差数列 解析：ABD　an＝n2－8n＝（n－4）2－16.对于A，a1＝a7＝－7，a3＝a5＝－15，则a1＋a3＝a5＋a7，故A正确；对于B，当n＝4时，{an}中的最小项为a4＝－16，故B正确；对于C，由上计算得a3＝a5＝－15，显然从第三项起，{an}的每一项不一定大于它的前一项，故C错误；对于D，由an＋2－an＝（n＋2）2－8（n＋2）－n2＋8n＝4n－12，显然（an＋3－an＋1）－（an＋2－an）＝[4（n＋1）－12]－（4n－12）＝4，所以{an＋2－an}是公差为4的等差数列，故D正确.故选A、B、D. 7.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝　3　，a6＝　13　. 解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋（n－1）×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13. 8.写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列an＝　2n－6（答案不唯一）　. 解析：要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3＜a3，即a1＋a2＜0，则不妨设a1＝－4，a2＝－2，则an＝－4＋（n－1）×2＝2n－6. 9.数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列.若an＝bn，则n的值为　5　. 解析：an＝2＋（n－1）×3＝3n－1，bn＝－2＋（n－1）×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5. 10.数列{an}满足a1＝1，＝＋1（n∈N＋）. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：由＝＋1，可得－＝2，∴数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知＝1＋（n－1）×2＝2n－1，∴an＝. 11.〔多选〕已知数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为Sn，则（　　） A.数列是等差数列 B.存在n∈N＋，使得an＋1＜an成立 C.当n＝8时，Sn最大 D.数列{an－an＋1}的最大值为 解析：ABD　 ∵an＝，∴＝＝－n＋，∴－＝－（ －n＋）＝－，则为等差数列，故A正确；∵a7＝8，a8＝－，∴a8＜a7，故B正确；∵当1≤n≤7时，an＞0，当n≥8时，an＜0，∴当n＝7时，Sn最大，故C错误；∵an－an＋1＝－＝＝，（22－3n）（3n－19）＝－9n2＋123n－418＝－9（ n－）2＋，n∈N＋，∴当n＝7时，（22－3n）（3n－19）＝2，当n≤6或n≥8时，（22－3n）（3n－19）＜0，∴{an－an＋1}的最大值为，故D正确.故选A、B、D. 12.如果有穷数列a1，a2，…，am（m∈N＋）满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝　19　. 解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝1＋9×2＝19.又因为数列{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19. 13.已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. （1）设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：因为an＋1＝2an＋2n，所以＝＝＋1，所以－＝1，n∈N＋. 又因为bn＝，所以bn＋1－bn＝1.所以数列{bn}是等差数列，其首项b1＝1，公差为1. （2）由（1）知bn＝1＋（n－1）×1＝n， 所以an＝2n－1bn＝n·2n－1. 14.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷（ɡuǐ）长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分；且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为（　　） A.953分 B.1 052分 C.1 151分 D.1 250分 解析：B　一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分，且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.从“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影长变短，所以“立春”时日影长度为：1 350＋×3＝1 052（分）. 15.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N＋）. （1）当a2＝－1时，求λ及a3的值； （2）是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由. 解：（1）∵a1＝2，a2＝－1，a2＝（λ－3）a1＋2， ∴λ＝. ∴a3＝－a2＋22，∴a3＝. （2）不存在实数λ使数列成等差数列. 理由如下：∵a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n， ∴a2＝（λ－3）a1＋2＝2λ－4. a3＝（λ－3）a2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1. 即λ2－7λ＋13＝0. ∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解. ∴不存在实数λ使数列{an}成等差数列. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $