5.3.1 第1课时 等比数列的定义(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等比数列的定义与通项公式这一核心知识点，通过拉面抻面、银行存款等生活实例引导学生观察数列共性，类比等差数列定义抽象出等比数列概念，进而推导通项公式并探究其与指数函数的关系，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以生活实例培养数学抽象能力，通过“想一想”辨析定义细节、“跟踪训练”强化逻辑推理，例题与分层练习提升数学运算素养。课中助力教师引导学生主动探究，课后学生可借助题型训练和能力提升模块巩固知识，有效查漏补缺。

第一课时　等比数列的定义 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义（数学抽象）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题（逻辑推理、数学运算）. 3.体会等比数列与指数函数的关系（数学抽象）. 　　观察下列情境中的数列，回答后面的问题： 　　（1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条：1，2，4，8，16，…； 　　（2）如果将钱存在银行里，就会获得利息.例如，如果某年年初将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这五年中，每年年底的本息和构成数列：1 000×1.03，1 000×1.032，…，1 000×1.035. 【问题】　以上两个数列有什么共同点，你能否类比等差数列的定义，给等比数列下一个定义？ 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等比数列的定义 　如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于　同一个常数q　，即＝　q　恒成立，则称{an}为等比数列，其中　q　称为等比数列的公比. 【想一想】 1.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？ 提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列. 2.等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其他项是否可以为零？ 提示：不能. 3.常数列一定是等比数列吗？ 提示：不一定，如0，0，0，…. 　给出下列数列： ①2，2，4，8，16，32，…； ②在数列{an}中，＝2，＝2； ③常数列c，c，c，…，c. 其中等比数列的个数为　0　. 解析：①不是等比数列，因为≠.②不一定是等比数列，因为不知道的值.事实上，即使＝2，数列{an}也未必是等比数列.③不一定是等比数列，当c＝0时，数列不是等比数列. 知识点二　等比数列的通项公式 　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则等比数列的通项公式为an＝　a1qn－1　. 【想一想】 　等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？ 提示：不一定.如当q＝1时，an是关于n的常数函数. 1.已知数列{an}的首项a1＝4，且满足an＋1＝2an（n∈N＋），则a5＝（　　） A.8 B.32 C.16 D.64 解析：D　由an＋1＝2an（n∈N＋）可得＝2，所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，因此a5＝a1qn－1＝4×24＝64.故选D. 2.在等比数列{an}中，若a2＋a4＝2（a1＋a3），则公比为　2　. 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2＋a4＝（a1＋a3）q＝2（a1＋a3），a1＋a3＝a1（1＋q2）≠0，所以q＝2. 题型一｜等比数列的判断与证明 【例1】　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝. （1）求b1，b2，b3； 解：（1）由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； 解：（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. （3）求{an}的通项公式. 解：（3）由（2）可得，＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 通性通法 证明数列{an}是等比数列的常用方法 （1）定义法：＝q（q为常数且q≠0）或＝q（q为常数且q≠0，n≥2）⇔数列{an}为等比数列； （2）通项法：an＝a1qn－1（其中a1，q为非零常数，n∈N＋）⇔数列{an}是等比数列. 【跟踪训练】 1.已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列. 证明：由已知，有2a2＝a1＋a3，　① ＝，　② ＝＋.　③ 由③得＝，所以a4＝.　④ 由①得a2＝.　⑤ 将④⑤代入②，得＝·. 所以a3＝，即a3（a3＋a5）＝a5（a1＋a3）. 化简得＝a1·a5， 因为a1，a3，a5均不为0，所以＝，故a1，a3，a5成等比数列. 2.已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝3an＋2n－1. （1）求a2，a3； 解：（1）a2＝3a1＋1＝4，a3＝3a2＋3＝15. （2）证明：数列{an＋n}为等比数列； 解：（2）证明：由an＋1＝3an＋2n－1得an＋1＋（n＋1）＝3（an＋n）， 且a1＋1＝2≠0，所以数列{an＋n}是首项为2，公比为3的等比数列. （3）求数列{an}的通项公式. 解：（3）由（2）知数列{an＋n}是首项为2，公比为3的等比数列， 所以an＋n＝2×3n－1， 即an＝2×3n－1－n. 题型二｜等比数列的通项公式及其应用 【例2】　在等比数列{an}中. （1）a4＝2，a7＝8，求an； 解：设等比数列的首项为a1，公比为q. （1）法一　因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝. 法二　因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝. 所以an＝a4qn－4＝2×（）n－4＝. （2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：（2）法一　因为 由得q＝，从而a1＝32. 又因为an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 法二　因为a3＋a6＝q（a2＋a5），所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 【母题探究】 1.（变设问）本例（1）条件不变，试问128是不是该数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 解：由本例（1）知an＝.令an＝128， 得＝7，即n＝13. 故128是该数列中的第13项. 2.（变条件）本例（2）中的条件“a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1”若换为“a1＝，q＝，an＝”，其他条件不变，试求n. 解：因为an＝a1qn－1，所以×＝， 即＝，解得n＝5. 通性通法 求等比数列通项公式的常用方法 （1）根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法； （2）充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 【跟踪训练】 1.在等比数列{an}中，a1＝12，a2＝24，则a3＝（　　） A.36 B.48 C.60 D.72 解析：B　∵a2＝a1q＝12q＝24，∴q＝2，∴a3＝a1q2＝12×22＝48. 2.已知等比数列{an}的公比q＝－，则＝（　　） A. B. C.2 D.4 解析：D　由题意可得 ＝＝＝ ＝＝4. 题型三｜灵活设元求解等比数列 【例3】　（1）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是　45　； 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列. 即 整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. （2）有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数. 解：设前三个数为，a，aq，则·a·aq＝216， 所以a3＝216，所以a＝6. 因此前三个数为，6，6q. 由题意知第4个数为12q－6， 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝. 故所求的四个数为9，6，4，2. 通性通法 几个数成等比数列的设法 （1）三个数成等比数列设为，a，aq； 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，…. （2）四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3； 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，，，aq，aq3，aq5，…. （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3. 【跟踪训练】 　一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（　　） A.13项　　B.12项　　C.11项　　D.10项 解析：B　设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.由题意得q3＝2，q3n－6＝4，两式相乘得q3（n－1）＝8，即qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，∴＝64，即（qn－1）n＝642，∴2n＝642＝212，解得n＝12. 拓视野　等比数列的单调性 能力提升 在等比数列的通项公式中，an与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 提示：因为an＝a1qn－1＝×qn，所以如果记f（x）＝×qx，则可以看出an＝f（n），而且： （1）当公比q＝1时，f（x）是常数函数，此时数列{an}是常数列； （2）当公比q≠1时，f（x）是与y＝qx的乘积，此时，f（x）的增减性既与a1有关，也与q有关. 【问题探究】 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q. （1）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递增数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＞0， ∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列. （2）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递减数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， 即an＋1＜an，∴{an}是递减数列. （3）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递减数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， ∴an＋1＜an，∴{an}是递减数列. （4）若则数列{an}是递增，还是递减数列？ 提示：数列{an}是递增数列，证明如下： ∵an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1（q－1）＜0， ∴an＋1＞an，∴{an}是递增数列. （5）若q＝1，则数列{an}的单调性如何？q＜0呢？ 提示：当q＝1时，{an}是常数列，不具有单调性；当q＜0时，{an}是一个摆动数列，也不具有单调性. 【迁移应用】 1.在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为（　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 解析：A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又因为a1＞0，所以数列{an}为递增数列. 2.数列{an}是各项均为正数的等比数列，且an－an－1＞0（n≥2），则该数列的公比q的取值范围是（　　） A.q＝1 B.q＜0 C.q＞1 D.0＜q＜1 解析：C　由an－an－1＞0（n≥2）可知，数列{an}是递增的等比数列.又因为数列{an}的各项均为正数，所以q＞1. 3.设等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“等比数列{an}为递增数列”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：D　假设q＞1，对于等比数列{an}，其通项公式为an＝a1qn－1.当q＝2，a1＝－2时，根据通项公式可得a2＝a1q＝－2×2＝－4.此时a2＜a1，等比数列{an}不是递增数列.这说明仅仅q＞1不能保证等比数列{an}一定是递增数列，所以“q＞1”不是“等比数列{an}为递增数列”的充分条件.假设等比数列{an}为递增数列，那么an＋1＞an.由通项公式可得an＝a1qn－1，an＋1＝a1qn，所以a1qn＞a1qn－1.当a1＜0时，不等式两边同时除以a1，得到qn＜qn－1.例如当n＝2时，q2＜q，解得0＜q＜1.这说明等比数列{an}为递增数列时，不一定有q＞1，所以“q＞1”不是“等比数列{an}为递增数列”的必要条件.则“q＞1”是“等比数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D. 1.若数列{an}是公比为的正项等比数列，则{·a2n}是（　　） A.公比为2的等比数列 B.公比为的等比数列 C.公差为2的等差数列 D.公差为的等差数列 解析：A　数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝（n≥2，n∈N＋），设bn＝·a2n，则＝＝·（）2＝2（n≥2，n∈N＋）. 2.在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：D　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7. 3.已知等比数列{an}满足a2 025－a1＝8，a2 026－a2＝24，则公比q＝（　　） A.1 B.－1 C.3 D.－3 解析：C　 因为a2 025－a1＝8，a2 026－a2＝24，a2 026＝a2 025·q，a2＝a1·q，所以＝＝q＝＝3.故选C. 4.在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝（　　） A.1 B.3 C.±1 D.±3 解析：A　由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1. 5.设{an}是公比不为1的等比数列，且 a1＝2，a2＋a3＝4，则{an}的通项公式为an＝　－（－2）n　. 解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），因为a1＝2，a2＋a3＝4，所以2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1（舍去），所以an＝a1qn－1＝2×（－2）n－1＝－（－2）n. 1.若等比数列的前三项分别为5，－15，45，则第5项是（　　） A.405 B.－405 C.135 D.－135 解析：A　∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405. 2.公比为q的等比数列{an}满足an＞0，a4＝2a3＋3a2，则q＝（　　） A.－1 B.1 C.3 D.－1或3 解析：C　由an＞0，知a1＞0，q＞0，又a4＝2a3＋3a2，则a1q3＝2a1q2＋3a1q，所以q2＝2q＋3，解得q＝－1（舍去）或q＝3.故选C. 3.已知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则log3a2 026＝（　　） A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 解析：D　由已知可得a1＝1，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝3n－1，则log3a2 026＝log332 025＝2 025. 4.设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则an＝（　　） A.3n－1 B.3n C.3n＋1 D.2·3n 解析：B　根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an.当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3.所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3·3n－1＝3n.故选B. 5.〔多选〕已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是（　　） A.{｜an｜} B.{an－an＋1} C. D.{kan} 解析：AC　设等比数列{an}的公比为q，∵ ＝｜q｜，∴{｜an｜}是等比数列.当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，∴{an－an＋1}不是等比数列.∵＝＝，∴是等比数列.当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列.故只有A、C一定是等比数列. 6.〔多选〕已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则下列说法正确的是（　　） A.a1＞0 B.q＞0 C.＝3或＝－1 D.＝9 解析：ABD　设等比数列{an}的公比为q，因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＞0，且q＞0，故A、B正确；由题意得2×a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q.两边除以a1得q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1（舍去），所以＝q＝3，＝q2＝9，故C错误，D正确.故选A、B、D. 7.在等比数列{an}中，若a5－a2＝14，a4－a1＝7，则q＝　2　. 解析：设等比数列{an}的公比为q，由a5－a2＝14，a4－a1＝7，得a1q（q3－1）＝14，a1（q3－1）＝7，所以q＝2. 8.已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则数列{an}中能构成等比数列的三项可以为　2，8，32（答案不唯一）　.（只需写出一组） 解析：因为数列{an}的通项公式为an＝3n－1， 所以数列{an}中的项依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…，显然＝，所以2，8，32能构成等比数列. 9.已知{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝　　，d＝　－1　. 解析：由题意可得＝， 即（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋6d）， 故有3a1＋2d＝0，　① 由2a1＋a2＝1，得3a1＋d＝1，　② 联立①②解得d＝－1，a1＝. 10.已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2，2a2＋a3＝30. （1）求an； （2）若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5. 解：（1）设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30， 所以4q＋2q2＝30，所以q2＋2q－15＝0， 所以q＝3或－5.因为an＞0，所以q＝3. 所以an＝a1qn－1＝2×3n－1（n∈N＋）. （2）因为b1＝a2，所以b1＝6.又bn＋1＝bn＋an，所以bn＋1＝bn＋2·3n－1. 所以b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14， b4＝b2＋2×32＝14＋18＝32，b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86. 11.在正项数列{an}中，ln an＋1＝ln an＋1，且a1a2＝e3，则数列{an}的通项公式为（　　） A.an＝en B.an＝en－1 C.an＝en＋1 D.an＝en－2 解析：A　因为ln an＋1＝ln an＋1，所以ln an＋1－ln an＝ln＝1，即＝e，则数列{an}是等比数列，公比q＝e.又因为a1a2＝q＝e＝e3，所以a1＝e或a1＝－e（舍去），则数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝en.故选A. 12.已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，则a＝　2　，an＝　5n－3　. 解析：∵a1＜b1，b2＜a3，∴∴b（a－2）＜a＜b，∴a＜3，又∵a＞1，且a∈N＋，∴a＝2.∵对于任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得am＋3＝bn成立，∴令n＝1，得2＋（m－1）b＋3＝b，∴b（2－m）＝5，又∵2－m＜2，且2－m∈N＋，∴∴an＝a＋（n－1）b＝5n－3. 13.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. （1）设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3. 又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－（4an＋2）＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），即bn＋1＝2bn. 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列. （2）由（1）知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2， 所以an＋1－2an＝3×2n－1.于是－＝， 因此数列是首项为，公差为的等差数列， ＝＋（n－1）×＝n－. 所以an＝（3n－1）·2n－2. 14.〔多选〕已知数列{an}，{bn}都是正项等比数列，则（　　） A.数列{an＋bn}是等比数列 B.数列{an·bn}是等比数列 C.数列是等比数列 D.数列是等比数列 解析：BC　因为数列{an}，{bn}都是正项等比数列，所以设数列{an}，{bn}的公比分别为q1，q2，且q1＞0，q2＞0，且对任意的正整数n有an＞0，bn＞0成立.对于A，不妨设an＝2n， bn＝3n，满足{an}，{bn}都是正项等比数列，此时an＋bn＝2n＋3n，因为＝＝，＝＝，所以≠，此时{an＋bn}不是等比数列，故A不正确；对于B，因为＝·＝q1·q2，所以数列{an·bn}是等比数列，故B正确；对于C，因为÷＝×＝×＝，所以数列是等比数列，故C正确；对于D，设an＝2n，bn＝3n，满足{an}，{bn}都是正项等比数列，此时＝23＝8，＝49＝218，＝827＝281，所以＝＝215，＝＝263，所以≠，此时数列{}不是等比数列，故D不正确.故选B、C. 15.设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列. （1）证明：，，，依次构成等比数列； （2）是否存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列？并说明理由. 解：（1）证明：因为＝＝2d（n＝1，2，3）是同一个常数，所以，，，依次构成等比数列. （2）令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d（a＞d，a＞－2d，d≠0）. 假设存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列， 则＝，即a4＝（a－d）（a＋d）3， 同理得（a＋d）6＝a2（a＋2d）4. 令t＝，则1＝（1－t）（1＋t）3，且（1＋t）6＝（1＋2t）4，化简得t3＋2t2－2＝0 （*），且t2＝t＋1. 将t2＝t＋1代入（*）式，得t（t＋1）＋2（t＋1）－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－. 显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a1，d，使得a1，，，依次构成等比数列. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $