5.3.1 第1课时 等比数列的定义(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第一课时　等比数列的定义

课标要求

　　观察下列情境中的数列，回答后面的问题：

　　（1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条：1，2，4，8，16，…；

　　（2）如果将钱存在银行里，就会获得利息.例如，如果某年年初将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这五年中，每年年底的本息和构成数列：1 000×1.03，1 000×1.032，…，1 000×1.035.

【问题】　以上两个数列有什么共同点，你能否类比等差数列的定义，给等比数列下一个定义？

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　等比数列的定义

　如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于　同一个常数q　，即＝　q　恒成立，则称{an}为等比数列，其中　q　称为等比数列的公比.

【想一想】

1.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？

提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列.

2.等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其他项是否可以为零？

提示：不能.

3.常数列一定是等比数列吗？

提示：不一定，如0，0，0，….

　给出下列数列：

①2，2，4，8，16，32，…；

②在数列{an}中，＝2，＝2；

③常数列c，c，c，…，c.

其中等比数列的个数为　0　.

解析：①不是等比数列，因为≠.②不一定是等比数列，因为不知道的值.事实上，即使＝2，数列{an}也未必是等比数列.③不一定是等比数列，当c＝0时，数列不是等比数列.

知识点二　等比数列的通项公式

　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠0），则等比数列的通项公式为an＝　a1qn－1　.

【想一想】

　等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？

提示：不一定.如当q＝1时，an是关于n的常数函数.

1.已知数列{an}的首项a1＝4，且满足an＋1＝2an（n∈N＋），则a5＝（　　）

A.8 B.32

C.16 D.64

解析：D　由an＋1＝2an（n∈N＋）可得＝2，所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，因此a5＝a1qn－1＝4×24＝64.故选D.

2.在等比数列{an}中，若a2＋a4＝2（a1＋a3），则公比为　2　.

解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2＋a4＝（a1＋a3）q＝2（a1＋a3），a1＋a3＝a1（1＋q2）≠0，所以q＝2.

题型一｜等比数列的判断与证明

【例1】　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝.

（1）求b1，b2，b3；

解：（1）由条件可得an＋1＝an.

将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.

将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

解：（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

（3）求{an}的通项公式.

解：（3）由（2）可得，＝2n－1，所以an＝n·2n－1.

通性通法

证明数列{an}是等比数列的常用方法

（1）定义法：＝q（q为常数且q≠0）或＝q（q为常数且q≠0，n≥2）⇔数列{an}为等比数列；

（2）通项法：an＝a1qn－1（其中a1，q为非零常数，n∈N＋）⇔数列{an}是等比数列.

【跟踪训练】

1.已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列.

证明：由已知，有2a2＝a1＋a3，　①

＝，　②

＝＋.　③