5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.3.2　等比数列的前n项和

课标要求

第一课时　等比数列的前n项和公式

　　甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍.

【问题】　一个月后，甲、乙两人谁赢谁亏？

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　等比数列的前n项和公式

【想一想】

1.等比数列的前n项和公式中Sn＝的适用条件是什么？

提示：公比q≠1.

2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和Sn为何值？

提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.

3.若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋），则此数列一定是等比数列吗？

提示：是.根据等比数列前n项和公式Sn＝（q≠0且q≠1）变形为Sn＝－·qn（q≠0且q≠1），

若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－aqn.

1.等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为（　　）

A.4 B.－4

C.2 D.－2

解析：A　由S5＝＝44，得a1＝4.

2.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a·2n－4，则a1＝（　　）

A.1 B.2

C.4 D.8

解析：C　显然q≠1，等比数列前n项和公式为Sn＝＝－qn＋.因为Sn＝a·2n－4为等比数列的前n项和，所以a＝4，所以Sn＝4·2n－4，所以a1＝S1＝4×2－4＝4.故选C.

3.在等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则＋＋…＋＝　　.

解析：因为a1＝1，q＝2，所以an＝1×2n－1，所以＝（ ）n－1，所以＋＋…＋＝＝.

题型一｜等比数列的前n项和公式的基本运算

【例1】　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.

（1）已知a1＝8，an＝，Sn＝，求n；

解：（1）显然q≠1，由Sn＝，即＝，

∴q＝.又∵an＝a1qn－1，即8×＝，

∴n＝6.

（2）已知S3＝，S6＝，求a1与q.

解：（2）法一　由S6≠2S3知q≠1，由题意得

②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2.

代入①得a1＝.

法二　由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋a3）＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3，

∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2.

代入＝，得a1＝.

【母题探究】

1.（变设问）本例（2）条件不变，试求an与Sn.

解：由本例（2）知a1＝，q＝2，

所以an＝a1qn－1＝·2n－1＝2n－2，

Sn＝＝2n－1－.

2.（变条件）若本例（2）中的条件“S3＝，S6＝”变为“S3＝，S6＝”，其他条件不变，结果又如何呢？

解：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则解得q＝2，a1＝.

通性通法

　　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.

【跟踪训练】