第6章 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了导数及其应用的核心知识，涵盖导函数概念、导数计算及导数在研究函数单调性、极值、最值等方面的应用，通过知识框架将概念、计算与应用逻辑串联，帮助学生构建完整的导数知识体系。 其亮点在于聚焦数学运算、逻辑推理和数学建模核心素养，设计“概念辨析-例题精讲-分层训练”复习活动，如通过切线方程求解、函数单调性讨论等例题培养逻辑推理能力，结合游乐园面积优化等实际问题提升数学建模能力。这种设计兼顾不同学生需求，助力教师精准复习，有效巩固知识。

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 数学·选择性必修第三册（B版） 素养培优 一、数学运算与逻辑推理 数学运算、逻辑推理这两大核心素养在本章中体现较多，主要涉及以下内 容：（1）导数的计算；（2）利用导数研究函数的单调性、极值、最值； （3）函数不等式的证明；（4）恒成立（能成立）的转化. 培优一｜导数的几何意义 1. 利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f' （x0）（x－x0），明确“过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方 程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y＝f（x）的切线方程”的异同点. 2. 围绕着切点有三个等量关系：切点（x0，y0），则k＝f'（x0），y0＝f （x0），（x0，y0）满足切线方程，在求解参数问题中经常用到. 数学·选择性必修第三册（B版） 【例1】　已知函数f（x）＝x3＋x－16. （1）求曲线y＝f（x）在点（2，－6）处的切线方程； 解： ∵f'（x）＝（x3＋x－16）'＝3x2＋1， ∴f（x）在点（2，－6）处的切线的斜率为f'（2）＝13. ∴切线的方程为y＝13（x－2）－6， 即y＝13x－32. 数学·选择性必修第三册（B版） （2）直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切 点坐标. 解： 法一　设切点为（x0，y0）， 则直线l的斜率为f'（x0）＝3 ＋1， ∴直线l的方程为 y＝（3 ＋1）（x－x0）＋ ＋x0－16. 又∵直线l过点（0，0）， ∴0＝（3 ＋1）（－x0）＋ ＋x0－16. 整理得， ＝－8， ∴x0＝－2. ∴y0＝（－2）3＋（－2）－16＝－26. f'（－2）＝3×（－2）2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为（－2，－26）. 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　设直线l的方程为y＝kx，切点为（x0，y0）， 则k＝ ＝ ， 又∵k＝f'（x0）＝3 ＋1， ∴ ＝3 ＋1. 解得x0＝－2， ∴y0＝（－2）3＋（－2）－16＝－26. k＝3×（－2）2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为（－2，－26）. 数学·选择性必修第三册（B版） 培优二｜利用导数研究函数的单调性 　借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等初等函数 （或复合函数）的单调性，是近几年高考的一个重点.其特点是导数f' （x）的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不 等式结合，集分类讨论、数形结合于一体. 【例2】　（1）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递 增，则实数a的最小值为（　C　） A. e2 B. e C. e－1 D. e－2 C 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 法一　由题意，得f'（x）＝aex－ ，∴f'（x）＝aex－ ≥0 在区间（1，2）上恒成立，即a≥ 在区间（1，2）上恒成立.设函数g （x）＝ ，x∈（1，2），则g'（x）＝－ ＜0，∴函数g（x）在区 间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝ ＝e－ 1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－ .∵函数f（x）＝ aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即 aex－ ≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜ ≤xex在（1，2）恒成 立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g' （x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e， ∴ ≤e，即a≥ ＝e－1，故选C. 数学·选择性必修第三册（B版） A. x＝3是f（x）的极小值点 B. 当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C. 当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0 D. 当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x） （2）〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷10题）设函数f（x）＝（x－1）2（x－ 4），则（　ACD　） ACD 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 对A，因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）＝2（x－1） （x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈（1，3）时，f' （x）＜0，当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，故函 数f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，＋ ∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，A正确；对B，当0 ＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，所以x＞x2，又函数f（x）在（0， 1）上单调递增，所以f（x）＞f（x2），B错误；对C，当1＜x＜2时，1 ＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在（1，3）上单调递减，所以f （1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－1）＜0，C正确； 对D，由2－x－x＝2－2x，又－1＜x＜0，故2－2x＞0，所以f（2－x） －f（x）＝（1－x）2（－2－x）－（x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2 －2x）＞0，D正确.故选A、C、D. 数学·选择性必修第三册（B版） 培优三｜利用导数研究函数的极值和最值 1. 极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后 者是函数的“整体”性质.另函数有极值未必有最值，反之亦然. 2. 判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： （1）求定函数f（x）的定义域； （2）求方程f'（x）＝0的根； （3）检验f'（x）＝0的根的两侧f'（x）的符号： 若左正右负，则f（x）在此根处取得极大值； 若左负右正，则f（x）在此根处取得极小值. 导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引 起注意. 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： （1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将（1）求得的极值与f（a），f（b）相比较，其中最大的一个值 为最大值，最小的一个值为最小值. 数学·选择性必修第三册（B版） 【例3】　（1）当x＝1时，函数f（x）＝aln x＋ 取得最大值－2，则f' （2）＝（　B　） A. －1 B. － C. D. 1 解析： 由题意知，f（1）＝aln 1＋b＝b＝－2.求导得f'（x）＝ － （x＞0），因为f（x）的定义域为（0，＋∞），所以易得f'（1）＝a －b＝0，所以a＝－2，所以f'（2）＝ － ＝－ .故选B. B 数学·选择性必修第三册（B版） （2）〔多选〕若函数f（x）＝ aln x＋ ＋ （a≠0）既有极大值也有极 小值，则（　BCD　） A. bc＞0 B. ab＞0 C. b2＋8ac＞0 D. ac＜0 BCD 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 因为函数f（x）＝aln x＋ ＋ （a≠0），所以函数f（x） 的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ，因为函数f（x）既有极大 值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根 x1，x2，则 即 所以 故选 B、C、D. 数学·选择性必修第三册（B版） 培优四｜利用导数证明不等式 　利用导数解决不等式问题（如：证明不等式、比较大小等），其实质就 是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式（或比较大小）常 与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考 查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问 题得以求解.其实质是这样的： 要证不等式f（x）＞g（x），则构造函数φ（x）＝f（x）－g（x），只 需证φ（x）＞0即可，由此转化成求φ（x）最小值问题，借助于导数解 决. 数学·选择性必修第三册（B版） 【例4】　已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x. （1）讨论f（x）的单调性； 解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln . 当x∈（－∞，ln ）时，f'（x）＜0；当x∈（ln ，＋∞）时，f'（x） ＞0. 数学·选择性必修第三册（B版） 所以f（x）在（－∞，ln ）上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递 增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0 时，f（x）在（－∞，ln ）上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递 增. 数学·选择性必修第三册（B版） （2）证明：当a＞0时，f（x）＞2ln a＋ . 解： 证明：法一　由（1）知，当a＞0时，f（x）在（－∞，ln ） 上单调递减，在（ln ，＋∞）上单调递增. 所以f（x）min＝f（ln ）＝a（ ＋a）－ln ＝1＋a2＋ln a. 令g（x）＝1＋x2＋ln x－（2ln x＋ ），x＞0， 即g（x）＝x2－ln x－ ，x＞0， 则g'（x）＝2x－ ＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 令g'（x）＝0，得x＝ . 当x∈（0， ）时，g'（x）＜0；当x∈（ ，＋∞）时，g'（x）＞0. 所以g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增， 所以g（x）min＝g（ ）＝（ ）2－ln － ＝－ln ＞0， 所以1＋x2＋ln x＞2ln x＋ 对∀x＞0恒成立， 所以当a＞0时，1＋a2＋ln a＞2ln a＋ 恒成立. 即当a＞0时，f（x）＞2ln a＋ . 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　当a＞0时，由（1）得，f（x）min＝f（－ln a）＝1＋a2＋ln a， 故欲证f（x）＞2ln a＋ 成立， 只需证1＋a2＋ln a＞2ln a＋ ， 即证a2－ ＞ln a. 构造函数u（a）＝ln a－（a－1）（a＞0）， 则u'（a）＝ －1＝ ， 数学·选择性必修第三册（B版） 故只需证a2－ ＞a－1，即证a2－a＋ ＞0， 因为a2－a＋ ＝（a－ ）2＋ ＞0恒成立， 所以当a＞0时，f（x）＞2ln a＋ . 所以当a＞1时，u'（a）＜0；当0＜a＜1时，u'（a）＞0. 所以函数u（a）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 所以u（a）≤u（1）＝0，即ln a≤a－1， 数学·选择性必修第三册（B版） 培优五｜利用导数解决恒成立问题 解决恒成立问题的方法： （1）若关于x的不等式f（x）≤m在区间D上恒成立，则转化为f（x） max≤m； （2）若关于x的不等式f（x）≥m在区间D上恒成立，则转化为f（x） min≥m. 数学·选择性必修第三册（B版） 【例5】　已知函数f（x）＝ax－ ，x∈（0， ）. （1）当a＝8时，讨论f（x）的单调性； 解： 当a＝8时，f（x）＝8x－ （x∈（0， ））， f'（x）＝8－ ＝8＋ － . 令 ＝t，则t∈（1，＋∞）， 令h（t）＝－3t2＋2t＋8＝－（3t＋4）（t－2）， 当t∈（1，2）时，h（t）＞0；当t∈（2，＋∞）时，h（t）＜0. 故当x∈（0， ）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（ ， ） 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. ∴f（x）在区间（0， ）上单调递增，在区间（ ， ）上单调递减. 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若f（x）＜ sin 2x，求a的取值范围. 解： 令g（x）＝f（x）－ sin 2x＝ax－ － sin 2x， 则g'（x）＝a－ －2 cos 2x＝a－ －4 cos 2x＋ 2＝a－（ ＋4 cos 2x－2）， 令u＝ cos 2x，则u∈（0，1），令k（u）＝ ＋4u－2， 则k'（u）＝ ＋4＝ . 当u∈（0，1）时，k'（u）＜0， ∴k（u）在（0，1）上单调递减， ∵k（1）＝3，∴当u∈（0，1）时，k（u）＞3， ∴k（u）的值域为（3，＋∞）. 数学·选择性必修第三册（B版） ①当a≤3时，g'（x）＜0， ∴g（x）在（0， ）上单调递减， 又g（0）＝0，∴当x∈（0， ）时，g（x）＜0，即f（x）＜ sin 2x. ②当a＞3时，∃x0∈（0， ）使得g'（x0）＝0， ∴g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0， ）上单调递减， ∴g（x0）＞g（0）＝0， ∴f（x）＜ sin 2x不成立. 综上所述，a的取值范围为（－∞，3]. 数学·选择性必修第三册（B版） 培优六｜利用导数研究方程的根或函数的零点 　讨论方程根的个数、研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式 恒成立等问题的实质就是函数的单调性与函数极（最）值的应用.破解问 题的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极（最）值列 出，然后再借助单调性和极（最）值情况，画出函数图象的草图，数形结 合求解. 数学·选择性必修第三册（B版） 【例6】　函数f（x）＝ ＋m，其中m∈R. （1）当m＝0时，求函数f（x）的单调区间； 解： 当m＝0时，f（x）＝ ，f'（x）＝ ＝ ， 当x∈（－∞，1），f'（x）＞0，f（x）在（－∞，1）上单调递增； 当x∈（1，＋∞），f'（x）＜0，f（x）在（1，＋∞）上单调递减. 所以f（x）的单调递增区间为（－∞，1），单调递减区间为（1，＋ ∞）. 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若函数f（x）在区间[0，3]上有两个零点，求m的取值范围. 解： f（x）＝ ＋m＝0，x∈[0，3]有两个零点， 所以－m＝ ，x∈[0，3]有两个根. 设h（x）＝ ，h'（x）＝ ， x∈[0，1]，h'（x）＞0，h（x）单调递增，x∈[1，3]，h'（x）＜0，h （x）单调递减， 又因为h（1）＝ ，h（0）＝0，h（3）＝ ， 由题知，h（x）的图象与直线y＝－m有两个交点， 所以 ≤－m＜ ，即－ ＜m≤－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 二、数学建模 利用导数解决函数在实际问题中的应用问题，培养学生的数学建模核 心素养. 培优七｜导数的实际应用 解决优化问题的步骤： （1）首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并 确定函数的定义域； （2）其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优 化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具； （3）最后验证数学问题的解是否满足实际意义. 数学·选择性必修第三册（B版） 【例7】　如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有 一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线 （河流宽度忽略不计）.某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，试 求游乐园的最大面积. 数学·选择性必修第三册（B版） 解：如图，以M点为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐 标系，则D（4，2）. 设抛物线方程为y2＝2px. ∵点D在抛物线上， ∴22＝8p，解得p＝ . ∴抛物线方程为y2＝x（0≤x≤4，0≤y≤2）. 设P（y2，y）（0≤y≤2）是曲线MD上任一点， 则｜PQ｜＝2＋y，｜PN｜＝4－y2. ∴矩形游乐园面积为 S＝｜PQ｜·｜PN｜＝（2＋y）（4－y2）＝8－y3－2y2＋4y. 求导得，S'＝－3y2－4y＋4，令S'＝0， 得3y2＋4y－4＝0， 数学·选择性必修第三册（B版） 解得y＝ 或y＝－2（舍）. 当y∈ 时，S'＞0，函数单调递增； 当y∈ 时，S'＜0，函数单调递减. ∴当y＝ 时，S有极大值且为最大值. 此时｜PQ｜＝2＋y＝2＋ ＝ ， ｜PN｜＝4－y2＝4－ ＝ . ∴游乐园的最大面积为Smax＝ × ＝ （km2）. 数学·选择性必修第三册（B版） $