章末检测（6） 导数及其应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教B版)

该高中数学课件聚焦导数及其应用，涵盖导数计算、切线方程、单调性、极值最值及实际优化问题，通过基础题（如f'(1)计算）到综合题（如零点、不等式恒成立）的递进设计，构建从概念运算到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如包装盒设计题培养抽象与建模能力，开放性解答题提升推理与运算素养。题型多样且解析详尽，学生能深化理解并提升应用能力，教师可借助分层例题优化教学效果。

章末检测（六）　导数及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数f（x）＝xln x＋x2－1，则f'（1）＝（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：　依题意f'（x）＝ln x＋1＋2x，所以f'（1）＝0＋1＋2 ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 以正弦曲线y＝ sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾 斜角的取值范围是（　　） A. ∪ B. [0，π） C. D. ∪ 解析：　y'＝ cos x，∵ cos x∈[－1，1]，∴切线的斜率范围是 [－1，1]，∴倾斜角的范围是 ∪ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 设函数f（x）的图象如图，则函数y＝f'（x）的图象可能是下列选 项中的（　　） 解析：　由y＝f（x）图象知有两个极值点，第一个是极大值 点，第二个是极小值点，由极值意义知选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 函数f（x）＝x2－ln x的单调递减区间是（　　） A. B. C. 和 D. 和 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　∵f'（x）＝2x－ ＝ （x＞0），当0＜x≤ 时， f'（x）≤0，故f（x）的单调递减区间为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 函数f（x）＝3x－4x3（x∈[0，1]）的最大值是（　　） A. －1 B. 0 C. D. 1 解析：　f'（x）＝3－12x2，令f'（x）＝0，则x＝－ （舍去） 或x＝ ，f（0）＝0，f（1）＝－1，f ＝ － ＝1，∴f（x） 在[0，1]上的最大值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 6. 函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3处取得极 值，则a＝（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 解析：　f'（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f'（－3）＝0.∴3×（－3）2 ＋2a×（－3）＋3＝0，∴a＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 函数f（x）＝ ax3＋ ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是（　　） A. B. C. D. ∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　f'（x）＝ax2＋ax－2a＝a（x＋2）（x－1），要使函 数f（x）的图象经过四个象限，则f（－2）·f（1）＜0，即 ＜0，解得a＜－ 或a＞ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 已知可导函数f（x）的定义域为（－∞，0），其导函数f'（x）满 足xf'（x）＋2f（x）＞0，则不等式（x＋2 024）2·f（x＋2 024） －f（－1）＜0的解集为（　　） A. （－2 025，－2 024） B. （－2 024，－2 023） C. （－∞，－2 024） D. （－∞，－2 023） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　令g（x）＝x2f（x）（x＜0），则g'（x）＝x[xf' （x）＋2f（x）]＜0，故g（x）在（－∞，0）上单调递减，不 等式（x＋2 024）2·f（x＋2 024）－f（－1）＜0可变形为（x＋2 024）2·f（x＋2 024）＜（－1）2·f（－1），即g（x＋2 024）＜ g（－1），所以x＋2 024＞－1且x＋2 024＜0，解得－2 025＜x＜ －2 024.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论中不正确的是（　　） A. 若y＝ cos ，则y'＝－ sin B. 若y＝ sin x2，则y'＝2x cos x2 C. 若y＝ cos 5x，则y'＝－ sin 5x D. 若y＝ x sin 2x，则y'＝x sin 2x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　对于A，y＝ cos ，则y'＝ sin ，故错误；对于 B，y＝ sin x2，则y'＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝ cos 5x，则y' ＝－5 sin 5x，故错误；对于D，y＝ x sin 2x，则y'＝ sin 2x＋x cos 2x，故错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 设函数f（x）＝ x－ln x（x＞0），则y＝f（x）（　　） A. 在区间 内无零点 B. 在区间 内有零点 C. 在区间（1，e）内无零点 D. 在区间（1，e）内有零点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　由题意得f'（x）＝ （x＞0），令f'（x）＞0，得 x＞3；令f'（x）＜0，得0＜x＜3；令f'（x）＝0，得x＝3，故函 数f（x）在区间（0，3）上单调递减，在区间（3，＋∞）上单 调递增，在点x＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f（1）＝ ＞0，f （e）＝ －1＜0，f ＝ ＋1＞0.所以f（x）在区间 内 无零点，在区间（1，e）内有零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 11. 若函数f（x）＝ x3＋x2－ 在区间（a，a＋5）上存在最小值， 则下列a值符合要求的是（　　） A. －3 B. －2 C. －1 D. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　由题意，f'（x）＝x2＋2x ＝x（x＋2），故f（x）在（－∞，－ 2），（0，＋∞）上单调递增，在（－ 2，0）上单调递减，作出其大致图象如 图所示，令 x3＋x2－ ＝－ 得，x＝0 或x＝－3，则结合图象可知， 解得a∈[－3，0）.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中 横线上） 12. 若函数f（x）＝ sin 2x＋ sin x，则f'（x）的最大值是 ，最 小值是 ⁠. 2　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：∵函数f（x）＝ sin 2x＋ sin x，∴f'（x）＝ cos 2x＋ cos x＝2 cos 2x＋ cos x－1＝2 － （x∈R）.当 cos x＝－ 时，f'（x）取得最小值－ ；当 cos x＝1时，f'（x）取 得最大值2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 若函数f（x）＝ 的单调增区间为（0，＋∞），则实数a的 取值范围是 　　 . 解析：f'（x）＝ '＝a＋ ，由题意得，a＋ ≥0对x∈ （0，＋∞）恒成立，所以a≥－ 在x∈（0，＋∞）上恒成立， 所以a≥0. a≥0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 已知函数f（x）＝ln x－ax2＋x，a∈R. 当a＝0时，曲线y＝f （x）在点（e，f（e））处的切线方程是 ⁠；若f（x）有两个零点，则a的取值范围是 ⁠. y＝（ ＋1）x （0，1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：当a＝0时，f（x）＝ln x＋x，f（e）＝ln e＋e＝e＋1，所以f'（x）＝ ＋1，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率k＝f'（e）＝ ＋1，所以切线方程为y－（e＋1）＝（ ＋1）（x－e），化简得y＝（ ＋1）x；函数f（x）有两个零点，等价于方程a＝ 有两解，即y＝ 与y＝a有两个交点，令g （x）＝ （x＞0），则g'（x）＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 令g'（x）＝0，得1－2ln x－x＝0， 解得x＝1，因为φ（x）＝1－2ln x－x为减函 数，故g'（x）＝0有唯一解，所以当x∈（0， 1）时，g'（x）＞0，当x∈（1，＋∞），g' （x）＜0，所以g（x）在（0，1）单调递增， 在（1，＋∞）单调递减，又g（1）＝ ＝1，当x→＋∞时，g（x）→0，当x→0时，g（x）→－∞，作出函数y＝g（x）的图象如图所示，所以当a∈（0，1）时，f（x）有 两个零点.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）在①f（－1）＝－4，f'（1）＝0；②f（1） ＝0，f'（0）＝1；③f（x）在（－1，f（－1））处的切线方程 为y＝8x＋4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx，且 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （1）求a，b的值； 解：选择①f（－1）＝－4，f'（1）＝0. ∵f'（x）＝3x2＋2ax＋b， 由f（－1）＝－4，f'（1）＝0，可得 解得a＝－2，b＝1. 选择②f（1）＝0，f'（0）＝1. ∵f'（x）＝3x2＋2ax＋b，由f（1）＝0，f'（0）＝1，可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解得a＝－2，b＝1. 选择③f（x）在（－1，f（－1））处的切线方程为y＝8x ＋4. ∵f'（x）＝3x2＋2ax＋b， 由f（x）在（－1，f（－1））处的切线方程为y＝8x＋4， 可得 解得a＝－2，b＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）求函数f（x）的极小值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解：由（1）得f（x）＝x3－2x2＋x，∴f'（x）＝3x2 －4x＋1， 由f'（x）＝0得x1＝ ，x2＝1， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x ​ ​ ​ 1 ​ f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的极小值为f（1）＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝aln x＋x2－3b，曲线y＝ f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x＋y－4＝0. （1）求实数a，b的值； 解： f'（x）＝ ＋2x，由于直线2x＋y－4＝0的斜率 为－2，且过点（1，2）， 故解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若曲线C：y＝－ x3－4b，求曲线C过点（2，4）的切线 方程. 解：由（1）知y＝ ＋ ，则y'＝x2. 设切点为（x0，y0）， 则切线斜率k＝y' ＝ ， 故切线方程为y－ － ＝ （x－x0）. 由切线过点（2，4）， 代入可解得x0＝2或x0＝－1， ∴切点为（2，4）或（－1，1）， 则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 17. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln x－ ax2. （1）讨论f（x）的单调性； 解：f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝ ， 当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在（0，＋∞）上单 调递增， 当a＞0时，f'（x）＞0⇒0＜x＜ ，f'（x）＜0⇒x＞ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 即f（x）在 上单调递增，在 上单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围. 解：由（1）知当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单 调递增，函数f（x）至多有一个零点，不合题意； 当a＞0时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，f（x）max＝f ＝ln － a ＝－ （ln a＋1）， 当a≥ 时，f（x）max＝f ＝－ （ln a＋1）≤0， 函数f（x）至多有一个零点，不合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 当0＜a＜ 时，f（x）max＝f ＝－ （ln a＋1）＞0， 由于1∈ ，且f（1）＝ln 1－ ·a·12＝－ a＜0， 由零点存在性定理知f（x）在 上存在唯一零点， 由于 ＞ ，且f ＝ln － a ＝ln － ＜ － ＝0， 由零点存在性定理知f（x）在 上存在唯一零 点，所以当0＜a＜ 时，f（x）有两个零点. 综上，实数a的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 18. （本小题满分17分）请你设计一个包装盒.如图①所示，ABCD是 边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等 腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于 图②中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在 AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设｜ AE｜＝｜FB｜＝x cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （1）若广告商要求包装盒的侧面积S（单位：cm2）最大，试问x 应取何值？ S＝4ah＝8x（30－x）＝－8（x－15）2＋1 800，0 ＜x＜30，所以当x＝15时，S取得最大值. 解：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得a＝ x，h＝ ＝ （30－x），0＜x＜30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）某厂商要求包装盒的容积V（单位：cm3）最大，试问x应取 何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 解： V＝a2h＝2 （－x3＋30x2），V'＝6 x（20－x）. 令V'＝0，得x＝0（舍去）或x＝20. 当x∈（0，20）时，V'＞0；当x∈（20，30）时，V'＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值，此时 ＝ ， 即包装盒的高与底面边长的比值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 19. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln x－ . （1）若f（x）存在最小值且最小值为2，求a的值； 解：由题意可得f'（x）＝ ＋ ＝ （x＞0）， 当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数， f（x）不存在最小值； 当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝－a，且0＜x＜－a时，f' （x）＜0， x＞－a时，f'（x）＞0. 所以x＝－a时，f（x）取得极小值且为最小值， 由f（－a）＝ln（－a）＋1＝2，解得a＝－e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）设g（x）＝ln x－a，若g（x）＜x2在（0，e]上恒成立， 求a的取值范围. 解：g（x）＜x2即ln x－a＜x2，即a＞ln x－x2， 故g（x）＜x2在（0，e]上恒成立，也就是a＞ln x－x2在 （0，e]上恒成立. 设h（x）＝ln x－x2，则h'（x）＝ －2x＝ ， 由h'（x）＝0及0＜x≤e得x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 当0＜x＜ 时，h'（x）＞0，当 ＜x≤e时，h'（x）＜ 0，即h（x）在 上为增函数，在 上为减函数， 所以当x＝ 时，h（x）取得最大值为h ＝ln － . 所以g（x）＜x2在（0，e]上恒成立时，a的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） $