章末检测（六） 导数及其应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了导数的概念、运算及应用，通过典型例题将导数几何意义、函数单调性、极值最值、实际问题等核心内容串联，帮助学生构建完整的导数知识体系。 其亮点在于融入实际情境问题如水库蓄水量分析、包装盒设计，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过构造函数解不等式等题训练数学思维，分层设计选择、填空、解答题满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用能力。

章末检测（六）　导数及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数f（x）＝ x3－f'（2）x2＋x－3，则f'（2）＝（　　） A. －1 B. 1 C. －5 D. 5 解析： 　f'（x）＝x2－2f'（2）x＋1，令x＝2，得f'（2）＝4－4f'（2） ＋1，解得f'（2）＝1.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 2. 以正弦曲线y＝ sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角 的取值范围是（　　） A. ∪ B. [0，π） C. D. ∪ 解析： 　y'＝ cos x，∵ cos x∈[－1，1]，∴切线的斜率范围是[－1， 1]，∴倾斜角的范围是 ∪ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 3. 建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用， 提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲、乙 两个水库的蓄水量W与时间t的关系如图所示. 下列叙述中正确的是（　　） A. 在[0，t3]这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B. 在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量 的平均变化率 C. 甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时 变化率 D. 乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时 变化率 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　对于A，由图可知，在[0，t3]这段时间内，甲水库蓄水量的平 均变化率小于0，乙水库蓄水量的平均变化率大于0，故A错误；对于B，由 图可知，在[t1，t2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0，乙水 库蓄水量的平均变化率大于0，故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库 蓄水量的平均变化率，故B错误；对于C，由图可知，甲水库在t2时刻蓄水 量的瞬时变化率小于0，乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于0，故甲 水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化 率，故C错误；对于D，由图可知，乙水库在t1时刻蓄水量上升比在t2时刻 蓄水量上升快，故乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时 刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3处取得极值，则 a＝（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 解析： 　f'（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f'（－3）＝0.∴3×（－3）2＋2a× （－3）＋3＝0，∴a＝5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 5. 函数f（x）＝－e3x＋2e2x的图象大致为（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　因为f（x）＝－e3x＋2e2x，所以f'（x）＝－3e3x＋4e2x，令f' （x）＞0，得x＜ln ；令f'（x）＜0，得x＞ln .所以f（x）在（－∞， ln ）上单调递增，在（ln ，＋∞）上单调递减，故f（x）的极大值点为 x＝ln ，且x＝ln ＞ln 1＝0.令f（x）＝0，则－e3x＋2e2x＝0，得x＝ln 2，且x＝ln 2＞ln 1＝0，即f（x）在R上有唯一大于0的零点ln 2.对于B， 其极大值点为x＝0，矛盾，故B错误；对于C，其图象先减后增，矛盾， 故C错误；对于D，其有两个零点，矛盾，故D错误；对于A，其图象满足 上述结论，又排除了B、C、D，故A正确.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 6. 已知a＝ ，b＝log42，c＝e2，设曲线y＝ln x3－x3在x＝k（k＞0） 处的切线斜率为f（k），则（　　） A. f（b）＜f（a）＜f（c） B. f（a）＜f（c）＜f（b） C. f（c）＜f（a）＜f（b） D. f（a）＜f（b）＜f（c） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　∵当x＞0时，y＝3ln x－x3，∴y'＝ －3x2，∴f（k）＝ － 3k2.∵f'（k）＝－ －6k＜0，∴f（k）在（0，＋∞）上单调递减.∵e2 ＞2＞ ＝ ＞1＝log22＞ log22＝log42＞log41＝0，即c＞a＞b＞0， ∴f（c）＜f（a）＜f（b）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 7. 已知直线y＝ax＋b与曲线y＝ln x相切于点（x0，ln x0），若x0∈[e， e3]，则ab的最小值为（　　） A. －1 B. 0 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　直线y＝ax＋b与曲线y＝ln x相切于点（x0，ln x0），由y＝ln x，有y'＝ ，所以a＝ ，又切点（x0，ln x0）在直线y＝ax＋b上，有ln x0＝ax0＋b＝x0× ＋b＝1＋b，解得b＝ln x0－1，所以ab＝ .令g （x）＝ ，x∈[e，e3]，则g'（x）＝ ，当e＜x＜e2时，g'（x） ＞0，当e2＜x＜e3时，g'（x）＜0，所以g（x）在（e，e2）上单调递增， 在（e2，e3）上单调递减，g（e）＝0，g（e3）＝ ，所以g（x）min＝g （e）＝0，故ab的最小值为0.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 8. 已知可导函数f（x）的定义域为（－∞，0），其导函数f'（x）满足xf' （x）＋2f（x）＞0，则不等式（x＋2 024）2·f（x＋2 024）－f（－1） ＜0的解集为（　　） A. （－2 025，－2 024） B. （－2 024，－2 023） C. （－∞，－2 024） D. （－∞，－2 023） 解析： 　令g（x）＝x2f（x）（x＜0），则g'（x）＝x[xf'（x）＋2f （x）]＜0，故g（x）在（－∞，0）上单调递减，不等式（x＋2 024） 2·f（x＋2 024）－f（－1）＜0可变形为（x＋2 024）2·f（x＋2 024）＜ （－1）2·f（－1），即g（x＋2 024）＜g（－1），所以x＋2 024＞－1 且x＋2 024＜0，解得－2 025＜x＜－2 024.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知定义在[m，n]上的函数f（x），其导函数f'（x）的大致图象如图 所示，则下列叙述正确的是（　　） A. f（x）的值域为[f（d），f（n）] B. f'（x）在[a，b]上单调递增，在[b，d]上单调递 减 C. f（x）的极大值点为x＝c，极小值点为x＝e D. f（x）一定有两个零点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　根据导函数f'（x）的图象可知，f'（x）在[a，b]上单调递 增，在[b，d]上单调递减，故B正确；根据导函数f'（x）的图象可知，当 x∈[m，c）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在[m，c）上单调递增， 当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（c，e）上单调递 减，当x∈（e，n]时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（e，n]上单调 递增，所以f（x）的极大值点为x＝c，极小值点为x＝e，故C正确；根 据单调性可知，函数的最小值为f（m）或f（e），最大值为f（c）或f （n），故A错误；当f（m）＞0且f（e）＞0时，函数无零点，故D错 误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 10. 已知函数f（x）＝ln x－1－ ，则下列结论正确的是（　　） A. f（x）在定义域上是增函数 B. f（x）的值域为R C. f（log2 0252 026）＋f（log2 0262 025）＝1 D. 若f（a）＝ －b，a∈（0，1），b∈（0，＋∞），则aeb＝1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 　对于A，函数f（x）＝ln x－1－ 的定义域为（0，1）∪ （1，＋∞），f'（x）＝ ＋ ＞0，则f（x）在（0，1），（1， ＋∞）上均单调递增，但f（x）在定义域上不是增函数，A错误；对于 B，结合函数的单调性，作出函数f（x）＝ln x－1－ 的大致图象，结 合图象可知f（x）的值域为R，B正确；对于C，由于f（x）＝ln x－1－ ，故f（ ）＝ln －1－ ＝－ln x－1＋ ，故f（x）＋f（ ）＝－2－ ＋ ＝－2＋ ＝0，故f（log2 0252 026）＋f（log2 0262 025）＝f（log2 0252 026）＋f（ ）＝0，C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 对于D，由题意知f（a）＝ln a－1－ ，又f（a）＝ －b＝1＋ －ln eb＝ln －1－ ，即f（a）＝f（ ），而a∈（0，1），b∈（0， ＋∞），故 ∈（0，1），结合f（x）在（0，1）上单调递增，可得a＝ ，∴aeb＝1，D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 11. 若函数f（x）＝ln x＋a（x2－2x＋1）（a∈R）存在两个极值点x1， x2 （x1＜x2），则（　　） A. 函数f（x）至少有一个零点 B. a＜0或a＞2 C. 0＜x1＜ D. f（x1）＋f（x2）＞1－2ln 2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 解析：　对于A，f（x）＝ln x＋a（x2－2x＋1）＝ln x＋a（x－1） 2，f（1）＝ln 1＋a（1－1）2＝0，∴x＝1是f（x） 的一个零点，故A正 确；对于B，f'（x）＝ ＋a（2x－2）＝ ，∵f（x）存在两个 极值点x1，x2（x1＜x2），∴2ax2－2ax＋1＝0有两个不相等的实数根，即 f'（x） 有两个变号零点x1＞0，x2＞0，∴Δ＞0，即（－2a）2－4×2a×1 ＝4a2－8a＝4a（a－2）＞0，∴a＞2或a＜0，又x1＞0，x2＞0， ∴ 解得a＞0，综上，a＞2，故B错误；对于C，由B选 项可得，x1＋x2＝1，∴x2＝1－x1，∴1－x1＞x1，∴0＜x1＜ ，故C正 确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 对于D，f（x1）＋f（x2）＝ln x1＋a（ －2x1＋1）＋ln x2＋a（ － 2x2＋1）＝ln x1x2＋a[＋ －2（x1＋x2）＋2]，将x1＋x2＝1，x1x2＝ 代入上式，得f（x1）＋f（x2）＝ln ＋a（12－2× －2×1＋2）＝ －ln 2a＋a（1－ ）＝－ln 2－ln a＋a－1＝a－ln a－ln 2－1，令h（a） ＝a－ln a－ln 2－1（a＞2），h'（a）＝1－ ＝ ＞0，有h（a） 在 （2，＋∞） 上单调递增，∴h（a）＞h（2）＝2－ln 2－ln 2－1＝1－2ln 2，故D正确，故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 若函数f（x）＝ sin 2x＋ sin x，则f'（x）的最大值是 ，最小值 是 ⁠. 解析：∵函数f（x）＝ sin 2x＋ sin x，∴f'（x）＝ cos 2x＋ cos x＝2 cos 2x＋ cos x－1＝2 － （x∈R）.当 cos x＝－ 时，f'（x）取得 最小值－ ；当 cos x＝1时，f'（x）取得最大值2. 2　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 13. 若直线y＝2x＋b与函数f（x）＝ex＋x－a的图象相切，则a＋b ＝ ⁠. 解析：由f（x）＝ex＋x－a，可得f'（x）＝ex＋1.因为直线y＝2x＋b 与函数f（x）＝ex＋x－a的图象相切，故设切点为（x0，y0），则 ＋ 1＝2，故x0＝0，则f（0）＝1－a＝b，故a＋b＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 14. 已知函数f（x）＝ln x－ax2＋x，a∈R. 当a＝0时，曲线y＝f（x） 在点（e，f（e））处的切线方程是 ；若f（x）有两个 零点，则a的取值范围是 ⁠. y＝（ ＋1）x　 （0，1）　 解析：当a＝0时，f（x）＝ln x＋x，f（e）＝ln e＋e＝e ＋1，所以f'（x）＝ ＋1，曲线y＝f（x）在点（e，f （e））处的切线斜率k＝f'（e）＝ ＋1，所以切线方程为y－（e＋1）＝（ ＋1）（x－e），化简得y＝（ ＋1）x； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 函数f（x）有两个零点，等价于方程a＝ 有两解， 即y＝ 与y＝a有两个交点，令g（x）＝ （x ＞0），则g'（x）＝ ，令g'（x）＝0，得1－2ln x－x＝0，解得x＝1，因为φ（x）＝1－2ln x－x为减函数，故g'（x）＝0有唯一解，所以当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，当x∈（1，＋∞），g'（x）＜0，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，＋∞）单调递减，又g（1）＝ ＝1，当x→＋∞时，g（x）→0，当x→0时，g（x）→－∞，作出函数y＝g（x）的图象如图所示，所以当a∈（0，1）时，f（x）有两个零点.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本题满分13分）已知函数f（x）＝－ln x＋2x－2. （1）求曲线y＝f（x）的斜率等于1的切线方程； 解： 设切点为（x0，y0），因为f'（x）＝－ ＋2， 所以－ ＋2＝1，解得x0＝1，y0＝－ln 1＋2－2＝0， 所以切线方程为y－0＝1×（x－1），即y＝x－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）求函数f（x）的极值. 解： f（x）的定义域为（0，＋∞）. 令f'（x）＝0，即－ ＋2＝0，x＝ ， 令f'（x）＞0，得x＞ ， 令f'（x）＜0，得0＜x＜ ， 故f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增， 所以f（x）的极小值为f（ ）＝ln 2＋1－2＝ln 2－1，无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 16. （本题满分15分）已知函数f（x）＝ax3＋bx＋2在x＝2处取得极值－14. （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； 解： 因为f（x）＝ax3＋bx＋2，故f'（x）＝3ax2＋b， 由于f（x）在x＝2处取得极值， 故有 即 解得 当a＝1，b＝－12时，f'（x）＝3x2－12＝3（x＋2）·（x－2）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 令f'（x）＞0，解得x＜－2或x＞2，令f'（x）＜0，解得－2＜x＜2， 所以f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，在 （2，＋∞）上单调递增， 所以f（x）在x＝2处取得极值， 符合题意，所以a＝1，b＝－12. 所以f（x）＝x3－12x＋2，f'（x）＝3x2－12， 故f（1）＝－9，f'（1）＝－9. 所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－（－9）＝－9 （x－1），即9x＋y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）求函数f（x）在[－3，3]上的最值. 解： 由（1）知f（x）＝x3－12x＋2，f'（x）＝3x2－12. 令f'（x）＝0，得x1＝－2，x2＝2. 在x∈[－3，3]时，随x的变化，f'（x），f（x）的变化情况如表所示： x －3 （－3，－ 2） －2 （－2，2） 2 （2，3） 3 f'（x） 正 0 负 0 正 f（x） 11 单调递增 18 单调递减 －14 单调递增 －7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 当x＝－2时，f（x）有极大值f（－2）＝18，当x＝2时，f（x）有极小 值f（2）＝－14. 因为f（－2）＝18＞f（3）＝－7，f（2）＝－14＜f（－3）＝11. 因此f（x）在[－3，3]上的最小值为f（2）＝－14，最大值为f（－2）＝ 18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 17. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln x－ ax2. （1）讨论f（x）的单调性； 解： f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝ ， 当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在（0，＋∞）上单调递增， 当a＞0时，f'（x）＞0⇒0＜x＜ ，f'（x）＜0⇒x＞ ， 即f（x）在 上单调递增，在 上单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围. 解： 由（1）知当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，函数 f（x）至多有一个零点，不合题意； 当a＞0时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，f （x）max＝f ＝ln － a ＝－ （ln a＋1）， 当a≥ 时，f（x）max＝f ＝－ （ln a＋1）≤0， 函数f（x）至多有一个零点，不合题意； 当0＜a＜ 时，f（x）max＝f ＝－ （ln a＋1）＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 由于1∈ ，且f（1）＝ln 1－ ·a·12＝－ a＜0， 由零点存在定理知f（x）在 上存在唯一零点， 由于 ＞ ，且f ＝ln － a ＝ln － ＜ － ＝0， 由零点存在定理知f（x）在 上存在唯一零点，所以当0＜a＜ 时，f（x）有两个零点. 综上，实数a的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 18. （本小题满分17分）请你设计一个包装盒.如图①所示，ABCD是边长 为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角 形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图②中的点P，正 好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在AB上，是被切去的一个等 腰直角三角形斜边的两个端点.设｜AE｜＝｜FB｜＝x cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （1）若广告商要求包装盒的侧面积S（单位：cm2）最大，试问x应取 何值？ （1）S＝4ah＝8x（30－x）＝－8（x－15）2＋1 800，0＜x＜30，所以 当x＝15时，S取得最大值. 解：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得a＝ x，h＝ ＝ （30－x），0＜x＜30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）某厂商要求包装盒的容积V（单位：cm3）最大，试问x应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 解： V＝a2h＝2 （－x3＋30x2），V'＝6 x（20－x）. 令V'＝0，得x＝0（舍去）或x＝20. 当x∈（0，20）时，V'＞0；当x∈（20，30）时，V'＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值，此时 ＝ ，即包装盒的高 与底面边长的比值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 19. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝ax－1－ln x（a∈R）. （1）若a＝2，求f（x）在［ ，e］上的最大值和最小值； 解： 当a＝2时，f（x）＝2x－1－ln x，f'（x）＝ ， 令f'（x）＝0可得x＝ ，故当x∈［ ， ）时，f'（x）＜0，f（x）在 ［ ， ）上单调递减； 当x∈（ ，e］时，f'（x）＞0，f（x）在（ ，e］上单调递增. 函数f（x）的极小值为f（ ）＝ln 2，无极大值. 又f（ ）＝ ，f（e）＝2e－2＞f（ ）， 所以f（x）在［ ，e］上的最大值是2e－2，最小值是ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若a＝1，当x＞1时，证明：xln x＞f（x）恒成立； 解： 证明：因为a＝1，所以令h（x）＝xln x－f（x）＝xln x－x ＋ln x＋1， h'（x）＝ln x＋ . 当x＞1时，h'（x）＞0，则h（x）在（1，＋∞）上单调递增， 所以当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，所以xln x＞f（x）恒成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） （3）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线与直线l：x＝1垂直，且对 ∀x∈（0，＋∞），f（x）≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围. 解： f'（x）＝a－ ，因为函数f（x）的图象在x＝1处的切线与直 线l：x＝1垂直， 所以f'（1）＝0，即a－1＝0，解得a＝1， 所以f（x）＝x－1－ln x. 因为对∀x∈（0，＋∞），f（x）≥bx－2恒成立， 即对∀x∈（0，＋∞），b－1≤ 恒成立. 令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 令g'（x）＞0，解得x＞e2；令g'（x）＜0，解得0＜x＜e2， 所以函数g（x）＝ 在区间（0，e2）上单调递减，在区间（e2，＋ ∞）上单调递增， 所以g（x）min＝g（e2）＝－ ，则b－1≤－ ，解得b≤1－ . 所以实数b的取值范围为（－∞，1－ ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） $