6.1.2 第2课时 导数的几何意义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“导数的几何意义”，通过下雨天雨伞水滴切线方向的情境导入，衔接导数定义，以“想一想”“自我诊断”构建学习支架，帮助学生从具体实例抽象出切线概念与导数几何意义。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过求切线方程、切点坐标等分层题型及通性通法总结发展数学思维，结合高台跳水运动分析等实例强化数学语言表达。学生能深化概念理解与解题能力，教师可依托结构化内容提升教学效率。

第二课时　导数的几何意义 1 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 2 01 PART 基础落实 目 录 下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿 着伞的切线方向飞出.实际上物体（看作质点）做曲线运 动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其 轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的 切线问题. 【问题】　你还能列举出生活中的其他实例吗？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点　导数的几何意义 1. 切线的概念 如图，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S 上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时， 割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称直线l为曲线S在点P0处的 切线. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 导数的几何意义 f'（x0）就是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处（也称在x＝x0处）的 切线的斜率.设曲线在点（x0，f（x0））处切线的斜率为k0，则 k0＝ ＝f'（x0）. 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P （x0，f（x0））处的切线方程是什么？ 提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－ x0）. 2. 曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？ 提示：不一定.二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能 会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处 切线就是该直线. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 函数y＝f（x）的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f' （x1），f'（x2）和f'（x3）的大小吗？ 提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA＞ kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'（x3）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x＋1，则 ＝（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 解析： 　∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x＋ 1，∴f'（1）＝2，则 ＝ ＝ f'（1）＝1.故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f'（4）＝（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 解析： 　根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切 线的斜率k，注意到k＝ ＝ ，所以f'（4）＝ . √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知曲线y＝－ x2，则该曲线在点P（2，－2）处的切线方程为 ⁠ ⁠. 解析：由f'（x）＝ ＝ ＝ （－x－ Δx）＝－x，所以f'（2）＝－2，即该曲线在点P（2， －2）处的切线斜率为－2，所以所求的切线方程为y－（－2）＝－2（x－ 2），即2x＋y－2＝0. 2x ＋y－2＝0　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜求曲线的切线方程 【例1】　已知函数f（x）＝x3，求曲线y＝f（x）在（1，f（1）） 处切 线的斜率与方程. 解：因为f'（1）＝ ＝ ＝ [3＋3Δx＋（Δx）2]＝3， 所以由导数的几何意义知曲线在（1，f（1））处的切线斜率为k＝f'（1） ＝3. 又因为f（1）＝1， 所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝3（x－1）， 即3x－y－2＝0. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 　（变设问）本例条件不变，试问例题中的切线与曲线y＝f（x）是否还 有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由. 解：由 可得（x－1）2（x＋2）＝0，解得x1＝1，x2＝ －2.从而求得公共点为（1，1），（－2，－8）. 故例题中的切线与曲线y＝f（x）的公共点除切点（1，1）外，还有点 （－2，－8）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 过曲线上一点求切线方程的步骤 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 求过曲线y＝f（x）外一点P（x1，y1）的切线方程的步骤 （1）设切点（x0，f（x0））； （2）利用所设切点求斜率k＝f'（x0）＝ ； （3）用（x0，f（x0）），P（x1，y1）表示斜率； （4）根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k； （5）根据点斜式写出切线方程； （6）将切线方程化为一般式. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝ ，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处切线的斜 率与方程. 解：因为f'（1）＝ ＝ ＝－1， 所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线斜率k＝f'（1）＝－1. 又因为f（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为 y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜求切点坐标 【例2】　已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点 的坐标. （1）切线的倾斜角为45°； 解：设切点坐标为（x0，y0），则 Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－2 －1＝4x0·Δx＋2（Δx）2， ∴ ＝4x0＋2Δx， 当Δx→0时， →4x0，即f'（x0）＝4x0. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （1）∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 即f'（x0）＝4x0＝1，得x0＝ ， ∴切点的坐标为 . （2）切线平行于直线4x－y－2＝0； 解： ∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f'（x0）＝4x0＝4，得x0＝1， ∴切点坐标为（1，3）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）切线垂直于直线x＋8y－3＝0. 解： ∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， 则k· ＝－1，即k＝8， 即f'（x0）＝4x0＝8，得x0＝2， ∴切点坐标为（2，9）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 求切点坐标的步骤 （1）设出切点坐标； （2）利用导数或斜率公式求出斜率； （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　直线l：y＝x＋a（a≠0）和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值 为 　 　，切点坐标为 　 　. 　 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：设直线l与曲线C的切点为（x0，y0），因为y'＝ ＝3x2－2x，设曲线C在x0处的 导数为y ，则y ＝3 －2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－ .当x0＝1时，y0 ＝ － ＋1＝1，又（x0，y0）在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1代入 得a＝0与已知条件矛盾，舍去.当x0＝－ 时，y0＝ － ＋1＝ ，则切点坐标为 ，将 代入直线y＝x＋a中得a＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜导数几何意义的应用 【例3】　如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间 变化的函数h（t）＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较 曲线h（t）在t＝t0，t1，t2附近的变化情况. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：我们用曲线h（t）在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h（t）在 上述三个时刻附近的变化情况. （1）当t＝t0时，曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h'（t0）＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. （2）当t＝t1时，曲线h（t）在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.这 时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t1附近单调递减. （3）当t＝t2时，曲线h（t）在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.这 时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t2附近也单调递减. 从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h （t）在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 导数与函数图象升降的关系 　　若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数存在且f'（x0）＞0（即切线的斜 率大于零），则函数y＝f（x）在x＝x0附近的图象是上升的；若f'（x0） ＜0（即切线的斜率小于零），则函数y＝f（x）在x＝x0附近的图象是下 降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时 爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关 系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，求烟花在t＝1 s时的瞬时速度，并解释 烟花升空后至爆裂的运动情况. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值. 因为 ＝ ＝4.9－4.9Δt， 所以h'（1）＝ ＝ （4.9－4.9Δt）＝4.9. 所以在t＝1 s时，烟花正以4.9 m/s的速度上升. 画出二次函数h（t）＝－4.9t2＋14.7t（0≤t≤1.5）的大致图象，如图所示，结合导数的几何意义，我们可以看出，在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度近似为0，达到最高点时，瞬时速度为0并爆裂；当t∈[0，1.5）时，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切 线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 设f（x）为可导函数，且满足 ＝－1，则曲线y ＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为（　　） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 解析： 　∵f（x）为可导函数，且满足 ＝－1，即 f'（1）＝－1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f' （1）＝－1. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 曲线f（x）＝－ 在点M（1，－2）处的切线方程为（　　） A. y＝－2x＋4 B. y＝－2x－4 C. y＝2x－4 D. y＝2x＋4 解析： 　 ＝ ＝ ，所以当Δx→0时，f'（1）＝2，即k＝2.所 以切线方程为y＋2＝2（x－1），即y＝2x－4.故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝ x＋2，则f（1）＋f'（1）＝ ⁠. 解析：由导数的几何意义得f'（1）＝ ，由点M在切线上得f（1）＝ ×1 ＋2＝ ，所以f（1）＋f'（1）＝3. 3　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知曲线y＝ x3上一点P ，求： （1）曲线在点P处的切线方程； 解： ∵y'＝ ＝ ＝ ＝ [3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝x2， ∴当x＝2时，y'＝4， ∴曲线在点P处的切线的斜率等于4. 故曲线在点P处的切线方程是y－ ＝4（x－2），即12x－3y－16＝0. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）过点P的曲线的切线方程. 解： 设切点为（x0，y0），由（1）知y'＝x2，则点（x0，y0）处 的切线斜率k＝ ，切线方程为y－y0＝ （x－x0）. 又切线过点P ，且（x0，y0）在曲线y＝ x3上， ∴ 整理得 －3 ＋4＝0，即（x0－2）2（x0＋1）＝0，解得x0＝2或x0 ＝－1. 当x0＝2时，y0＝ ，切线斜率k＝4，切线方程为12x－3y－16＝0； 当x0＝－1时，y0＝－ ，切线斜率k＝1，切线方程为3x－3y＋2＝0. 故过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的 值为（　　） A. 1 B. C. － D. －1 解析： 　因为y'＝ ＝ （2a＋aΔx）＝2a.所 以2a＝2，a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知y＝f（x）的图象如图，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是 （　　） A. f'（xA）＞f'（xB） B. f'（xA）＜f'（xB） C. f'（xA）＝f'（xB） D. 不能确定 解析： 　由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线 的斜率小，结合导数的几何意义知f'（xA）＜f'（xB）.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 设函数f（x）在定义域内可导，且满足 ＝1，则 曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线倾斜角为（　　） A. 30° B. 135° C. 45° D. 120° 解析： 　设曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线倾斜角为θ，由 ＝1，可得f'（1）＝－1，则曲线y＝f（x）在（1， f（1））处的切线斜率为－1，则tan θ＝－1，0°＜θ＜180°，解得θ＝ 135°，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则 ＝（　　） A. － B. 2 C. －1 D. －2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　依题意可知切点P（5，3），∵函数y＝f（x）的图象在点P处 的切线方程是y＝－x＋8，∴f'（5）＝－1，即 ＝－ 1，∴ ＝2 . 又∵ ＝ ＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ∴ ＝2 ＝－2. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 已知函数f（x）＝x3－x，则曲线y＝f（x）过点（1，0）的切线条数 为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设切点的坐标为（x0， －x0），∴切线的斜率k＝f'（x0）＝ ＝ ＝ [（Δx）2＋3x0Δx＋3 －1]＝3 －1，∴过点（x0， －x0）的切线方 程为y－ ＋x0＝（3 －1）（x－x0），即y＝（3 －1）x－2 . ∵切线过点（1，0），∴2 －3 ＋1＝0，∴2 －2 － ＋1＝0， ∴2 （x0－1）－（x0－1）（x0＋1）＝0，∴（x0－1）·（2 －x0－1） ＝0，∴x0＝1或x0＝－ ，∴切线有两条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕如果曲线y＝f（x）在点（1，3）处的切线过点（0，2），则 下列结论正确的是（　　） A. f（1）＝3 B. f'（1）＝1 C. f（0）＝2 D. f'（1）＝0 解析： 因为切点为（1，3），所以f（1）＝3，故A正确；而（0， 2）为切线上的点，不一定为切点，故C错误；由切线经过点（1，3）和点 （0，2）可得切线斜率k＝ ＝1，所以由导数的几何意义知f'（1）＝1， 故B正确，D错误.故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝ 2x＋1，则f（1）＋f'（1）＝ ⁠. 解析：由导数的几何意义可得f'（1）＝2，将点M的坐标代入切线方程可 得f（1）＝2×1＋1＝3，因此f（1）＋f'（1）＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 设f（x）是偶函数，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的 斜率为1，则该曲线在点（－1，f（－1））处的切线的斜率为 ⁠. 解析：由偶函数的图象关于y轴对称，可知曲线在点（－1，f（－1））处 的切线的斜率应为－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 已知曲线f（x）＝ ，g（x）＝ ，过两曲线交点作两条曲线的切 线，则曲线f（x）在交点处的切线方程为 ⁠. 解析：设两曲线的交点坐标为（x0，y0），由 得 ∴两曲线的交点坐标为（1，1）.由f（x）＝ ，得f'（1）＝ ＝ ＝ ，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线 方程为y－1＝ （x－1），即x－2y＋1＝0. x－2y＋1＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f（x）＝x3－2x2＋3相切，求 a的值及切点的坐标. 解：设直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）， ∵ ＝ ＝（Δx）2＋（3x0－2）Δx＋3 －4x0. ∴ ＝3 －4x0，即f'（x0）＝3 －4x0， 由导数的几何意义，得3 －4x0＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解得x0＝－ 或x0＝2. ∴切点的坐标为 或（2，3）， 当切点为 时， 有 ＝4× ＋a，∴a＝ ， 当切点为（2，3）时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5， 当a＝ 时，切点坐标为 ； 当a＝－5时，切点坐标为（2，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 〔多选〕已知函数f（x）的图象如图，则下列结论正确的是（　　） A. f'（3）＞f'（2） B. f'（3）＜f'（2） C. f（3）－f（2）＞f'（3） D. f（3）－f（2）＜f'（2） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由函数的图象可知函数f（x）是单调递增的， 所以函数图象上任意一点处的切线斜率都大于零，并且 由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x ＝3处的切线斜率k2，所以f'（2）＞f'（3），故A错误， B正确；记A（2，f（2）），B（3，f（3）），作直线AB，则直线 AB的斜率k＝ ＝f（3）－f（2），由函数图象，可知k1＞k ＞k2＞0，即f'（2）＞f（3）－f（2）＞f'（3）＞0，故C、D正确.故选 B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 已知奇函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设a＝ ，则f'（－2），f'（6），a之间的大小关系为 ⁠ .（用“＜”连接） f'（－2） ＜a＜f'（6）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：因为函数f（x）为奇函数，f'（－2）为曲线在点（－2，f（－ 2））处切线的斜率，f'（2）为曲线在点（2，f（2））处切线的斜率，f' （6）为曲线在点（6，f（6））处切线的斜率，所以f'（2）＝f'（－2）， 根据题意，函数f（x）在[0，6]上增长速度越来越快，所以f'（－2）＝f' （2）＜f'（6），又a＝ ＝ 为（2，f （2）），（6，f（6））两点连线的斜率，所以f'（－2）＝f'（2）＜a＜f' （6），即f'（－2）＜a＜f'（6）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ax2＋1（a＞0），g（x）＝x3＋bx，若曲线y＝f （x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a， b的值. 解：∵f'（x）＝ ＝ ＝2ax， ∴f'（1）＝2a，即切线斜率k1＝2a. ∵g'（x）＝ ＝ ＝3x2＋b， ∴g'（1）＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b. ∵在交点（1，c）处有公共切线，∴2a＝3＋b. 又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 设点P是曲线y＝x3－ x＋ 上的任意一点，点P处的切线的倾斜角 为α，则α的取值范围为（　　） A. ∪ B. ∪ C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　设切点P（x0，y0），y'＝ ＝ ＝ [（Δx）2＋3xΔx＋3x2－ ]＝3x2－ ，而3x2－ ≥－ .又点 P处的切线的倾斜角为α，则k＝tan α≥－ .又α∈[0，π），所以α∈ ［0， ）∪［ ，π）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 已知曲线y＝f（x）＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点（1，a） 能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存 在，请说明理由. 解：∵ ＝ ＝2x＋Δx， ∴f'（x）＝ ＝ （2x＋Δx）＝2x. 设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为k＝f'（x0）＝2x0，由点斜式可得 所求切线方程为y－y0＝2x0（x－x0）. 又∵切线过点（1，a），且y0＝ ＋1， ∴a－（ ＋1）＝2x0（1－x0），即 －2x0＋a－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ∵切线有两条， ∴Δ＝（－2）2－4（a－1）＞0，解得a＜2. 故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取 值范围是（－∞，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $