6.1.2 导数及其几何意义（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 (2)f(to十△)-f(to)=3(to+△t)2+5-(3号+5)=36+ 6t0△+3（△）2+5-36-5=6t0△1+3（△）2. 函数f8在区间[0十Ar]上的平均速度为6+3(4) △t =6t0+3△t: 变式训练 2④DB[平均建度为)月-1截遂B] (2)DAy=21+4x)2-2X12 △x 4十2Ax.故选D.] 当堂达标 1.B4y=(2+号）-2+1D=-2] 2.C[平均变化率为f6)二f@_5ha)=5.] b-a b-a 及解标是-0（c/. 4-0 答案：-号 4.B[△y=(x十△x)2+2-(x2+2)=2x△x十△z2 Ar-2xtdr 当z=1时2是=2+4z,故选B] 6.1.2导数及其几何意义 课前预习学案 知识梳理 知识点三、2.f(xo) [思考] [提示]曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有 多个，甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不 一定是曲线的切线。 预习自测 1.(1)/(2)×(3)×(4)×(5)×(6)× 2.B[由导数的几何意义，f(xA),f(xB)分别是切线在点A、 B处切线的斜率，由图象可知f(xA)<f(xB).] 3.解析：f(6)=imf6+△）-f6)=im2-2=0. 4r0 40△x 答案：0 课堂互动学案 [例1】[解]会-1+2① △t -1+4)2+1+4)+1-(12+1+1D=3+ △t △s -m-im(3+)=3. .物体在t=1处的瞬时变化率为3. 即物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s. 变式训练 1.解：(1)求物体的初速度0，即求物体在t=0时的瞬时速度. 因为物体在1=0附近的平均变化率为 2= 29+3[0+△)-3]2-29-3(0-3)2=341-18， △t 所以物体在1=0处的瞬时变化率为m ·8 im(3At-18)=-18, 即物体的初速度为一18m/s. (2)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时 变化率. 因为物体在：=1附近的平均变化率为是= 29+31+△)-3]2-29-31-3)2=3△-12，所以物体在t 42 -1处除时变化率为2-口-12)=-12，中物体在1 =1s时的瞬时速度为-12m/s [例2】(1)解折：c[=f-42-f-四 △x 「fx-3Ax）-fxo）.(-3)1=-3f(xo)=1,f -3△x (x0)=- 故选C] (2)解：ay=（1+A)-1十4（1-宁）=4x+1 1中a=Ax+中ax △x +e1中a .Ay_ 1 △x f=2=(+中a)=2 变式训练 2.解析：：(1)=-2,1inf1-24）-f0=1im △x f0-2=f0=-2四1-2a2f0=-2f0 (）x-2a) -2Ax -2×(一2)=4. 答案：4 3.[解]：△y=f(1十△x)-f(1)=3(1十△x)2-3=64x +3ax2,÷22=6+3ax,f1)=m2-m(6+ 3△x)=6. [例3】解：往移公式为s=号a,:as=a(+a)2- a6=a+aca2,-ai+4, “2-(o十74）a将a-5.0X1om/s3, to=1.6×10-3s代入得ato=800m/s. ∴.枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s. 变式训练 4.解：(1)在t=0和t=10时，蜥蜴的体温分别为T(0)= 99+15=0,T10)=026+15=23,放从4=0到1= 10,蜥蜴的体温下降了16℃. (2)平均变化率为T10)T0)=-16=-1.6. 10 10 它表示从t=0到t=10,蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6℃. +85+15--15 120 (3)T'(5)=lim △t -1.2, 它表示t=5min时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min [例4幻[解](1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,∴.切 点P(1,1). y1-1=82-m1+a28-1-3+3ax+4x2] △x =3. ∴.k=yx=1=3. ∴.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y一1=3(x一1)，即3x -y-2=0. (2)设切点为Q(x0,y0),由(1)可知yx=,=3z6,由题 意可知krQ=y1x=玉， 即01 xo-1 -36,又0=8，所以8- x0-1 =3.x6,即2x6-x0 -1=0,解得0=1或x0=一2 1 ①当x0=1时，切，点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x -y-2=0. ②当w=一合时，切点坐标为（是，一日）相应的切线 方程为y叶日=是(+号)即3x-4+1=0, 母题变式 [解]由y=3x-2,y=x3, 解得x=1,y=1,或x=-2,y=-8, 从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,一8)， 即切线与曲线C的公共，点除了切点外，还有另一公共点 (-2,-8) 变式训练 5.解：y=典2-四2+a”2=2x-》=▣ △x (4x+2△x)=4x. (1)设切点为(x0y0),则4x0=4,x0=1,yo=一5，.切点 坐标为(1，一5).即曲线上点(1，一5)的切线平行于直线 4x-y-2=0. (2)由于点P(3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x0,yo),则切线的斜率=4x0,故所求的切线方程为y -y0=4xo(x-x0).将P(3,9)及y0=2x号-7代入上式， 得9-(2x号-7)=4x0(3-x0).解得x0=2或x0=4,所 以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x一y一 15=0或16x-y-39=0. 当堂达标 1.B[Ay=f(2+△x)-f(2)=3(2+△x)+1-(3×2+1) =a,奥哈是--3当4：地于0时地于3] 2.AB f()m)f(im △x (xo+4x)3+(x+Ax)-1-(x8+x0-1D-lim[36+1 4x +3x0·△x十（△x)2]=3x+1=4.解得x0=±1.] ·8 参考答案 3.解析：由极限的运算法则结合导函数的定义可得m +Ⅻ)-=+a82-f①-号×faD 3△x △x 2 3 答案：3 2 4[解]2=1+2④- △x 1+△x)2+3-(12+3)=2+△x. △x (2f'(1)=1imf1+△）-f1)=1im(2+Ax）=2. Ar-0 △x 6.1.3 基本初等函数的导数 课前预习学案 知识梳理 知识点一、 [思考] 1.[提示]f(xo)是一个确定的数，而f(x)是一个函数. 知识点三，ax-1cosx-sinr a"lna e 预习自测 1.(1)×(2)×(3)× 2.B[只有③正确.] 3.解析：(x3)'=3x2,若切线平行或重合于x轴，则切线斜率k= 0,即3x2=0得x=0,y=0,即切点为(0,0). 答案：(0,0) 课堂互动学案 [例)解：①y=-3‘.②y/=3n3.(3y=d5 (40y-my=c0sx(5y/-0.(6y-是 (7)y'=e2. 变式训练 AC[因为(amsy=-sn,所以A错误n晋-石 (》=0,所以B错误：（付）=y=-2z3,所以C错 误：(-(y女2所以D正确] 2xx [例2】[解】因为=子，所以当=e时=是，即切我针 丰为日所以切线方程为y一1=一⊙，即一0-0 母题变式 1.[解]因为，点O(0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a,b),则 切线斜丰长=亡又因为长-会昌且=血e,所以a=e6 1,所以切线方程为x一ey=0. 2.[解]问题可以转化为函数y=lnx与y=mx的图象有且 仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件.另外就是y= mx是y=lnx的切线时满足条件.因为y=mx图象过(0,0)， 设切点为Qa0,则切线外率m-日又国为侧名昌且6 =lha,所以a=e6=1m=是，即m的取值范国为(-60,0门 }第六章导数及其应用 (2)已知运动方程y=f(x)=2x2的图象上点P(1,2) 3.某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在 及邻近点Q1+4x,2+4),则2≥的值为（ 区间[0,4]内温度的平均变化率为 ℃/h. ty/C A.4 B.4x C.4+2△x2 D.4+2Ax [当堂达标] 24681012xi 1 1.已知函数y=2+1,当x由1变到2时，函数的改 -2- 4.在曲线y=x2+2的图像上取点(1,3)及邻近的一 变量△y等于 A. C.1 D.-1 点(1+△x,3+△y),则A2为 △x 2.函数f(x)=5x-3在区间[a,b]上的平均变化率 A.dr+rt2 B.△x十2 为 ( A.3 B.4 Ca+品 na++2 C.5 D.6 6.1.2 导数及其几何意义 课程标准 素养解读 1.通过学习函数的平均变化率与瞬时变化率的概念，从 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时 而达成数学抽象的核心素养。 变化率的过程. 2.通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养。 2.了解导数概念的实际背景，体会极限思想. 3.通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]函数在某点处的导数（瞬时变化率） 前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学 如果当△x→0时，平均变化率无限趋近于一个 中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何 △x 学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题 确定的值，即有极限，则称y=f(x)在x=x处 来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由 △x “平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的 可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x。处 答案也是一样的表示形式。下面我们用上述思想方 的导数（也称为瞬时变化率），记作f(x。)或y'|x=x, 法研究更一般的问题。 ()-limAy=limf(A)-f( △x0△x-0 △x [知识点三]导数的几何意义 [知识梳理] 1.切线：如图所示，在曲 y [知识点一]瞬时变化率 y=f(x)l 一般地，设函数y=f(x)在x。附近有定义，自 线y=f(x)上任取一 变量在x=x。处的改变量为△x,当△x无限接近于 点P(x,f(x),如果 0时，若平均变化率=f十△x）-f(x)无限 当点P(x,f(x)沿着 △x △x 接近于一个常数，那么称常数k为函数∫(x)在x 曲线y=f(x)无限趋 一x。处的瞬时变化率，此时，也称f(x)在x。处可 近于点P。(x,f(x)) 导，并称为f(x)在x=x。处的导数，记作f(x) 时，割线P。P无限趋 0 =k, 近于一个确定的位 ·41· 数学B版·选择性必修第三册 置，这个确定位置的直线P。T称为曲线y=f(x) [预习自测] 在点P。处的切线。 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“/”，错误的打“X” (1)函数y=f(x)在x=x。处的导数值与△x值的 正、负无关 () (2)函数在x。处的导数f(x)与xo和△x都有关. () (3)f'(x)是函数y=f(x)在x=x。附近的平均变 化率. ( ) (4)函数f(x)=0没有导函数. () 2.导数的几何意义：割线P,P的斜率=fx)一fx) (5)f(x)与[f(x)]'表示的意义相同.() x-To 记△x=x一x,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于 (6)若f'(x)=0,则曲线y=f(x)在点(xo,f(x) 处的切线不存在. () 点P。时，即当△x→0时，k无限趋近于函数y= 2.已知y=f(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(x) f(x)在x=x。处的导数.因此，函数y=f(x)在x 的大小关系是 ( ) =x。处的导数f'(x。)就是切线P。T的斜率ko,即 f(x十△x-f(xo) k。=lim △r=0 △x ?思考曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？ XB XA A.f(A)>f'(xB) B.f(xA)<f(xB) C.f(xA)=f(xB) D.不能确定 3.函数f(x)=2在x=6处的导数等于 课堂。互动学案 题型一 求瞬时速度 规律方法 [例1]某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 位：s)的关系可用函数s(t)=t+t十1表示，求物体 (1)求时间改变量△t和位移改变量△s=s(t。十 在t=1s时的瞬时速度. △t)-s(to). 汇思路点拔] 计算物体在[1,1+△]内的平均速度 令△t~0 (2)求平均速度0=A s ,A无限趋 计算lim (3)求瞬时速度，当△t无限趋近于0时， △t 得t=1s时的瞬时速度 近于常数v,即为瞬时速度. 2.求（当4：无限趋近于0时）的板限的方法 (1)在极限表达式中，可把△x作为一个数来参与 运算； (2)求出义的表达式后，△x无限趋近于0只需令 △.x △x=0,求出结果即可. ·42· 第六章导数及其应用 ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 1.若一物体运动的位移s与时间t关系如下：（位移单 2.已知f(1)=-2,则imf1-2A)-f)_ 位：m,时间单位：s) 13t2+2,t≥3， 3.求函数y=3x2在x=1处的导数. s- 29+3(t-3)2,0≤t<3. 求：(1)物体的初速度v。;(2)物体在t=1时的瞬时 速度. 题型实际问题中的瞬时变化率问题 [例3]枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如 题型二】 求函数在二点处的亭数 果它的加速度是5.0×105m/s2,枪弹从枪口射出 [例2](1)设函数y=f(x)在x=x。处可导，且 时所用时间为1.6×103s,求枪弹射出枪口时的 瞬时速度， lim f(x。-3Ax)-f(x）=1,则f(x)等于 Ar- △x A.1 B.-1 C.一3 (2)求函数f(x)=x-二在x=1处的导数。 汇思路点拔了“(1)类比(x) 规律方法 f(x+△x)-f(x) lim 求解。 在某一时间段内的平均速度与时间段△t有关，随 △.x △t变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，△t (2)先求△y 再*剑 计算m △y 是趋于0，而不是△t=0,此处△t是时间间隔，可 任意小，但绝不能认为是0. ⊙[变式训练] 4.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)= 9+15,其中T0为体温（单位：C),:为太阳落 山后的时间（单位：min) (1)从t=0min到t=l0min,蜥蜴的体温下降了多 规律方法 少？ 求函数y=f(x)在x。处的导数的三个步骤 (2)从t=0min到t=l0min,蜥蜴的体温的平均变 化率是多少？它表示什么意义？ 求函数的变 △y=f(x。+x)-f(x) (3)求T(5),并说明它的实际意义. 化量 求函数的平 △y f(xo+Ax)-f(xo) 均变化率 △x △x 取极限，得 f (o)=lim Ay △x+0△x 导数 f(x十Ax)-f(x) lim 4x→0 △x 筒称：一差二比、三极限 ·43· 数学B版·选择性必修第三册 题型四利用亭数的几何意义求曲线的切线方程 ⊙[变式训练] [例4]已知曲线C:y=x3 5.已知曲线y=2x2一7，求： (1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程； (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x一y-2 (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程. =0? (2)曲线过点P(3,9)的切线方程. 汇思路点拨] (1)求y1=1→求切点 点斜式方 程求切线 设切点 =6一1 (2) 求y=。 由y1-。 (xy%） 求(y) 写切线方程 [当堂达标] 1.函数y=f(x)=3x+1在点x=2处的瞬时变化 率是 () A.2 B.3 C.4 D.5 2.(多选)若f(x)=x3十x-1,f(x。)=4,则x。的值 [母题变式] 为 () A.1 B.-1 第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公 共点？ C.3√3 D.-3√3 3.设函数f(x)在x=1处存在导数，其值为2，则 limf1+4x）-f)- 3△.x 4.在曲线y=f(x)=x2十3上取一点P(1,4)及附近 一点(1+4x,4+4),求：1会：(2)f'1). 规律方法… 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x。,y。)在已知曲线上，求在点(x0 yo)处的切线方程，先求出函数y=f(x)在点 x。处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得 切线方程yy=∫(x)(x一xo). (2)若点(x,y)不在曲线上，求过点(xo,y)的切 线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数 的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求 出切线方程。 ·44·