第5章 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了数列的核心知识，包括等差等比数列的基本运算、通项公式求法、数列求和及逻辑推理应用，通过体系构建形成知识网络，展现知识点间的内在逻辑。 其亮点在于聚焦数学运算和逻辑推理素养，设计分层例题如等差等比数列运算的多解法、数列求和的错位相减法等，培养学生运算能力和推理意识，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习针对性。

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 数学·选择性必修第三册（B版） 素养培优 一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素 养.数学运算是解决数学问题的基本手段，数学运算是演绎推理，是计算 机解决问题的基础. 在本章中，数学运算主要体现在等差、等比数列的基本运算及数列求和等 问题中. 数学·选择性必修第三册（B版） 培优一｜等差、等比数列的基本运算 1. 在等差（比）数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d（或 q），n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思 想，解方程（或方程组）求出另外2个量的值. 2. 数列可以看作是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数.运用 函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解 决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密 切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有着密切关系，故可用函数 的思想来解决数列问题. 数学·选择性必修第三册（B版） 【例1】　（1）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2， 则S8＝（　C　） A. 120 B. 85 C. －85 D. －120 C 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 法一　设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn＝na1，不 满足S6＝21S2，∴q≠1.由S6＝21S2，得 ＝21a1（1＋q）.整 理，得1－q6＝21（1－q2），即（1－q2）（q4＋q2－20）＝0.显然 q≠±1，∴q4＋q2－20＝0，解得q2＝－5（舍去）或q2＝4.∴S8＝ ＝ ＝（1＋q4）S4＝（1＋42）×（－5）＝－ 85.故选C. 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，∴（S4－ S2）2＝S2·（S6－S4），解得S2＝ －1或S2＝ .当S2＝－1时，由（S6－ S4）2＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝－85；当S2＝ 时，结合S4＝ －5得 化简可得q2＝－5，不成立，舍去.∴S8＝ －85，故选C. 数学·选择性必修第三册（B版） 解析： 法一（基本量法）　因为数列{an}为等差数列， 则由题意得 解得 则S10＝10a1＋ d＝10×（－4）＋45×3＝95. 法二（下标和性质法）　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2 ＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝ ＝3，a6＝11，则S10＝ ×10＝5（a5＋a6）＝5×19＝95. （2）（2024·新高考Ⅱ卷12题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4 ＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝ ⁠. 95　 数学·选择性必修第三册（B版） 培优二｜数列通项公式的求法 1. 定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法 适用于已知数列类型的题目. 2. 已知Sn求an：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列 的通项 公式an可用公式an＝ 求解. 3. 由递推公式求数列通项：对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通 过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特 殊的转化方法与特殊数列. 数学·选择性必修第三册（B版） 4. 待定系数法（构造法）：求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给 定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高.通常可 对递推公式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法 体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式 中的常数就是一种重要的转化方法. 数学·选择性必修第三册（B版） 【例2】　设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝ ，记Sn，Tn 分别为数列{an}，{bn}的前n项和. （1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； 解： ∵3a2＝3a1＋a3，∴3（a2－a1）＝a3， ∴3d＝a1＋2d，∴a1＝d，则an＝nd（d＞1），∴bn＝ ， ∴S3＝a1＋a2＋a3＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝ ， ∴6d＋ ＝21.整理，得2d2－7d＋3＝0， 即（2d－1）（d－3）＝0，解得d＝3或d＝ （舍去）. ∴an＝3n，n∈N＋. 数学·选择性必修第三册（B版） （2）若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解： 若{bn}为等差数列， 则b1＋b3＝2b2，即 ＋ ＝2· . 整理，得 －3a1d＋2d2＝0. 解得a1＝d或a1＝2d. 当a1＝d时，an＝nd，bn＝ ＝ ， ∴S99－T99＝ （d＋99d）－ （ ＋ ）＝99. 整理，得50d2－d－51＝0， 数学·选择性必修第三册（B版） 解得d＝ 或d＝－1（舍去）. 当a1＝2d时，an＝（n＋1）d，bn＝ ＝ ， ∴S99－T99＝ （2d＋100d）－ （ ＋ ）＝99. 整理，得51d2－d－50＝0， 解得d＝－ 或d＝1. ∵d＞1，∴此时无解. 综上可知，d＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 培优三｜数列求和 一般常见的求和方法有： （1）公式法（直接利用等差或等比数列的前n项和公式）； （2）分组求和法； （3）错位相减法； （4）倒序相加法； （5）裂项相消法（把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项 可以相互抵消，从而求得其和）； （6）并项求和法（一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并 项求和.形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解）. 数学·选择性必修第三册（B版） 【例3】　（2023·全国甲卷17题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝ 1，2Sn＝nan. （1）求{an}的通项公式； 解： 当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0. 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝（n－1）an－1， 两式相减得2an＝nan－（n－1）an－1， 即（n－1）an－1＝（n－2）an， 当n＝2时，可得a1＝0， 故当n≥3时， ＝ ，则 · ·…· ＝ · ·…· ，整理得 ＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1（n≥3）. 当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1. 数学·选择性必修第三册（B版） （2）求数列{ }的前n项和Tn. 解： 法一　令bn＝ ＝ ， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ，　① Tn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ，　② 由①－②得 Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ － ＝1－ ， 即Tn＝2－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 法二　设bn＝ ， 所以bn＝ ＝ ＝（ n＋0）×（ ）n－1，故a＝ ，b＝0，q＝ . 故A＝ ＝ ＝－1，B＝ ＝ ＝－2，C＝－B＝2. 故Tn＝（An＋B）·qn＋C＝（－n－2）（ ）n＋2，整理得Tn＝2－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 二、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.逻 辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本 保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质. 在本章中，逻辑推理主要体现在等差（比）数列的判断与证明及数学归纳 法的应用问题中. 培优四｜等差、等比数列的判断与证明 【例4】　记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 ＋ ＝2. 数学·选择性必修第三册（B版） （1）证明：数列{bn}是等差数列； 解： 证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以n≥2时，Sn＝ ， 代入 ＋ ＝2可得， ＋ ＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝ （n≥2）. 又 ＋ ＝ ＝2，所以b1＝ ， 故{bn}是以 为首项， 为公差的等差数列. 数学·选择性必修第三册（B版） （2）求{an}的通项公式. 解： 由（1）可知，bn＝ ，则 ＋ ＝2，所以Sn＝ ， 当n＝1时，a1＝S1＝ ，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝－ .故an＝ 数学·选择性必修第三册（B版） 培优五｜数学归纳法 【例5】　已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝ ＋ －1，且an＞0， n∈N＋. （1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； 解： 当n＝1时，由已知得a1＝ ＋ －1， 即 ＋2a1－2＝0.所以a1＝ －1（a1＞0）. 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝ ＋ －1， 将a1＝ －1代入并整理得 ＋2 a2－2＝0. 所以a2＝ － （a2＞0）.同理可得a3＝ － . 猜想an＝ － （n∈N＋）. 数学·选择性必修第三册（B版） （2）证明通项公式的正确性. 解： 证明：①由（1）知，当n＝1时，通项公式成立. ②假设当n＝k（k∈N＋）时，通项公式成立， 即ak＝ － . 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ ＋ － － ， 将ak＝ － 代入上式，整理得 ＋2 ak＋1－2 ＝0， 所以ak＋1＝ － ＝ － ，即n＝k＋1时公式也成立. 由①②可知对所有n∈N＋，an＝ － 都成立. 数学·选择性必修第三册（B版） $