6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“瞬时变化率与导数”，通过汽车速度表示例导入，衔接上一节平均变化率，以问题链引导学生从具体实例抽象出导数概念，构建从平均到瞬时的学习支架。 其亮点在于以数学抽象为核心，结合物理瞬时速度情境与生活实例，通过“一差二比三极限”通性通法培养数学运算能力，分层作业适配不同学生，助力学生深化概念理解，教师可高效开展概念教学与技能训练。

6.1.2　导数及其几何意义 1 1.理解瞬时变化率、导数的概念（数学抽象）. 2.理解导数的几何意义（数学抽象）. 3.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程（数学运算）. 课标要求 第一课时　瞬时变化率与导数 3 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 4 01 PART 基础落实 目 录 上一节我们学习了用平均速度刻画物体在一段时间内运 动的快慢.在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速 度.比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表， 每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度. 【问题】　如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点　函数的瞬时变化率与导数 1. 物体运动的瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是s＝f（t），当Δt趋近于0时，函数f （t）在t0到t0＋Δt之间的平均变化率 趋近于常数，我 们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数的瞬时变化率 设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当 Δx无限趋近于0时，若平均变化率 ＝ 无限接近于一 个常数k，那么称常数k为函数f（x）在点x＝x0处的瞬时变化率.记作当 Δx→0时， →k. 还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限值等于函数在x0的瞬时变 化率，记作 ＝k. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 函数f（x）在x＝x0处的导数 函数y＝f（x）在点x0的瞬时变化率，通常称为f（x）在点x0处的导数， 并记作f'（x0），即f'（x0）＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数与Δx值的正、负有关吗？ 提示：无关. 2. 瞬时速度与平均速度有何区别与联系？ 提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则 是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关.联 系：瞬时速度是平均速度的极限值. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化 率，则m＝（　　） A. B. 1 C. 2 D. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率为 ＝ ＝2，f（x）＝x2在x＝m时的瞬时变化率为 ＝ ＝ （Δx＋2m）＝ 2m，所以2＝2m，解得m＝1.故选B. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 一个物体的运动方程为s（t）＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位 是s，那么该物体在3 s末的瞬时速度是（　　） A. 7 m/s B. 6 m/s C. 5 m/s D. 8 m/s 解析： 　因为Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2 －（1－3＋9）＝5Δt＋（Δt）2，所以s'（3）＝ （5＋Δt）＝5 （m/s），即该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 若 ＝3，则f'（1）＝ ⁠. 解析：由于 ＝－ ＝－f'（1）＝ 3，所以f'（1）＝－3. 4. 函数f（x）＝x2在x＝1处的瞬时变化率是 ⁠. 解析：∵f（x）＝x2，∴函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率是f'（1）＝ ＝ ＝ ＝ （2＋Δx） ＝2. －3　 2　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜求瞬时速度 【例1】　已知某质点的运动方程为s（t）＝3t2＋2t＋1（位移s的单位为 m，时间t的单位为s）. （1）求该质点在2≤t≤2＋Δt这段时间内的平均速度； 解： 质点在2≤t≤2＋Δt这段时间内的平均速度为 ＝ ＝ ＝（3Δt＋ 14）（m/s）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）在（1）中，若Δt＝0.1，则平均速度是多少？ 解： 当Δt＝0.1时，所求平均速度为3×0.1＋14＝14.3（m/s）. （3）求该质点在t＝2 s时的瞬时速度. 解： ∵ ＝ （3Δt＋14）＝14， ∴该质点在t＝2 s时的瞬时速度为14 m/s. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 求瞬时速度的步骤 （1）求物体运动位移与时间的关系s＝s（t）； （2）求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）； （3）求平均速度 ＝ ； （4）求瞬时速度v'＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s＝t2＋2t，设其在[2， 3]内的平均速度为v1，在t＝3时的瞬时速度为v2，则 ＝（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　根据平均速度定义可知，在[2，3]内的平均速度为v1＝ ＝ ＝7；在t＝3时的瞬时速度为v2＝ ＝ （8＋Δt）＝8.所以 ＝ . 故选B. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜求函数在某一点处的导数 【例2】　利用导数的定义求函数y＝f（x）＝3x2－2x在x＝1处的导数. 解：Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×12－2×1）＝3（Δx）2＋ 4Δx， ∵ ＝ ＝3Δx＋4， ∴f'（1）＝ ＝ （3Δx＋4）＝4. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，试求函数y＝f（x）在x＝2处的导数. 解：∵Δy＝3（2＋Δx）2－2（2＋Δx）－（3×22－2×2） ＝3（Δx）2＋10Δx，∴ ＝3Δx＋10， ∴f'（2）＝ ＝ （3Δx＋10）＝10. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. （变条件）若本例中的条件变为“y＝f（x）＝2x－x3”，其他条件不 变，试求f'（1）. 解：∵Δy＝2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2×1－13） ＝－（Δx）3－3（Δx）2－Δx， ∴ ＝－（Δx）2－3Δx－1， ∴f'（1）＝ ＝ [－（Δx）2－3Δx－1]＝－1. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 求函数y＝f（x）在点x0处的导数的步骤 　　简称：一差、二比、三极限. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则 ＝ （　　） A. f'（x0） B. 2f'（x0） C. －2f'（x0） D. 0 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　法一　 ＝ ＝ ＋ ＝f'（x0）＋ ＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 法二　 ＝ ＝2 ＝2f'（x0）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 某物体的运动方程为s（t）＝3t2（位移单位：m，时间单位：s），若 v＝ ＝18 m/s，则下列说法中正确的是（　　） A. 18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B. 18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的速度 C. 18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D. 18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的平均速度 解析：v＝ 是物体在3 s这一时刻的瞬时速度.故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 设函数f（x）在x＝x0处可导，则 ＝（　　） A. 2f'（x0） B. 2f'（－x0） C. － f'（x0） D. f'（x0） 解析： 　因为f（x）在x＝x0处可导，所以由导数的定义可得 ＝ ［（－ ）· ］＝－ f' （x0）. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 一物体做直线运动，其运动方程为s（t）＝－t2＋2t，则t＝0时，其速 度为（　　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 2 解析： 　s'（0）＝ ＝ （2－Δt）＝2.故 选D. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 设函数f（x）＝ax＋b，若f（1）＝f'（1）＝2，则f（2）＝ ⁠. 解析：函数f（x）＝ax＋b在x＝1处的导数为f'（1）＝ ＝ ＝ ＝a， 又f'（1）＝2，得a＝2，而f（1）＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，所以f （x）＝2x，所以f（2）＝4. 4　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 求函数y＝f（x）＝x－ 在x＝1处的导数. 解：因为Δf＝（1＋Δx）－ － ＝Δx＋ ，所以 ＝ ＝1＋ . 所以f'（1）＝ ＝ ＝2， 所以函数y＝f（x）＝x－ 在x＝1处的导数为2. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（　　） A. 圆 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 直线 解析： 　当f（x）＝b时，瞬时变化率 ＝ ＝0，所以f （x）的图象为一条直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 如果质点A按照规律s（t）＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为 （　　） A. 6 B. 18 C. 54 D. 81 解析： 　∵s（t）＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）＝3（3＋Δt）2－3×32＝18Δt＋3（Δt） 2.∴ ＝18＋3Δt.∴ ＝ （18＋3Δt）＝18.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知函数f（x）在定义域内可导，且满足 ＝ 1，则f'（x0）＝（　　） A. B. － C. 3 D. －3 解析： 　f'（x0）＝ ＝3 ＝3.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 函数y＝f（x）的图象如图所示，下列不等关系正确的是（　　） A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2） B. 0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3） C. 0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2） D. 0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3） 解析： 　f'（2）为函数y＝f（x）的图象在点B处的切线的斜率，f' （3）为函数y＝f（x）的图象在点A处的切线的斜率，f（3）－f（2） ＝ ，其几何意义为割线AB的斜率，由题图可知，0＜f' （3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝（　　） A. 2 B. －2 C. －3 D. 3 解析： 　因为f'（x）＝ ＝ ＝a， 所以f'（1）＝a.又f'（1）＝3，所以a＝3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数 关系为s（t）＝ ，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度为（　　） A. 米/秒 B. － 米/秒 C. 米/秒 D. － 米/秒 解析： 　 ＝ ＝ ＝－ ，所以 ＝ ［－ ］＝－ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是 秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 米/秒. 解析：∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－1＋3 －32＝Δt2＋5Δt，∴ ＝5＋Δt，∴当t＝3时，瞬时速度是 （5＋ Δt）＝5 （米/秒）. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 若f'（2）＝3，则 ＝ ⁠. 解析： ＝2 ＝2f'（2）＝6. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 若某物体的运动规律是s＝t3－6t2＋5（t＞0），则在t＝ ⁠时的瞬 时速度为0. 解析：设t＝t0时，瞬时速度为0， ＝ ＝ [（Δt）2＋（3t0－ 6）Δt＋3 －12t0]＝3 －12t0＝0，∴t0＝0或t0＝4.又t0＞0，∴t0＝4， ∴t＝4时的瞬时速度为0. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 车轮旋转的角度θ（单位：rad）与时间t（单位：s）之间的关系为θ （t）＝ t2，已知车轮旋转4圈所需时间为t0. （1）求0～t0时间段内车轮的平均角速度； 解： 车轮旋转4圈的角度θ＝8π，故t0＝ s， 故0～t0时间段内车轮的平均角速度为 ＝5π rad/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求t0时刻车轮的瞬时角速度. 解： t0时刻车轮的瞬时角速度为 ＝ ＝ （10π＋ Δt）＝10π rad/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f'（x）的图象如图 所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（　　） A. （x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0 B. （x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0 C. f ＞ D. f ＜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题中图象可知，导函数f'（x）的图象在x 轴下方，即f'（x）＜0，且其绝对值越来越小，因此过 函数f（x）图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左 到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f（x） 的大致图象如图所示.A选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）异号，即f（x）图象的割线斜率 为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）同号，即f（x）图象的割线斜率 为 正，故B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 f 表示 对应的函数值，即图中点B的纵坐标， 表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图 中点A的纵坐标，显然有f ＜ ，故C不正确，D正 确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 若一物体的运动方程为s＝s（t）＝ 其中位移s的单位：m，时间t的单位：s，则物体在1 s时的瞬时速度 为 m/s. 解析：物体在1 s附近某一时间段内的平均速度为 ＝ ＝3Δt－12，当Δt趋向于0时，3Δt－12 趋向于－12，所以物体在1 s时的瞬时速度是－12 m/s. －12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如 图①②. （1）甲、乙两人谁跑得快？ 解： 乙跑得快.因为在相同的时间 内，甲跑的路程少于乙跑的路程，即甲 的平均速度比乙的平均速度小. （2）甲、乙两人百米赛跑，问：快到终点时，谁跑得较快？ 解： 乙跑得较快.因为在终点附近的某一时刻甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 如图所示，水波的半径以1 m/s的速度向外扩张，当半径为5 m时，该 水波面的圆面积的瞬时膨胀率是 m2/s. 10π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：因为水波的半径以v＝1 m/s的速度向外扩张，则t s时的水波半径r ＝vt＝t，水波面的圆面积S＝πr2＝πt2，于是得水波面的圆面积在t0时刻 时的瞬时膨胀率为S'（t0）＝ ＝ （2πt0＋πΔt） ＝2πt0，当半径为5 m时，t＝5 s，S'（5）＝2π·5＝10π，所以该水波面的圆 面积的瞬时膨胀率为10π m2/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f （x）＝ . （1）当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际 意义？ 解： 当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为 ＝ ＝ （m3/min）， 表示时间从1 min到8 min的过程中，水流量平均以 m3/min的速度增加. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解： f'（27）＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （m3/min）. 其实际意义是第27 min时，水流量以 m3/min的速度增加. （2）求f'（27）并解释它的实际意义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $