6.2.2 第1课时 函数的导数与极值-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“函数的导数与极值”，通过“横看成岭侧成峰”的诗句情境导入，联系山峰谷底现象引出极值概念，承接导数单调性知识，为后续最值学习搭建直观到抽象的认知支架。 其亮点在于以直观想象为起点，通过“想一想”环节用反例（如f(x)=x³）深化逻辑推理，典型研析分题型递进培养数学运算，拓视野结合信息技术探究三次函数极值与零点关系。助力学生提升数学思维，教师可直接使用系统内容高效教学。

6.2.2　导数与函数的极值、最值 1 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 （数学抽象、直观想象）. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三 次的多项式函数的最大值、最小值（数学运算）. 3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系（逻辑推理）. 课标要求 第一课时　函数的导数与极值 3 基础落实 01 典例研析 02 拓视野　三次函数的极值与零点的关系 03 目录 课时作业 04 4 01 PART 基础落实 目 录 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的 高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端， 虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点， 同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点. 【问题】　在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点一　函数极值的定义 1. 极大值与极小值 设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同 于x0的x，都有 （1）f（x） f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极大值点，且f （x）在x0处取极大值； （2）f（x） f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值点，且f （x）在x0处取极小值. ＜　 ＞　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 极值点与极值 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然， 极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 函数的极大值一定大于极小值吗？ 提示：不一定，如图中c处的极小值大于f处的极 大值. 2. 函数y＝f（x）在给定区间（a，b）内一定有极值点吗？ 提示：不一定，若函数y＝f（x）在区间（a，b）内是单调函数，就没 有极值点. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 设函数f（x）在x0处可导，且f'（x0）＝0. （1）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）＞0，对于x0右侧附近的 任意x，都有f'（x）＜0，那么此时x0是f（x）的 ⁠； （2）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）＜0，对于x0右侧附近的 任意x，都有f'（x）＞0，那么此时x0是f（x）的 ⁠； （3）如果f'（x）在x0的左侧附近与右侧附近均为 （或均为负 号），则x0一定不是y＝f（x）的极值点. 极大值点　 极小值点　 正号　 2. 判断函数y＝f（x）的极值点的方法： 知识点二　函数的极值与导数的关系 1. 如果x0是y＝f（x）的极值点，且f（x）在x0处可导，则必有f'（x0） ＝ ⁠. 0　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 导数为0的点都是极值点吗？ 提示：不一定，如f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是f（x）＝x3的极 值点.所以，当f'（x0）＝0时，要判断x＝x0是否为f（x）的极值点，还要 看f'（x）在x0两侧的符号是否相反. 2. 若f'（x0）存在，则“f'（x0）＝0”是“x0是y＝f（x）的极值点”的什 么条件？ 提示：必要不充分条件. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 〔多选〕定义在区间［－ ，4］上的函数f（x）的导函数f'（x）的图 象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. 函数f（x）在区间（1，4）上单调递增 B. 函数f（x）在区间（1，3）上单调递减 C. 函数f（x）在x＝1处取得极大值 D. 函数f（x）在x＝0处取得极小值 √ √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　在区间（1，4）上f'（x）＞0，故函数f（x）在区间（1，4） 上单调递增，故A正确；在区间（1，3）上f'（x）＞0，故函数f（x）在 区间（1，3）上单调递增，故B错误；当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，可 知函数f（x）在（0，4）上单调递增，故x＝1不是函数f（x）的极值 点，故C错误；当x∈（－ ，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当 x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故函数f（x）在x＝0处 取得极小值，故D正确.故选A、D. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数y＝x3－3x2－9x（－2＜x＜2）有（　　） A. 极大值5，极小值－27 B. 极大值5，极小值－11 C. 极大值5，无极小值 D. 极小值－27，无极大值 解析： 　由y'＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x＜－1或x＞3时， y'＞0；当－1＜x＜3时，y'＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值5；3∉（－ 2，2），故无极小值. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 设f（x）＝xex＋1，则f（x）的极小值点为 ⁠. 解析：∵f（x）＝xex＋1的定义域为R，∴f'（x）＝（x＋1）ex，令f' （x）＞0，可得x＞－1；f'（x）＜0可得x＜－1，∴f（x）在（－∞， －1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，故x＝－1为f（x）极 小值点. －1　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜求函数的极值 角度1　求不含参数的函数的极值 【例1】　求函数f（x）＝x2e－x的极值. 解：函数的定义域为R， f'（x）＝2xe－x＋x2·e－x·（－x）' ＝2xe－x－x2·e－x ＝x（2－x）e－x. 令f'（x）＝0，得x（2－x）·e－x＝0，解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） 单调递减 极小值 0 单调 递增 极大值 4e－2 单调递减 因此当x＝0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）＝0； 当x＝2时，f（x）有极大值，并且极大值为f（2）＝4e－2＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 角度2　求含参数的函数的极值 【例2】　设函数f（x）＝－ x3＋x2＋（m2－1）x（x∈R），其中m＞0. （1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率； 解： 当m＝1时，f（x）＝－ x3＋x2， f'（x）＝－x2＋2x，故f'（1）＝1. 所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求函数f（x）的单调区间与极值. 解： f'（x）＝－x2＋2x＋m2－1. 令f'（x）＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m. 因为m＞0，所以1＋m＞1－m. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞，1 －m） 1－m （1－m，1 ＋m） 1＋m （1＋m，＋ ∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 所以f（x）在（－∞，1－m），（1＋m，＋∞）内单调递减，在（1－ m，1＋m）内单调递增. 函数f（x）在x＝1－m处取得极小值f（1－m），且f（1－m）＝－ m3 ＋m2－ . 函数f（x）在x＝1＋m处取得极大值f（1＋m），且f（1＋m）＝ m3＋ m2－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 求函数y＝f（x）的极值的步骤 （1）求出函数的定义域及导数f'（x）； （2）解方程f'（x）＝0，得方程的根x0（可能不止一个）； （3）用方程f'（x）＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可 将x，f'（x），f（x）在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； （4）由f'（x）在各个开区间内的符号，判断f（x）在f'（x）＝0的各个 根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数f（x）在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数f（x）在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值. 解：由f'（x）＝1－ ＝ （x＞0）知， ①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函数f （x）无极值； 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ②当a＞0时，由f'（x）＝0，解得x＝a， 又当x∈（0，a）时，f'（x）＜0， 当x∈（a，＋∞）时，f'（x）＞0， ∴函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－aln a，无 极大值. 综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x＝a 处取得极小值a－aln a，无极大值. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜已知函数的极值求参数 【例3】　已知f（x）＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为 0，试确定a，b，c的值. 解：f'（x）＝5ax4－3bx2＝x2（5ax2－3b）. 由题意，f'（x）＝0应有根x＝±1，故5a＝3b， 于是f'（x）＝5ax2（x2－1）， 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ①当a＞0，x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞，－1） －1 （－1， 0） 0 （0， 1） 1 （1，＋ ∞） f'（x） ＋ 0 － 0 － 0 ＋ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 无极 值 单调 递减 极小 值 单调递增 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 由表可知 又5a＝3b，解得a＝3，b＝5，c＝2. ②当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2. 综上可知a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 已知函数的极值求参数需注意的问题 （1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法 求解； （2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系 数法求解后必须验证充分性. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　若函数f（x）＝ x2－2x＋aln x有两个不同的极值点，则实数a的取值 范围是（　　） A. a≥1 B. a＞1 C. a＜1 D. 0＜a＜1 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　f（x）的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝x－2＋ ＝ .若函数f（x）有两个不同的极值点，则g（x）＝x2－2x＋a在 （0，＋∞）上有2个不同的实数根，故 解得0＜a＜ 1，故选D. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜函数极值的综合应用 【例4】　已知函数f（x）＝x3－3ax－1（a≠0）.若函数f（x）在x＝ －1处取得极值，直线y＝m与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围. 解：因为f（x）在x＝－1处取得极值且f'（x）＝3x2－3a， 所以f'（－1）＝3×（－1）2－3a＝0，所以a＝1. 所以f（x）＝x3－3x－1，f'（x）＝3x2－3， 由f'（x）＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 当x＜－1时，f'（x）＞0； 当－1＜x＜1时，f'（x）＜0； 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 当x＞1时，f'（x）＞0. 所以由f（x）的单调性可知， f（x）在x＝－1处取得极大值f（－1）＝1， 在x＝1处取得极小值f（1）＝－3. 作出f（x）的大致图象如图所示： 因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交 点，结合f（x）的图象可知，m的取值范围是（－3，1）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 1. （变条件）若本例中条件改为“已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4在x＝ 处取得极值”，其他条件不变，求m的取值范围. 解：由题意可得f'（x）＝－3x2＋2ax， 由f' ＝0， 可得a＝2，所以f（x）＝－x3＋2x2－4， 则f'（x）＝－3x2＋4x. 令f'（x）＝0，得x＝0或x＝ ， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 x （－∞，0） 0 ​ ​ ​ f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） 单调递减 极小 值－4 单调 递增 极大值 － 单调递减 作出函数f（x）的大致图象如图所示： 因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交 点，所以m的取值范围是 . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. （变条件）若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如 何？改为“一个交点”呢？ 解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f（x）的 图象有两个不同的交点；当m＜－3或m＞1时，直线y＝m与y＝f（x） 的图象只有一个交点. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程 f（x）＝0的根就是函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标，方程f（x） ＝g（x）的根就是函数f（x）与g（x）的图象的交点的横坐标. 2. 事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在 此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两 个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　设a为实数，函数f（x）＝－x3＋3x＋a. （1）求f（x）的极值； 解： 令f'（x）＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1. 又因为当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＜0； 当x∈（－1，1）时，f'（x）＞0； 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）的极小值为f（－1）＝a －2，f（x）的极大值为f（1）＝a＋2. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）是否存在实数a，使得方程f（x）＝0恰好有两个实数根？若存在， 求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 解： 因为f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减， 而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值， 所以当极大值等于0时，极小值小于0， 此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点， 即方程f（x）＝0恰好有两个实数根， 所以a＋2＝0，a＝－2，如图①. 当极小值等于0时，有极大值大于0， 此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点， 即方程f（x）＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2，如图②. 综上，当a＝2或a＝－2时方程恰有两个实数根. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 03 PART 拓视野　三次函数的极值与零点的关系 能力提升 目 录 利用信息技术工具，根据给定的a，b， c，d的值，可以画出函数f（x）＝ax3 ＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象，当a＝ －4，b＝1，c＝5，d＝－1时，f（x） 的图象如图所示.改变a，b，c，d的值，观察图象的形状： （1）你能归纳函数f（x）的图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？ 你能从图象上大致估计它的单调区间吗？ （2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【问题探究】 1. 给定三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），求导得f'（x）＝ 3ax2＋2bx＋c.用Δ表示方程f'（x）＝0的根的判别式，有以下结论： （1）当Δ＝4（b2－3ac）＞0时，有两个极值点； 当Δ＝4（b2－3ac）≤0时，无极值点. （2）函数f（x）的图象存在水平切线，则f'（x）＝0有实数解，从而Δ＝ 4（b2－3ac）≥0； （3）函数在R上单调递增，则a＞0且Δ＝4（b2－3ac）≤0. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），为了描述方便简 洁，这里只给出a＞0的情形.令x1，x2为f（x）的极值点，用Δ表示f' （x）＝3ax2＋2bx＋c对应方程的根的判别式，则结合零点存在定理，有 如下结论： （1）y＝f（x）有一个零点⇔Δ≤0或f（x1）·f（x2）＞0； （2）y＝f（x）有两个零点⇔ （3）y＝f（x）有三个零点⇔ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 相应函数图象的情况如下： （1）三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如 图①所示； （2）三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点 为零点，如图②所示； （3）三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图③所示. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【迁移应用】 1. 已知函数f（x）＝x3－3x＋m只有一个零点，则实数m的取值范围是 （　　） A. [－2，2] B. （－∞，－2）∪（2，＋∞） C. （－2，2） D. （－∞，－2]∪[2，＋∞） √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　∵f（x）＝x3－3x＋m，∴f'（x）＝3x2－3.由f'（x）＞0， 得x＞1或x＜－1，此时函数单调递增；由f'（x）＜0，得－1＜x＜1，此 时函数单调递减.即当x＝－1时，函数f（x）取得极大值；当x＝1时，函 数f（x）取得极小值.要使函数f（x）＝x3－3x＋m只有一个零点，则需 满足f（－1）·f（1）＞0，即（m＋2）·（m－2）＞0，解得m＞2或m＜ －2.综上，实数m的取值范围是m＜－2或m＞2. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 若 x3＋ax＋1＝0有两个不同的实数根，求实数a的值. 解：令f（x）＝ x3＋ax＋1，则f'（x）＝x2＋a. 由f（x）＝0有两个不同的实数根，得 由Δ＞0，得a＜0，令f'（x）＝0，得x1＝ ，x2＝－ ， 所以f（x1）＝ （ ）3＋a ＋1＝－ （－a ＋1， f（x2）＝ （－ ）3－a ＋1＝ （－a ＋1， 则f（x1）·f（x2）＝ · ＝1－ （－a）3 ＝0，解得a＝－ .综上，实数a的值为－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 若2x3＋3（1－2a）x2＋6a（a－1）x＝0有三个不同的实数根，求实 数a的取值范围. 解：令f（x）＝2x3＋3（1－2a）x2＋6a（a－1）x，则f'（x）＝6x2＋6 （1－2a）x＋6a（a－1）＝6（x－a）（x－a＋1）. 由f（x）＝0有三个不同的实数根，得 Δ＝36＞0，显然成立，令f'（x）＝0，得x1＝a，x2＝a－1， 所以f（x1）＝2a3－3a2＝a2（2a－3），f（x2）＝（a－1）2（2a－2＋3 －6a＋6a）＝（a－1）2（1＋2a）， 则f（x1）·f（x2）＝a2（2a－3）（a－1）2（1＋2a）＜0，解得－ ＜a ＜0或0＜a＜1或1＜a＜ . 综上，实数a的取值范围是 ∪（0，1）∪ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 函数f（x）＝x＋2 cos x在 上的极大值点为（　　） A. 0 B. C. D. 解析： 　令f'（x）＝0，即1－2 sin x＝0得x＝ ，且x∈ ，f' （x）＞0；x∈ ，f'（x）＜0. ∴x＝ 是f（x）的极大值点.故选B. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知函数f（x）＝x（x－c）2在x＝2处取得极大值，则f（6）＝ （　　） A. 0 B. 12 C. 16 D. 96 解析： 　因为f'（x）＝（x－c）2＋x·2（x－c）＝3x2－4cx＋c2＝（x －c）（3x－c），由题意f'（2）＝0，所以c＝2或c＝6，经检验c＝2 时，f'（x）＝（x－2）（3x－2），可知x＝2时，f（x）取得极小值， 不符合题意.所以c＝6，因此f（6）＝0.故选A. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为 （　　） A. 1，－3 B. 1，3 C. －1，3 D. －1，－3 解析： 　∵f'（x）＝3ax2＋b，由题意知f'（1）＝0，f（1）＝－2， ∴ ∴a＝1，b＝－3. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 若函数f（x）＝（x2－ax－2）ex＋1有两个极值点且这两个极值点互为 相反数，则f（x）的极小值为（　　） A. －6e3 B. －2e3 C. －4e D. － √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题意，f'（x）＝（x2－ax－2）'ex＋1＋（x2－ax－2）（ex＋1）'＝[x2＋（2－a）x－2－a]ex＋1，令f'（x）＝0，即x2＋（2－a）x－ 2－a＝0，若函数f（x）有两个极值点且这两个极值点互为相反数，即x2 ＋（2－a）x－2－a＝0的两个根互为相反数，不妨设两个根为x1，x2， 则Δ＞0，x1＋x2＝a－2＝0，解得a＝2，故f'（x）＝（x2－4）ex＋1，令f' （x）＞0，得x＞2或x＜－2；令f'（x）＜0，得－2＜x＜2，即函数f （x）在（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，在（－2，2）上单调 递减.故函数在x＝2处取得极小值f（2）＝－2e3.故选B. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数 为 ⁠. 解析：∵x＞0，f'（x）＝a－ ＝ ，∴当a≤0时，f'（x）＜0在 （0，＋∞）上恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（x） 在（0，＋∞）上无极值点. 0　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 若函数y＝f（x）可导，则“f'（x）＝0有实根”是“f（x）有极值” 的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　若f（x）可导，由f'（x）＝0有实根，则f（x）不一定有极 值，若f（x）有极值，则f'（x）＝0一定有实根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 函数f（x）＝ x2－ln x的极值点为（　　） A. 0，1，－1 B. C. － D. ，－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 由已知，得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3x－ ＝ ，令f'（x）＝0，得x＝ （x＝－ 舍去）.当x＞ 时，f' （x）＞0；当0＜x＜ 时，f'（x）＜0.所以当x＝ 时，f（x）取得极 小值，从而f（x）的极小值点为x＝ ，无极大值点，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知函数f（x）＝ln x＋ ax2－（a＋1）x＋1在x＝1处取得极小值， 则实数a的取值范围是（　　） A. （－∞，1] B. （－∞，1） C. （1，＋∞） D. （0，＋∞） 解析： 　f（x）的定义域是（0，＋∞），∵f（x）＝ln x＋ ax2－（a ＋1）x＋1，∴f'（x）＝ ＋ax－（a＋1）＝ ，令f'（x）＝ 0，解得x＝ 或x＝1.若f（x）在x＝1处取得极小值，则0＜ ＜1，解得 a＞1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 若函数f（x）＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是 （　　） A. B. C. （0，4e2） D. （0，＋∞） 解析： 　令g（x）＝x2ex，则g'（x）＝2xex＋x2ex＝xex（2＋x）.令 g'（x）＝0，得x＝0或x＝－2，∴g（x）在（－2，0）上单调递减，在 （－∞，－2），（0，＋∞）上单调递增，∴g（x）极大值＝g（－2）＝ ，g（x）极小值＝g（0）＝0.又f（x）＝x2ex－a恰有三个零点，∴0＜ a＜ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 〔多选〕已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则 下列说法正确的是（　　） A. a＋b＝0 B. a＋b＝－7 C. f（x）一定有两个极值点 D. f（x）的单调递增区间是（－∞，－ ］∪[1，＋∞） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　∵f'（x）＝3x2＋2ax＋b，且f（x）在x＝1处取得极值10， ∴ 解得 或 当a＝4， b＝－11时，f'（x）＝3x2＋8x－11＝（3x＋11）（x－1），则当x∈ （－∞，－ ）∪（1，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（－ ，1）时，f' （x）＜0，∴f（x）在（－∞，－ ），（1，＋∞）上单调递增，在 （－ ，1）上单调递减，∴x＝1是f（x）的极小值点，满足题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 当a＝－3，b＝3时，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，∴f（x） 在R上单调递增，不合题意.综上所述，a＝4，b＝－11.对于A、B，a＋ b＝4－11＝－7，A错误，B正确；对于C，x＝－ 和x＝1分别为f（x） 的极大值点和极小值点，C正确；对于D，当a＝4，b＝－11时，f（x） ＝x3＋4x2－11x＋16，∵f（－4）＝－64＋64＋44＋16＝60，f（1）＝1 ＋4－11＋16＝10，∴f（－4）＞f（1），即f（x）不满足在（－∞，－ ］∪[1，＋∞）上单调递增，f（x）的单调递增区间应为（－∞，－ ］ 和[1，＋∞），D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等 数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和 基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能 用一个式子表示的，如函数f（x）＝xx（x＞0），我们可以作变形：f （x）＝xx＝ ＝exln x＝et（t＝xln x），所以f（x）可看作是由函数f （t）＝et和g（x）＝xln x复合而成的，即f（x）＝xx（x＞0）为初等 函数.根据以上材料，对于初等函数h（x）＝ （x＞0）的说法正确的 是（　　） A. 无极小值 B. 有极小值1 C. 无极大值 D. 有极大值 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　根据材料知：h（x）＝ ＝ ＝ （x＞0），所以h' （x）＝ · '＝ · ＝ （1－ln x），令h' （x）＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递 增；当x＞e时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减.所以h（x）有 极大值且为h（e）＝ ，无极小值.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 设a∈R，若函数y＝ex＋ax（x∈R）有大于零的极值点，则a的取值 范围是 ⁠. 解析：∵y＝ex＋ax，∴y'＝ex＋a.令y'＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ ln（－a）.又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1. （－∞，－1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 若x＝－1是函数f（x）＝（x2＋ax＋1）e－x的极值点，则f（x）的极 大值为 ⁠. 解析：由f（x）＝（x2＋ax＋1）e－x，得f'（x）＝（2x＋a）e－x－（x2 ＋ax＋1）e－x.因为x＝－1是函数f（x）＝（x2＋ax＋1）e－x的极值点， 所以f'（－1）＝0，即（－2＋a）e－（1－a＋1）e＝0，解得a＝2，所以 f（x）＝（x2＋2x＋1）e－x，f'（x）＝（2x＋2）·e－x－（x2＋2x＋1）e －x＝（－x2＋1）e－x，令f'（x）＝0，则（－x2＋1）e－x＝0，得x＝ ±1，x，f'（x）和f（x）变化情况如表所示： 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） 单调 递减 极小值 单调 递增 极大值 单调 递减 所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值f（1）＝4e－1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 已知函数y＝2x3－6x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝ ⁠ ⁠. 解析：设f（x）＝2x3－6x＋c，对f（x）求导可得，f'（x）＝6x2－6， 令f'（x）＝0，可得x＝±1，易知f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞） 上单调递增，在（－1，1）上单调递减.若f（1）＝2－6＋c＝0，可得c ＝4；若f（－1）＝－2＋6＋c＝0，可得c＝－4. －4或 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R，求f（x）的单调区 间与极值. 解：由f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R知f'（x）＝ex－2，x∈R. 令f'（x） ＝0，得x＝ln 2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞，ln 2） ln 2 （ln 2，＋∞） f'（x） － 0 ＋ f（x） 单调递减 极小值2（1－ln 2＋a） 单调递增 故f（x）的单调递减区间是（－∞，ln 2），单调递增区间是（ln 2，＋ ∞）；f（x）在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f（ln 2）＝2（1－ln 2＋ a），无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. f（x）＝ x3－x2＋b（2－b）x在x＝b处取极小值，则b的取值集合 是（　　） A. （－∞，1） B. （1，＋∞） C. {1} D. ∅ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　函数f（x）＝ x3－x2＋b（2－b）x的定义域为R，f'（x）＝ x2－2x＋b（2－b）＝（x－b）·[x－（2－b）]，由f'（x）＝0可得x＝ b或x＝2－b，由题意可知b≠2－b，即b≠1，当b＜2－b，即b＜1时， 列表如下： x （－∞，b） b （b，2－b） 2－b （2－b，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调 递增 极大值 单调递减 极小 值 单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 此时，函数f（x）在x＝b处取得极大值，不合乎题意； 当b＞2－b，即b＞1时，列表如下： x （－∞，2－b） 2－b （2－b，b） b （b，＋ ∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时，函数f（x）在x＝b处取得极小值，合乎题意.综上所述，实数b的 取值范围是（1，＋∞）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 已知函数f（x）＝6ln x－ax2－8x＋b（a，b为常数），且x＝3为f （x）的一个极值点.则a的值为 ；函数f（x）的单调递减区间 为 ⁠. 解析：因为f'（x）＝ －2ax－8，所以f'（3）＝2－6a－8＝0，解得a＝ －1.函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由a＝－1知f（x）＝6ln x＋x2 －8x＋b.所以f'（x）＝ ＋2x－8＝ .由f'（x）＞0可得x＞3 或0＜x＜1，由f'（x）＜0可得1＜x＜3所以函数f（x）的单调递增区间为 （0，1），（3，＋∞），单调递减区间为（1，3）. －1　 （1，3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点 （0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4. （1）求a，b的值； 解： f'（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4. 由已知得f（0）＝4，f'（0）＝4，故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值. 解： 由（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x， f'（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2） . 令f'（x）＝0得，x＝－ln 2或x＝－2. 从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln 2，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（－ 2，－ln 2）时，f'（x）＜0. 故f（x）在（－∞，－2），（－ln 2，＋∞）上单调递增，在（－2，－ ln 2）上单调递减. 当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（－2）＝4（1－e－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 〔多选〕已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋1（a≠0）有且仅有三个不同 的零点，分别为x1，x2，x3，则（　　） A. a的取值范围是（－∞， ） B. a的取值范围是（ ，＋∞） C. x1x2x3＝－ D. x1＋x2＋x3＝6 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　f'（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4）（a≠0），令f'（x） ＝0，解得x＝0或x＝4，当a＜0时，当x∈（4，＋∞）时，f'（x）＜0， f（x）在（4，＋∞）上单调递减，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0，f （x）在（－∞，0）上单调递减，当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f （x）在（0，4）上单调递增，所以极小值f（0）＝1＞0，极大值f（4） ＝64a－96a＋1＝1－32a＞0，此时函数f（x）只有一个零点，不符合题 意；当a＞0时，当x∈（4，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（4，＋∞）上单调递增，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）在（－∞，0）上 单调递增，当x∈（0，4）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，4）上单调递 减，所以极大值f（0）＝1＞0，要使f（x）有三个不同的零点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 则极小值f（4）＝64a－96a＋1＝1－32a＜0，解得a＞ ，即a的取值范围是（ ，＋∞），故A错误，B正确；因为函数f（x）＝ax3－6ax2＋1 （a≠0）有且仅有三个不同的零点，分别为x1，x2，x3，则f（x）＝a （x－x1）（x－x2）·（x－x3）＝ax3－a（x1＋x2＋x3）x2＋a（x1x3＋ x1x2＋x2x3）x－ax1x2x3＝ax3－6ax2＋1，即有－ax1x2x3＝1，x1＋x2＋x3＝ 6，x1x3＋x1x2＋x2x3＝0，则x1x2x3＝－ ，故C、D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 已知函数f（x）＝xln x－ax2－x＋a（a∈R）. （1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程； 解： 当a＝0时，f（x）＝xln x－x，所以f（e）＝0，f'（x）＝ln x ＋1－1＝ln x， 所以f'（e）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率k ＝1， 所以曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝x－e，即x－ y－e＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值范围. 解： 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ln x－2ax， 因为f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）， 意味着f'（x）＝ln x－2ax＝0有两个不同的变号正根. 设g（x）＝ln x－2ax，x∈（0，＋∞），则g'（x）＝ . 若a≤0，g'（x）＞0，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，g（x）＝0 不会有两个正根. 当a＞0，令g'（x）＝0，得x＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 所以当x∈（0， ）时，g'（x）＞0，g（x）在（0， ）上单调递增； 当x∈（ ，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）在（ ，＋∞）上单调递减. 又当x→＋∞时，g（x）→－∞，当x→0时g（x）→－∞， 要使g（x）＝0有两个正根，需g（ ）＝ln －1＞0，即ln ＞1， 解得0＜a＜ .所以当0＜a＜ 时，f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $